分數(shù)概念之研究

1、69臺灣北部地區(qū)國小中年級學童分數(shù)概念之研究 國立臺北師范學院學報，第十五期（九十一年九月）3768國立臺北師范學院臺灣北部地區(qū)國小中年級學童分數(shù)概念之研究游政雄、呂玉琴* 游政雄：桃園縣桃園市大業(yè)國小教師呂玉琴：國立臺北師范學院數(shù)學教育學系教授摘 要本研究在探討臺灣北部地區(qū)國小中年級學童分數(shù)概念的等分、簡單分數(shù)、分數(shù)單位量、分數(shù)等量及等值分數(shù)等子概念的表現(xiàn)。研究方法采筆測及一對一半結構式面談進行。研究結果顯示學童運用整數(shù)知識來處理分數(shù)問題并將分數(shù)的分子、分母視為獨立的二個數(shù)，普遍存在在各試題的表現(xiàn)上；學童解判斷是否等分問題時，只注意到被分割的塊數(shù)，而忽略分割后的每一塊是否相等；學童對于單位量

2、、內容物的單位詞出現(xiàn)混淆的情形；中年級學童較習慣用全部內容物當單位量；學童在面對余量再分問題時會自行增加或減少內容物，使其數(shù)量可以整數(shù)個分配；許多學童在比較分數(shù)大小時，直接將分子和分母分開來進行比較，而不是將分數(shù)視為一個量來比較。同時研究也顯示中年級學童一半和二分之一的連結并不穩(wěn)固。根據研究結果，本研究對國小分數(shù)教材和教學、評量及未來研究方向提出一些建議。關鍵詞：等分、簡單分數(shù)、分數(shù)單位量、分數(shù)等量、等值分數(shù)臺灣北部地區(qū)國小中年級學童分數(shù)概念之研究游政雄、呂玉琴* 游政雄：桃園縣桃園市大業(yè)國小教師呂玉琴：國立臺北師范學院數(shù)學教育學系教授國立臺北師范學院學報，第十五期（九十一年九月）3768國立

3、臺北師范學院壹、緒 論一、研究動機與目的在日常生活中，或在數(shù)學與自然科學的教材中，都可以發(fā)現(xiàn)分數(shù)是很常用的重要概念。此外分數(shù)概念與小數(shù)、百分率、比、除法等概念關系密切，而這些概念不但是數(shù)學中的重要概念，且在國小數(shù)學教材中占相當份量（教育部，民82）。國內有關國小學童分數(shù)概念的研究論文有不少篇，若以研究對象來區(qū)分，大多是五、六年級（林碧珍，民79；黃馨緯，民84；楊壬孝，民76、民77、民78）和二年級（呂玉琴，民80a，民82；李曉莉，民87），而沒有三年級，雖然有少數(shù)是四年級（陳靜姿，民86；彭海燕，民87），但是其研究對象所在的地區(qū)不是在中部地區(qū)就是僅以一所學校為范圍，由此可見國內有關國小

4、中年級學童分數(shù)概念的思考方式、解題策略、錯誤概念等的實證性資料仍缺乏。另外，本文第一作者在多年國小教學實務中也發(fā)現(xiàn)中年級學童學習分數(shù)時有一些困難存在。例如國小三年級學童回答以下簡單分數(shù)（單位分數(shù)的內容物只有一個個物的分數(shù)）問題時，常出現(xiàn)整數(shù)答案的錯誤類型。問題：7片口香糖裝一包，分給7個人，一個人可以得到（）包口香糖。有些學童面對此問題時，因為將片和包兩個單位詞混淆，而回答得到1包口香糖。鑒于國小中年級學童學習分數(shù)有困難且相關的研究仍然缺乏，但受限于人力、財力、時間等因素，因此本研究以臺灣北部地區(qū)國小中年級學童為對象，對其分數(shù)概念作深入探討，期能對國小中年級教師從事分數(shù)教學及設計分數(shù)教學活動時

5、有所幫助。亦即本研究的目的是：探討臺灣北部地區(qū)國小中年級學童的分數(shù)概念。根據上述之研究目的，本研究所要探討的具體問題有：(一)臺灣北部地區(qū)國小中年級學童的等分概念表現(xiàn)為何？(二)臺灣北部地區(qū)國小中年級學童的簡單分數(shù)概念表現(xiàn)為何？(三)臺灣北部地區(qū)國小中年級學童的分數(shù)單位量概念表現(xiàn)為何？(四)臺灣北部地區(qū)國小中年級學童的分數(shù)等量概念表現(xiàn)為何？ (五)臺灣北部地區(qū)國小中年級學童等值分數(shù)概念的表現(xiàn)為何？二、名詞釋義(一)等分概念等分是指將一連續(xù)量或離散量細分(subdivide)成好幾個部分，而每一個部分都要一樣大(或一樣多)。在連續(xù)量中，一般以幾何圖形來做等分割活動的對象。在離散量中，是以集聚單位

6、為單位量，來進行等分活動。(二)簡單分數(shù)概念本研究所探討的簡單分數(shù)概念為單位分數(shù)的內容物只有一個個物的分數(shù)。(三)分數(shù)單位量概念分數(shù)單位量概念又稱整體量概念(the concept of a whole)，也叫單位-整體量(unit-whole)概念，是分數(shù)概念之下的一個子概念(Behr，Wachsmuth & Post，1988)。當我們提到2/3顆蘋果時，一顆蘋果就是單位量；如果我們說2/3打的蘋果，則12顆(1打)蘋果才是單位量。(四)分數(shù)等量概念本研究所指的等量概念是指學童解分數(shù)大小比較問題時所需的概念，其試題型態(tài)包括未出現(xiàn)分數(shù)符號的分數(shù)圖形大小比較；及出現(xiàn)分數(shù)符號的同分母分數(shù)

7、大小比較、同分子分數(shù)大小比較、異分子異分母分數(shù)大小比較。例如：小奇和小芳各有1條相同的巧克力，小奇把他的巧克力平分成4份，吃了其中2份，小芳把他的巧克力平分成2份，吃了其中1份。請問哪一位吃的巧克力比較多？為什么？(五)等值分數(shù)概念本研究所探討的等值分數(shù)概念是指學童解以分數(shù)符號或幾份中的幾份的語言來呈現(xiàn)，且單位分數(shù)或一份的內容物不只一個個物的試題時所需的概念。例如：12顆草莓裝1盤，哥哥把它平分成4份，吃掉1份，請你把哥哥吃掉的草莓圈出來。(六)連續(xù)量要找出指定分數(shù)的部分量時，需將對象作人為切割的對象稱為連續(xù)量，例如一個蘋果的三分之一。(七)部分/全部部分/全部為分數(shù)意義之一，它是指在連續(xù)量情

8、境下的分數(shù)意義。(八)離散量對象呈離散的狀態(tài)，一個一個獨立的呈現(xiàn)，要找出指定分數(shù)的部分量時，不需將對象作人為切割的對象稱為離散量，例如3顆糖果的三分之一。(九)子集/集合子集/集合為分數(shù)意義之一，它是指在離散量情境下的分數(shù)意義。貳、文獻探討在探討研究問題中分數(shù)各子概念的相關研究之前，本研究先進行分數(shù)教材分析，以了解中年級學童的分數(shù)學習范圍及其使用的語言，作為設計筆測工具的參考。一、國小二四年級分數(shù)教材之分析在教材分析方面，考慮教材的影響程度，故選擇市場占有率最高的版本（康軒文教事業(yè)，民88）來分析。由于分數(shù)教材從國小二年級開始，考慮到教材的連貫性，故就國小二至四年級分數(shù)教材進行探討。其中等值分

9、數(shù)教材在五年級才出現(xiàn)，為了使分析的教材較完整呈現(xiàn)，因此等值分數(shù)就五年級教材進行分析。(一)等分概念教材1. 分數(shù)的認識從等分引入，但教材中有關等分的部分大都為自行等分問題（即要學童自己進行實際的等分活動），而判斷是否等分問題僅有兩題，而且均是等分的情境。2. 在情境上，連續(xù)量情境較多，離散量情境較少。3. 一半的生活語言只出現(xiàn)兩次，且在同一單元。二分之一符號語言的出現(xiàn)也未和一半作連結。4. 平分的用語在二年級即已出現(xiàn)，但教材中卻僅用兩個問題，來讓學童了解什么是平分。另外，等分的用語則到三年級才出現(xiàn)。(二)簡單分數(shù)概念教材1. 在活動情境上，連續(xù)量情境比離散量情境多了許多。2. 平分、分數(shù)、等分

10、、分子、分母和全部等用語均出現(xiàn)在教材中。(三)分數(shù)單位量概念教材1.有關分數(shù)單位量概念的活動僅有二個，問題的類型也僅有二種。2.在活動情境上，連續(xù)量和離散量情境各一題。(四)分數(shù)等量概念教材1. 在二年級下學期分數(shù)教材，即有具分數(shù)圖形的分數(shù)大小比較活動，但三、四年級卻沒有分數(shù)等量概念教材。2. 分數(shù)大小比較活動，一開始即分數(shù)符號和圖形同時出現(xiàn)，而沒有純粹量的大小比較問題，例如僅有分數(shù)圖形的大小比較問題。(五)等值分數(shù)概念教材1.單位分數(shù)的內容物為多個個物的情境，到五年級上學期才出現(xiàn)。2.等值分數(shù)的介紹，一開始即以分數(shù)符號引入。3.在問題情境上，連續(xù)量和離散量情境并重。二、等分概念Piaget，

11、Inhelder Szeminska（1960）發(fā)現(xiàn)部分/全部的分數(shù)意義，可以細分為七個子概念，其中的一個子概念就是分割的每一部份都要相等。呂玉琴（民80a）也指出在部分全部的分數(shù)意義中，分割后的每一部份都要相等，是很重要的概念。Columba（1989）指出等分概念在連續(xù)量是將全部分為相等的部分，在離散量是將一堆分散的物體分成數(shù)量一樣的子集合。Bergeron Herscovics（1987）發(fā)現(xiàn)大部分的國小三年級學童在處理分數(shù)板的問題時，只注意到分數(shù)板被分割成幾塊，而沒有注意到每一塊是否相等。呂玉琴（民80b）針對一位剛上國小一年級的學童進行面談，發(fā)現(xiàn)他處理一半和二分之一的問題有差異：一半

12、是生活語言，二分之一是數(shù)學語言。孩童處理一半的問題時，具有較高的容忍范圍，而處理二分之一的問題則要求較高的精確度。三、簡單分數(shù)概念Piaget et al. (1960)、Hiebert Tonnessen (1978)、Pothier Sawada (1983)發(fā)現(xiàn)孩童在處理和長度、面積有關的分數(shù)問題時，均是先會處理1/2的分數(shù)問題。呂玉琴（民80b）發(fā)現(xiàn)二年級學童一半概念和1/2概念的連結并不穩(wěn)固。四、分數(shù)單位量概念Figueras，F(xiàn)illoy & Volderuoros (1988)及Figueras（1989）指出兒童指認單位量的困難有三種類型，分別為：(一) 忽略給定的單位

13、量在圖2-1（a）中，學童只注意到被圈起來的橘子都在右邊這二堆中，而誤以為右邊這兩堆橘子的總個數(shù)即是單位量，而忽略了四堆橘子的總個數(shù)才是單位量。在圖2-1（b）中，學童忽略等值分數(shù)，故學童不認為所有的磚塊是單位量，而只圈出和分母數(shù)字相同的磚塊個數(shù)來代表單位量，再由此單位量中找出問題的答案。在圖2-1（c）中，學童無法看出整個圖形是單位量而將圖形二分為陰影部分及空白部分，并視分數(shù)為這兩部分的比較結果。圈起來的橘子占多少？將的磚塊著色陰影部分占圖形的幾分之幾？（a） （b） （c）圖2-1 忽略給定的單位量(二) 受分子控制圖2-2中，學童受著色葡萄的個數(shù)是5的影響而出現(xiàn)下列三種錯誤：（1）用一般

14、的語言表達：學童只看到著色葡萄的個數(shù)而回答五份；學童看到全部葡萄的個數(shù)，也看到著色葡萄的個數(shù)，但不知如何用分數(shù)表示而回答三十的五份。（2）用符號來表達：學童只看到著色葡萄的個數(shù)而回答1/5。（3）符號和語言的組合：5/301/6，由于學童的分數(shù)概念不清，因此出現(xiàn)6/30是五份的答案。問題：著色的葡萄占多少？答案類型：五份1/5三十的五份6/30是五份5/30，30的五份圖2-2 受分子控制(三) 受分母控制在圖2-3（a）中，學童受分母是4的影響而圈出四朵花朵；在圖2-3（b）中，學童受分母是5的影響，除了將僅有的一個氣球孤立外，其它每串氣球都讓其氣球的個數(shù)大于或等于分母5。（a） （b）圖2

15、-3 受分母控制林福來、黃敏晃、呂玉琴（民85）發(fā)現(xiàn)低年級學童會改變單位量或分解單位量，使問題簡化到自己能夠處理。同時，低年級學童傾向于自我假設在同一情境中出現(xiàn)的各個分數(shù)具有相同的單位量。五、等量概念根據Behr，Wachsmuth，Post & Lesh（1984）的研究顯示，學童在處理同分子分數(shù)、同分母分數(shù)、異分子異分母分數(shù)比較問題時，會采取各種不同的策略。例如學童處理同分子分數(shù)問題時，運用整數(shù)支配法，認為1/3小于1/4是因為34。處理同分母分數(shù)問題時，學童運用不正確的分子分母法，認為9/13小于4/13是因為四塊是這么大，九塊會比較小以便合于全部。處理異分子異分母分數(shù)時，學童將

16、分子分母分開比較，使用整數(shù)的排序，認為3/5小于6/10是因為36，而且510。呂玉琴（民80a）還發(fā)現(xiàn)學童會使用下列二個不正確的方法來解題：1.根據分母的大小來比較，例：1/2>2/4。就像在分一塊餅，1/2是切2塊比較大，2/4是切4塊比較小。2.根據分子的大小來比較，例：2/4>1/2。因為2/4是涂2塊，1/2是涂1塊，所以2/4比較大。Armstrong，Barbara Larson（1995）發(fā)現(xiàn)，以長方形表征分數(shù)并要求學童比較分數(shù)大小時，有無加入分數(shù)符號，學童所采取的策略不同，表現(xiàn)的結果也有差異。我們以圖2-4的第1題及第2題對照來說明題目呈現(xiàn)的差異。第1題：沒有分數(shù)

17、符號，先讓學童確認兩塊長方形蛋糕一樣大，再問如果你吃掉這些蛋糕有顏色的部分，是灰色的部分比較多？還是黑色的部分比較多？還是一樣多？第2題：也是先讓學童確認兩塊長方形蛋糕一樣大，然后問灰色的部分有多大？可不可以寫下？學童將分數(shù)寫在旁邊，再問和第1題一樣的問題。第1題： 第2題：1/41/4圖2-4 面積比較的分數(shù)問題加入分數(shù)符號，采用部分/全部策略的學童由25.2%增加至46.2%，但整體錯誤率降低了，由24.32%降低到18.72%。六、等值分數(shù)概念呂玉琴（民80a）發(fā)現(xiàn)有相當多的國小五、六年級學童，即使接受過等值分數(shù)的教學，仍然不認為1/22/4。同時，在連續(xù)量的分數(shù)問題中發(fā)現(xiàn)國小四、五年級

18、學童不認為1/2 = 2/4的理由有程度上的差異。Behr，Lesh，Post & Silver（1983）在探討學童等值分數(shù)表現(xiàn)時，提到彈性思考是影響學童等值分數(shù)概念的重要因素。例如他們呈現(xiàn)給四年級學童如圖2-5的圖形。圖2-5 彈性思考問題Behr et al.藉此評估學童處理全部中的部分時，能否對未分割區(qū)域或分割區(qū)域運用彈性思考能力。也就是說，對cde這個部分，學童能不能忽視cde的分割線，將之視為四分之一？而在b這個部分，學童能不能憑空想象出兩條分割線，并將之命名為十二分之三？Behr et al.發(fā)現(xiàn)學童雖然在圖形的對照以及Behr的引導下，說出四分之一也是十二分之三。但是學

19、童還是要加上一句：如果你把它切成三塊的話。Behr et al.因此認為彈性思考能力是影響兒童等值分數(shù)概念的重要因素之一。KamiiClark（1995）認為學童解等值分數(shù)問題會受運作思考（以分數(shù)大小作比較）或圖形思考（以圖形大小作比較）的影響。例如他們給五、六年級學童兩張一樣大的長方形紙，然后在學童面前把兩張長方形的紙對折：一種對折成兩個長方形、一種折成兩個三角形，如圖2-6。圖2-6 等積異形保留概念Kamii要求學童確認所分割的部分的確各是原來長方形的一半，然后，他將兩個長方形剪開，形成兩個三角形、兩個長方形，并要學童假想成在分巧克力，如果我把這塊給你吃（指長方形a），這塊（指三角形c）

20、給我自己吃，你想我們吃的巧克力是不是一樣多？結果有44的學童說一樣多，38說三角形比較大，其它的學童很矛盾，Kamii認為這些學童的運作思考告訴他們兩塊一樣大，但是圖形思考卻說三角形比較大，使他們對自己的答案不確定。七、文獻對本研究的啟示現(xiàn)行教材在等分概念方面，自行等分問題較多，而判斷是否等分的問題較少。兒童對于判斷是否等分問題的表現(xiàn)如何？為本研究的重點。二分之一的符號語言在教材中并未和一半作連結。學童對于一半和二分之一了解情形如何？本研究也將予以探討。呂玉琴(民80b)發(fā)現(xiàn)國小一年級學童對解一半和1/2問題的表現(xiàn)有差異，中年級學童的表現(xiàn)又如何呢？本研究將予以探討。由Piaget et al.

21、(1960)、Hiebert et al.(1978)和Pothier et al.(1983)的研究來看，學童單位分數(shù)概念是較先發(fā)展的分數(shù)概念。因此本研究在編制試題時，將以學童較早學習的單位分數(shù)問題為主。Figueras（1989）的分數(shù)單位量概念題目較適合中年級學童，本研究將其納入參考，以了解國內中年級學童的分數(shù)單位量概念表現(xiàn)如何。根據Behr et al.(1984)的研究顯示，學童在處理同分子分數(shù)、同分母分數(shù)、分子分母皆不同的分數(shù)比較問題時，會采取各種不同的策略，而國內中年級學童的表現(xiàn)情形如何？本研究將予以探討。Kamii Clark（1995）認為兒童等值分數(shù)概念與思考的運作面（運作

22、思考、圖形思考）有關。本研究將此思考運作面列入設計問題的參考，以了解國內中年級學童的表現(xiàn)情形。參、研究方法與過程一、研究方法本研究在探討臺灣北部地區(qū)國小中年級學童分數(shù)概念的了解情形。從文獻得知筆測兼面談的方式，可以得到不錯的研究結果（如：楊壬孝，民78）。故本研究亦采用筆測及一對一半結構式面談等方法配合進行。先以紙筆測驗收集資料，以了解學童對題目的答對率、難易程度及其表現(xiàn)的錯誤類型。另外，根據學童筆測結果的錯誤予以分類，選取具有分數(shù)不同錯誤類型的兒童，進行半結構的訪談，以了解學童錯誤的成因。二、研究過程(一)發(fā)展研究工具1.筆測工具之編制本研究根據等分、簡單分數(shù)、分數(shù)單位量、等量及等值分數(shù)等子

23、概念及連續(xù)量、離散量情境來設計試題。本研究筆測試題之設計除了參酌以往與分數(shù)概念有關的研究之外，也參考分數(shù)教材分析及實際教學者的訪談建議來編制。并先后在某國小中年級每次選取不同二班，進行五次紙筆測驗及面談預測，藉以了解學童受測所花的時間、是否了解題意及可能的解題策略和錯誤類型。每次預測后，根據預測結果，針對試題不妥之處，加以修正。前后進行五次預測、討論、修正后成為正式試題。2.筆測工具設計說明研究工具的試題共計26題，試題雙向細目表如表3-1所示。表3-1 中年級分數(shù)概念筆測試題雙向細目表情境題號概念 連續(xù)量離散量各子概念題數(shù)等 分8、10、171、4、186簡單分數(shù)2、9、16-1、16-24

24、單位量6、715、214等量5、12、16-3、233、206等值分數(shù)14、2211、13、19、246各情境題數(shù)151126各題除了單獨分析之外，并在各題之間作一些對照比較。例如表3-2。表3-2 等分概念試題設計說明題 號說 明10、17作第10題以平分敘述的判斷等分問題和第17題以分數(shù)符號來敘述的判斷等分問題的難易比較，亦即六等分、五分之一的比較。3.筆測工具的信度與效度(1)信度方面本研究筆測試題的信度分析，采Flanagan折半信度，依題目難易排序后奇偶折半，以EXCEL軟件作信度計算，算出的信度為0.881。(2)效度方面效度方面，本研究在編制試題時，參酌相關研究、教材分析及實際教

25、學者訪談建議，使每一題均符合研究之目的。在編制過程中參考各方意見，除了大學教授、研究生外，也與現(xiàn)職國小教師進行討論修正，故本研究工具具有專家效度。又根據表3-1的雙向細目表，本筆測工具具內容效度。4.半結構面談(Semistructured Interview)研究者根據筆測結果，歸納一些錯誤類型，針對主要錯誤類型設計訪談問題，探究錯誤原因。在探究每一個錯誤的原因時，研究者先以設計的訪談問題問受訪者，再根據受訪者的回答，進一步作深入訪談，務期獲得更完整的資料，例如學童回答五份里面的一份就是五分之一時，研究者則進一步的問：大小沒有一樣有沒有關系？，如此來確定學童是否不管每一份的大小與否，而直接認

26、為五份里面的一份就是五分之一。(二)研究對象本研究抽取臺北市智類學校、仁類學校，臺北縣智類學校、勇類學校，桃園縣智類學校、仁類學校共六所學校的三、四年級各抽取一班進行施測，三、四年級施測人數(shù)分別為176人、199人，共計375人。(三)筆測筆測是以班級為單位的團體施測方式進行，由研究者親自監(jiān)考。筆測實施日期為90年6月11日至90年6月15日。(四)面談面談由研究者與學童以一對一的方式進行，亦即研究者一次只訪談一個人，面談過程均加以錄音并轉成書面資料。面談實施日期為90年6月18日至90年6月22日，面談人數(shù)為32人。(五)數(shù)據處理筆測資料以人工閱卷方式把學童的答案作分類，再用統(tǒng)計軟件算出各類

27、型答案的百分比，答案類型的百分比若低于1者，則合并為其它類的答案類型。面談過程皆錄音并轉錄成書面文字以便分析學童產生錯誤概念的原因，訪談片段中，代號S3022中的S代表受訪學童、3代表三年級、22代表學童的編號。肆、研究結果限于篇幅關系，以下僅呈現(xiàn)各子概念部分試題的測驗結果及訪談資料。一、中年級學童在等分概念上的表現(xiàn)（10）叔叔買了1個蛋糕，把它切成像右圖的樣子。奇奇說：叔叔把蛋糕平分成6塊了。請問奇奇的說法對不對？_為什么？_國小三、四年級學童的答對率分別為75、82.4。答案類型為對的三年級學童有25.4、四年級學童有17.1，大多數(shù)學童回答錯誤的理由是因為叔叔有把蛋糕切成六塊。，當研究者

28、進一步的問：那六塊大小要不要一樣？，S3011回答：應該不用吧！ 由此顯示，有些學童對于平分并不清楚，因而認為只要分成六塊就是平分成六塊，亦即把平分當作分。（17）老師買了1個蛋糕，把它切成像下圖的樣子。丁丁說：我吃掉其中1塊蛋糕，就是吃了個蛋糕。，請問丁丁的說法對不對？_為什么？_三、四年級學童的答對率分別為67.6、72.4。答案類型為對的三年級學童有31.2、四年級學童有27.1，大部分學童錯誤回答的理由是認為五份里面的一份就是五分之一，當研究者進一步的問：大小沒有一樣有沒有關系？，S4012回答：沒有。由此顯示有些學童認為五分之一就是五份里面的一份，而不管每一份大小是否相等。第10題和

29、第17題對照比較國小三、四年級學童解直接敘述平分問題（第10題）的答對率分別為75、82.4，高于分數(shù)符號問題（國小三、四年級學童答對率分別為67.6、72.4），顯示約7.410的學童了解平分的意思，卻不知道1/5是表示平分成五份里面的一份。不論是直接敘述平分問題或是分數(shù)符號問題，錯誤回答的學童均只注意到被分割的塊數(shù)，而未注意分割的每一塊是否相等。（4）媽媽買了一些漢堡，哥哥吃掉這些漢堡的一半，請你把哥哥吃掉的漢堡圈出來。國小三、四年級學童的答對率分別為86.9、91，較普遍的錯誤類型為圈4個（三年級5.1、四年級2），其次為圈3個（三年級1.7、四年級1.5）。圈4個的學童誤認為是上下各四

30、個漢堡的一半，而沒有將十個漢堡視為全部，如S4012。圈3個的學童誤認為是上面六個漢堡的一半，所以圈3個，如S3015。因此，我們可以發(fā)現(xiàn)錯誤回答的學童未看清題意，誤解單位量的個數(shù)，而導致錯誤的回答。二、中年級學童在簡單分數(shù)概念上的表現(xiàn)（2）小智把1條長方形蜂蜜蛋糕平分成4份，那么其中3份可以說是多少條蛋糕？ _條 三、四年級學童的答對率分別為65.3、86.4，其中四年級學童較普遍的錯誤類型為3條（5.5），三年級學童較普遍的錯誤類型為1/3條（7.4）?；卮?條的學童，認為其中3份就是3條蛋糕，如S4012。由此顯示，學童對于單位量和部分量的單位詞混淆不清，認為3份和3條沒有差別，以致于無

31、法使用分數(shù)來表示部分量與單位量的關系?；卮?/3條的學童，將3份的3視為分母，將1條的1視為分子，如S3022。由此顯示，學童對于分數(shù)的分母和分子所代表的意義并不了解，因而無法正確地使用分數(shù)來表示部分量與單位量的關系。 （9） 1瓶可樂全部倒出來可以裝成7杯，請問小華喝了3杯是喝了多少瓶可樂？ _瓶。三、四年級學童答對率分別為64.2、84.9，較普遍錯誤類型為4瓶（三年級6.8、四年級3.5），其次是1瓶（三年級5.7、四年級3）?；卮?瓶的學童認為七減三等于四，所以是四瓶，當研究者進一步的問：為什么你要七減三？， S3006回答：因為一罐可樂可以倒成七杯，小華喝了三杯。由此顯示，有些學童無

32、法區(qū)分部分量的單位詞與單位量的單位詞的不同。回答1瓶的學童認為三杯就是一瓶，如S3005。由此顯示，有些學童未認清杯和瓶兩個單位詞的區(qū)別。第2題和第9題對照比較在答對率方面，第2題蜂蜜蛋糕問題（三、四年級學童答對率分別為65.3、86.4）和第9題可樂問題（三、四年級學童答對率分別為64.2、84.9），并沒有差異。學童在簡單分數(shù)問題上，錯誤類型相當一致，均受到整數(shù)知識的影響，而普遍出現(xiàn)整數(shù)的錯誤類型，學童直接將三份蛋糕視為三條蛋糕、四杯可樂視為四瓶，而不管單位詞是否符合。三、中年級學童在單位量概念上的表現(xiàn)（6） 1盒巧克力有2條，小政吃掉半條，請你用筆把小政吃掉的涂上顏色。 三、四年級學童的

33、答對率分別為67、72.4，主要的錯誤類型為涂1條（三年級31.8、四年級26.1），學童以全部內容物當單位量，因而認為吃掉半條就是兩條的一半，所以是一條。如S3027。（15） 1盒巧克力有5條，小晴吃掉半盒的巧克力，請你用筆把小晴吃掉的巧克力涂上顏色。 三、四年級學童的答對率分別為86.4、87.9，較普遍的錯誤類型是涂半條（三年級5.7、四年級6）、涂2條（三年級3.4、四年級3.5）、涂3條（三年級2.8、四年級0.5）。涂半條的學童以一個內容物當單位量，因而認為半盒就是半條，所以就涂半條，如S3013。涂2條的學童認為五條無法分一半，所以涂2條，當研究者進一步問為什么沒有辦法分一半，

34、你就涂二條？， S3011回答：因為我是涂這四條蛋糕的一半（指著前面四條蛋糕）。由此得知，有些學童因為題目中一盒蛋糕有五條要涂半盒無法處理，因此將一條蛋糕忽略，只涂出四條蛋糕的一半（二條），亦即學童無法處理此類余量再分問題時，便自行改變單位量（忽略一條蛋糕），使自己能夠回答問題。 （21）有3條長方形蜂蜜蛋糕，阿姨拿走全部3條蛋糕的，請你用筆把阿姨拿走的蛋糕涂上顏色。 三、四年級學童的答對率分別為43.2、61.8，主要的錯誤類型為涂一條（三年級29.0、四年級23.6）、涂二條半（三年級9.1、四年級4.5）、涂二條（三年級10.8、四年級2.5）、涂半條（三年級5.1、四年級5.0）。 涂

35、一條的學童認為二分之一就是兩條其中一條，所以涂一條蛋糕，當研究者進一步問那這一條呢？（指著第三條蛋糕）不用管了？， S4012回答：不用。因此，我們可以發(fā)現(xiàn)學童無法處理此類余量再分問題時，便自行改變單位量（忽略一條蛋糕），使自己能夠回答問題。涂二條半的學童認為兩條蛋糕就是代表二分之一的分母2，半條代表分子1，當研究者進一步問為什么第三條要畫一半？， S4028回答：因為再畫就變3條啦！就是三分之一了。由此得知，有些學童在處理分數(shù)問題時，解題過程深受分母和分子的影響。涂二條的學童因受到分母是2的影響而涂二條蛋糕，當研究者進一步問那如果現(xiàn)在是三分之一呢？， S3009回答：就涂三條。因此，我們可以

36、發(fā)現(xiàn)犯此類錯誤的學童在處理分數(shù)問題時，只考慮到問題中的分母，解題過程深受分母的影響。涂半條的學童將一個內容物當單位量，認為二分之一就是將一個內容物分成兩半其中的一半，所以涂半條，當研究者進一步問那這兩條不用管它？（指著另外兩條蛋糕），S4031回答：不用管它。由此得知，有些學童雖然知道二分之一是兩份其中一份，但是卻以一個內容物當單位量，而導致錯誤。第6題、第15題和第21題對照比較由第6題和第15題的測驗結果得知，當全部內容物不只一個時，第6題以一個內容物當單位量的問題（三、四年級學童答對率分別為67、72.4）比第15題以全部內容物當單位量的問題（三、四年級學童答對率分別為86.4、87.9

37、）困難。另外，我們也發(fā)現(xiàn)約26.131.8的學童會將全部內容物不只一個，但以一個內容物當單位量的問題視為以全部內容物當單位量的問題來處理（第6題）；約5.76的學童將以全部內容物當單位量的問題視為以一個內容物當單位量的問題來處理（第15題）。由第15題和第21題的測驗結果得知，半盒的敘述（三、四年級學童答對率分別為86.4、87.9）對學童來說比二分之一的符號（三、四年級學童答對率分別為43.2、61.8）簡單。另外，約0.529的學童在面對余量再分問題時會自行增加或減少內容物，使其數(shù)量可以整數(shù)個分配，如五條蛋糕的一半，涂2條或涂3條。第6、15和21題三題比較，顯示一半語言的敘述問題，如半條

38、、半盒，對學童來說是較容易的，二分之一的符號問題則較困難。四、中年級學童在等量概念上的表現(xiàn)（3） 1盒彈珠有8個，分給小志和小英，小英得到盒，小志得到 盒，請問誰得到比較多的彈珠？_ 為什么？_ 三、四年級學童的答對率分別為99.4、100，答對率接近百分之百，答對學童所持的理由大都是因為分子53，所以小志得到的彈珠比較多，由此可知學童深受整數(shù)學習的影響。另外，本題只有一位學童雖然答案是對的，但是其所持的理由是錯誤的，這位學童認為因為小英得到8.3盒，小志得到8.5盒，所以小志得到的彈珠比較多。（20） 1盒蘋果有4個，小波得到盒，小明得到盒，請問誰得到比較多的蘋果？_為什么？_ 國小三、四年

39、級學童的答對率分別為21.6、54.8，主要的錯誤類型為小明（三年級63.1、四年級32.7），其次為一樣多（三年級14.2、四年級9.5）。回答小明比較多的學童，有些學童是認為四比二大，所以四分之一盒比較多，因此小明得到的蘋果比較多，如S3025。有些學童認為四分之一盒就是四顆，二分之一盒就是兩顆，因此小明得到比較多的蘋果，如S3015。由此得知，有些學童在處理等量問題時，會受分母的影響，亦即運用分母和分母比，來決定分數(shù)的大小。同時，有些學童也未將分數(shù)當作一個量來進行比較，而是運用整數(shù)知識來處理問題?；卮鹨粯佣嗟膶W童認為小明是四分之一盒就是四份里面的一個，小波是二分之一盒就是兩份里面的一個，

40、兩個人都是得到一個，所以兩個人得到一樣多，如S3030。由此得知，回答一樣多的學童會受到分子的影響。第3題和第20題對照比較在答對率方面，第20題異分母問題（三、四年級學童答對率分別為21.6、54.8）比第3題同分母問題（三、四年級學童答對率分別為99.4、100）困難許多，主要是因為同分母問題，學童只要運用整數(shù)知識即可正確回答問題。對于異分母問題，運用整數(shù)知識回答問題卻會造成解題錯誤，其錯誤類型又可分為兩種，一種是受分母影響，另一種是受分子影響。（23） 小奇和小芳各有1條相同的巧克力，小奇把他的巧克力平分成4份，吃了其中2份，小芳把他的巧克力平分成2份，吃了其中1份。請問哪一位吃的巧克力

41、比較多？_為什么？_三、四年級學童的答對率分別為33.5、50.8，主要的錯誤類型為小奇（三年級42.6、四年級27.1），其次是小芳（三年級19.3、四年級19.6）?；卮鹦∑娴膶W童，有些學童認為四比二大，二又比一大，所以四分之二比二分之一大，小奇吃的巧克力比較多，如S3023。由此得知，有些學童在進行四分之二和二分之一的比較時，未將分數(shù)視為一個量，而將分數(shù)分成兩個整數(shù)來進行比較，亦即將分子分母分開比較（2/41/2，因為21且42）。另外，回答小奇的學童，有些學童認為小奇吃掉二份，小芳吃掉一份，二份比一份多，所以小奇吃的巧克力比較多，如S4028。由此得知，有些學童認為巧克力吃掉的份數(shù)越多

42、就吃的越多，而忽略每一份巧克力是否一樣大小?；卮鹦》嫉膶W童認為小芳分成兩份，小奇分成四份，分成兩份的每一份一定會比較大，所以小芳吃的巧克力會比較多，如S4012。由此得知，有些學童根據平分的份數(shù)越少每一份就越大，而忽略分得的份數(shù)。第20題和第23題對照比較三、四年級學童解平分成幾份中的幾份的分數(shù)問題（第23題）的答對率分別為33.5、50.8，解分數(shù)符號問題（第20題）的答對率分別為21.6、54.8，兩類型問題答對率相近。五、中年級學童在等值分數(shù)概念上的表現(xiàn)（19） 12顆草莓裝1盤，哥哥把它平分成4份，吃掉1份，請你把哥哥吃掉的草莓圈出來。 三、四年級學童的答對率分別為76.1、75.4，

43、主要的錯誤類型為圈4顆（三年級14.8、四年級12.1），其次是圈1顆（三年級5.1、四年級3.5）。圈4顆的學童認為平分成四份就是四顆草莓一份，吃掉一份就是吃掉這四顆草莓，如S3010。由此得知，有些學童誤認為平分成四份就是四顆草莓一份。圈1顆的學童認為平分成四份吃掉一份就是四顆草莓吃掉一顆，如S3008。由此得知，有些學童認為份數(shù)就是等于單位量內容物的個數(shù)。（24） 6顆糖果裝1包，包有幾顆？請你把它圈出來。 國小三、四年級學童的答對率分別為39.8、58.3，主要的錯誤類型為圈3顆（三年級30.1、四年級21.1），其次是圈1顆（三年級22.2、四年級15.1）。圈3顆的學童，認為六的一

44、半就是三（分母），然后一（分子）就是其中一半，所以圈3顆，如S3023。另外，有些學童是直接看分母的三，當研究者進一步問那如果是五分之一呢？，S3009回答：就圈五顆。由此得知，圈3顆的學童受到分母的控制。圈1顆的學童認為三分之一包就是三顆里面的一顆，如S3022。由此得知，圈1顆的學童受到分子的控制，而未將六顆糖果視為全部。第19題和第24題對照比較標示指定份數(shù)的等值分數(shù)問題（第19題三、四年級學童答對率分別為76.1、75.4）比標示指定分數(shù)的等值分數(shù)問題（第24題三、四年級學童答對率分別為39.8、58.3）容易許多。（13）爸爸買了一些棒冰，姊姊吃掉這些棒冰的，請你把姊姊吃掉的棒冰圈出

45、來。國小三、四年級學童的答對率分別為32.4、60.8，主要的錯誤類型為圈1枝（三年級43.2、四年級27.6），其次是圈2枝（三年級19.9、四年級8.5）。圈1枝的學童認為二分之一就是兩枝其中一枝，而不管全部的棒冰有幾枝，如S3015。由此得知，圈1枝的學童受到分子的影響，因而出現(xiàn)圈1枝的答案。圈2枝的學童因為看到二分之一的分母二，就圈2枝棒冰，如S4028。由此得知，圈2枝的學童受到分母的影響，看到二分之一的分母二，就圈2枝棒冰。第4題（等分問題）和第13題對照比較從這兩題的答對率來看，可以發(fā)現(xiàn)一半的語言（第4題三、四年級學童答對率分別為86.9、91.0）對學童來說是較容易的，而二分之

46、一的語言（第13題三、四年級學童答對率分別為32.4、60.8）是較困難的，由此顯示學童的一半和二分之一概念的連結并不穩(wěn)固。伍、結論與建議一、結論與討論(一)中年級學童在分數(shù)概念上的整體表現(xiàn)1.未具備先備知識的情形約12.125.4的中年級學童對于平分并不了解，因而認為平分成幾份就是分成幾份或是幾個一份。連續(xù)量判斷是否平分問題，約17.125.4的中年級學童認為分成六塊就是平分成六塊，不必管分割后的每一塊大小是否相等。另外，在等值分數(shù)問題方面，約12.114.8的學童認為草莓平分成四份就是四顆草莓一份。2.學習中年級分數(shù)教材的成果 三、四年級學童對于運用整數(shù)知識正確解分數(shù)問題的能力相近；對于分

47、數(shù)問題中呈現(xiàn)一半語言和平分敘述的掌握能力也相當，但對于分數(shù)符號意義的了解，四年級學童的表現(xiàn)比三年級學童佳。3.學習中年級分數(shù)教材的負面影響中年級學童在全部內容物不只一個，但以一個內容物當單位量的問題表現(xiàn)比以全部內容物當單位量的問題差。全部內容物不只一個，但以一個內容物當單位量的問題，國小三、四年級學童的答對率分別為67、72.4。以全部內容物當單位量的問題，三、四年級學童的答對率分別為86.4、87.9。另外，約26.131.8的中年級學童會將全部內容物不只一個，但以一個內容物當單位量的問題視為以全部內容物當單位量的問題來處理；約5.76的中年級學童將以全部內容物當單位量的問題視為以一個內容物

48、當單位量的問題來處理。顯示中年級學童在全部內容物不只一個，但以一個內容物當單位量的問題表現(xiàn)比以全部內容物當單位量的問題差。但是吳宏毅（民91）發(fā)現(xiàn)一年級學童對于全部內容物不只一個，但以一個內容物當單位量的問題答對率高達83.3，而由分數(shù)教材分析顯示教材并未出現(xiàn)全部內容物不只一個，但以一個內容物當單位量的問題。由此得知中年級學童在處理全部內容物不只一個，但以一個內容物當單位量的問題時，分數(shù)的學習會造成其對單位量的誤解。4.整數(shù)學習經驗的影響（1）中年級學童普遍地運用整數(shù)知識來處理分數(shù)問題中年級學童直接拿分子作比較來解同分母分數(shù)大小比較問題，即可正確回答問題；但學童在處理異分母的分數(shù)大小比較問題時

49、，將分子和分母分開作整數(shù)大小比較，以決定分數(shù)的大小，卻造成錯誤的回答。（2）中年級學童在處理分數(shù)問題時，將分數(shù)的分子、分母視為獨立的二個數(shù)的有三類：（a）約2.563.1的中年級學童受分母的影響。如32.763.1的三、四年級學童認為四分之一盒蘋果比二分之一盒蘋果多是因為分母四比二大。（b）約9.543.2的中年級學童受分子的影響。如9.514.2的三、四年級學童認為四分之一盒蘋果和二分之一盒蘋果一樣多是因為都是一盒。（c）約4.542.6的中年級學童將分母和分子分開看，來處理分數(shù)問題，如四分之二比二分之一大是因為四比二大、二又比一大。(二)中年級學童在等分概念上的表現(xiàn)1. 國小三、四年級學童

50、解自行等分問題的答對率分別為86.9、91，判斷是否等分問題的答對率在67.682.4之間，由此顯示自行等分問題對于中年級學童來說，比判斷是否等分問題來得容易。根據教材分析，國小中年級分數(shù)教材雖有出現(xiàn)判斷是否等分問題，但都是已等分的問題，因此造成中年級學童對于判斷是否等分問題感到困難。2. 連續(xù)量情境直接敘述平分問題、有分數(shù)符號出現(xiàn)的問題中年級學童答對率分別為7582.4、67.672.4。由此顯示具分數(shù)符號的判斷是否等分問題對中年級學童較困難，同時約7.410的學童了解平分的意思，但不知道分數(shù)是代表平分成幾份中的幾份，如1/5是代表平分成五份中的一份，而非五份中的一份。(三)中年級學童在簡單

51、分數(shù)概念上的表現(xiàn)在問題情境比較方面，蜂蜜蛋糕問題（三、四年級學童答對率分別為65.3、86.4）和可樂問題（三、四年級學童答對率分別為64.2、84.9）的難度并沒有很大的差異。另外，出現(xiàn)的錯誤類型也相當一致，均受到整數(shù)知識的影響，而普遍出現(xiàn)整數(shù)的錯誤類型。中年級學童直接將三份蛋糕視為三條蛋糕、將四杯可樂視為四瓶，而不管單位詞是否符合。(四)中年級學童在單位量概念上的表現(xiàn)約0.529的中年級學童在面對余量再分問題時會自行增加或減少內容物，使其數(shù)量可以整數(shù)個分配，如五條蛋糕的一半，涂2條或涂3條。亦即學童在處理自己不熟悉的分數(shù)問題，或是遇到無法處理的情形時，學童會自行改變單位量或分解單位量，使問

52、題簡化到自己能夠處理。造成百分比差距大的原因主要是因為一半語言與分數(shù)符號的關系，學童若遇到分數(shù)符號時，則錯誤的百分比會增加。(五)中年級學童在等量概念上的表現(xiàn) 1. 同分母分數(shù)的大小比較問題，答對率接近百分之百（離散量問題答對率99.4100），比異分母分數(shù)大小比較問題（離散量問題答對率21.654.8）容易許多，因為學童只要運用整數(shù)大小比較的知識，即可正確回答同分母分數(shù)的比較問題。2. 同分子異分母分數(shù)大小比較問題，學童根據分母的大小來進行比較，卻造成其解題錯誤。3. 異分子異分母分數(shù)大小比較問題，錯誤回答的中年級學童在比較分數(shù)大小時，使用的方法有三類：（1）將分子分母分開比較，如2/41/

53、2，因為21且42。（2）約19.319.6的中年級學童根據分母的大小來比較，如：因為小芳分成兩份，小奇分成四份，分成兩份的每一份一定會比較大，所以小芳吃的巧克力會比較多。（3）根據分子的大小來比較，如：有些學童認為因為小奇吃掉二份，小芳吃掉一份，二份比一份多，所以小奇吃的巧克力比較多。其中將分子分母分開比較和根據分子大小比較的中年級學童合起來約有27.142.6。(六)中年級學童在等值分數(shù)概念上的表現(xiàn)1. 在一份的內容物為多個個物的等值分數(shù)問題中，平分問題比分數(shù)符號問題簡單一份的內容物為多個個物的離散量平分問題，中年級學童的答對率為75.476.1；單位分數(shù)的內容物為多個個物的離散量分數(shù)符號問題，中年級學童的答對率為32.460.8。顯示在一份的內容物為多個個物的情況下，平分問題比分數(shù)符號問題簡單。2. 解等值分數(shù)問題時，一半語言的分數(shù)問題對中年級學童來說較容易，而二分之一的分數(shù)問題（答對率32.460.8）比一半語言的分數(shù)問題（86.989.1）較困難些，由此顯示一半和二分之一的連結并不穩(wěn)固。3. 約15.143.2的中年級學童遇到單位分數(shù)的內容物并非單一個物的問題時，會自行改變單位量的個數(shù)和分母相同，再處理分數(shù)問題，顯示出對分數(shù)為一種部分-整體的關系并不了解。約27.643.2的中年級學童認為十枝棒冰的二分之一就是兩枝其中