黃埔大橋吊索結(jié)構(gòu)系統(tǒng)參數(shù)與內(nèi)力關(guān)系研究

1、黃埔大橋吊索結(jié)構(gòu)系統(tǒng)參數(shù)與內(nèi)力關(guān)系研究蔡祿榮1 陳紅2 黃成造2 王榮輝1（1華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院,廣東 廣州 510640;2廣州珠江黃埔大橋建設(shè)有限公司，廣東、廣州、511434）摘 要：目前，大跨度懸索橋吊索索力識別最經(jīng)濟(jì)、適用的是頻率法，然而由四根吊索通過減振架連接起來后，現(xiàn)有的常用索力計(jì)算公式完全不適用。本文采用有限元法，對大跨度懸索橋中含減振架的長吊索建立了有限元計(jì)算分析模型，然后基于能量變分原理，推導(dǎo)了索結(jié)構(gòu)系統(tǒng)參數(shù)與初始內(nèi)力關(guān)系的表達(dá)式，并在黃埔大橋懸索橋試驗(yàn)驗(yàn)證，為識別此類吊索的內(nèi)力問題提供可靠的計(jì)算方法。關(guān)鍵詞：索結(jié)構(gòu)；頻率法；減振架；內(nèi)力識別在大跨度懸索橋中，吊索

2、恒載索力大小，既決定了主纜在成橋狀態(tài)的真實(shí)索形，也決定了加勁梁的恒載彎矩，是研究懸索橋內(nèi)力狀態(tài)的關(guān)鍵。目前常用的索力測試方法有電阻應(yīng)變片測定法、壓力傳感器測定法、張拉千斤頂測定法、磁通量法、頻率法等多種，頻率法是最經(jīng)濟(jì)、最適用的方法。蘇成1等提出一種基于多階頻率測試結(jié)果的斜拉索抗彎剛度識別方法；方志2等基于兩端固結(jié)梁在軸向拉力作用下橫向振動(dòng)方程，擬合出軸向拉力與梁的抗彎剛度、長度、線密度及振動(dòng)頻率之間的數(shù)值關(guān)系；黃平明3等用索力和索長來表示減振架的近似彈簧剛度。然而，由四根索股通過減振架聯(lián)結(jié)起來的長吊索，常用的計(jì)算公式完全不能用，其等效彈簧剛度也不僅僅與初始索力和索長有關(guān)，一般的簡化方法不能滿

3、足精度上的要求，使得此類索的索力識別成為一個(gè)難題。本文采用有限單元法，對由四根索股通過減振架聯(lián)結(jié)起來的長吊索建立了計(jì)算分析模型，基于能量變分原理，推導(dǎo)出索結(jié)構(gòu)系統(tǒng)參數(shù)、振動(dòng)頻率和內(nèi)力的關(guān)系表達(dá)式，并通過試驗(yàn)和實(shí)橋予以驗(yàn)證。1 計(jì)算模型由于長吊索的自振頻率比較小，為了減少風(fēng)致渦振等現(xiàn)象，在吊索的中間加一減振架，使四根索股相互連接在一起，如圖1所示。 圖 1 懸索橋吊索及減振架 圖 2 計(jì)算分析模型 吊索上端通過索夾掛在主纜上，主纜相對穩(wěn)定且剛度較吊索大得多，固長吊索的上端可看作鉸支邊界，吊索的下端通過錨頭連接于加勁梁上，可以看作固支邊界。將四根吊索、減振架和吊索夾具等一起考慮的三維計(jì)算分析模型如

4、圖2所示。減振架、索夾和鑄塊的剛度較吊索來說大很多，相當(dāng)于一塊剛體。因此，在采用有限單元法算中，把長吊索看成柔性索單元；把減振架、索夾和鑄塊看成是剛體，對索股之間的位移有約束作用，且對吊索的振動(dòng)附加了質(zhì)量塊；對吊索采用一致質(zhì)量矩陣，其余采用堆積質(zhì)量矩陣進(jìn)行模擬計(jì)算。2 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)振動(dòng)方程的建立結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)具有加速度。根據(jù)達(dá)朗貝爾原理和能量變分原理，可以建立求解結(jié)構(gòu)振動(dòng)問題的有限元基本方程，再通過編譯相應(yīng)的計(jì)算程序，就可以求得吊索的索力。2.1 單元位移模式將結(jié)構(gòu)離散為若干個(gè)由12個(gè)自由度組成的三維二節(jié)點(diǎn)單元。考慮結(jié)構(gòu)構(gòu)件中軸力作用要改變索結(jié)構(gòu)單元的彎曲剛度，彎矩作用使索單元彎曲長度縮短而改

5、變單元的軸向剛度，為了較好地模擬軸力與彎矩的相互作用，建立了考慮抗彎剛度的三維多自由度索單元，如圖3所示。圖 3 空間索單元位移和力的分布在第（e）個(gè)索單元中，任意點(diǎn)的位移可以用單元節(jié)點(diǎn)位移向量表示，即 （1）上式中，為形函數(shù)矩陣。形函數(shù)矩陣可參考索靜力平衡函數(shù)確定，索單元的平衡方程為： （2）解此常系數(shù)四階微分方程，得 （3）上式中：，T為吊索的索力，A、B、C、D為待定系數(shù)。假設(shè)索單元軸向的振動(dòng)函數(shù)為, 順橋向?yàn)?，橫橋向?yàn)椋@軸扭轉(zhuǎn)方向?yàn)?，這些函數(shù)都可表示成位移函數(shù)和時(shí)間函數(shù)的乘積，即有 （4）其中，據(jù)此，可取吊索的位移模式為： （5）上式中，a0,a1,b0,b1,b2,b3,c0,c1

6、,c2,c3為待定參數(shù)，可以由結(jié)點(diǎn)位移來表示。單元中任意點(diǎn)的速度和加速度也可以用單元節(jié)點(diǎn)速度向量和節(jié)點(diǎn)加速度向量表示： （6）2.2 單元?jiǎng)偠染仃嚭唾|(zhì)量矩陣整個(gè)吊索結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的勢能包括所有單元的彎曲應(yīng)變能、軸向應(yīng)變能，以及彈性支座的彈性勢能之和。通過能量變分原理可以得到索單元的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。含初始內(nèi)力的單元?jiǎng)偠染仃嚳珊唵蔚乇硎鰹?（7）上式中，為單元應(yīng)變矩陣，為彈性矩陣。單元一致質(zhì)量矩陣可簡單地表述為 （8）m為索單元單位長度的質(zhì)量。采用單元?jiǎng)傮w位移分布，依據(jù)單元分布質(zhì)量的慣性勢能與堆積質(zhì)量的慣性勢能相等，可求得堆積質(zhì)量矩陣。2.3 減振架等效處理減振架相比吊索相比，剛度非常大，因此可把它

7、等效成剛性薄板，對被連接的四個(gè)吊索的節(jié)點(diǎn)位移起到相互約束作用。為了建立它們之間的位移約束關(guān)系，以減振架的質(zhì)心為原點(diǎn)，建立局部右手螺旋直角坐標(biāo)系oxyz，如圖4所示。在整體劃分單元時(shí)，在四根索股與減振架聯(lián)接點(diǎn)處分配單元節(jié)點(diǎn)，同時(shí)在減振架的質(zhì)心位置虛設(shè)一節(jié)點(diǎn)Q，假定在此局部坐標(biāo)系中，四節(jié)點(diǎn)的相對編號分別為1、2、3、4，以表示它們的節(jié)點(diǎn)位移向量，以表示節(jié)點(diǎn)Q的位移變量。由于減振架位于整根索股的中間位置，不難看出，與節(jié)點(diǎn)1、2、3、4相連接的吊索單元各有兩個(gè)，取第一根索股為例，上下兩單元及其節(jié)點(diǎn)編號如圖5所示。 圖 4 減振架計(jì)算分析簡圖 圖 5 吊索局部單元及其節(jié)點(diǎn)示意圖令減振架橫橋向（兩吊索間距

8、）長為a, 順橋向?qū)挒閎, 以右手螺旋系順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正。當(dāng)給節(jié)點(diǎn)Q一小位移時(shí)，由剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)，可得到減振架四個(gè)角點(diǎn)的位移向量，也即為節(jié)點(diǎn)1、2、3、4的位移向量，然后對三角函數(shù)采用泰勒級數(shù)展開,并忽略二階以上微量，可以得到個(gè)四節(jié)點(diǎn)的位移分別為： （9）令為減振架質(zhì)心與節(jié)點(diǎn)“1”之間的位移約束矩陣，即為上式的系數(shù)矩陣，從而則式（9）可簡化成 （10）從上式可以看出，通過位移約束矩陣，減振架的四個(gè)角節(jié)點(diǎn)的位移向量都可用其質(zhì)心節(jié)點(diǎn)位移向量來表示。也就不難想象，在整體分析時(shí)，用減振架的質(zhì)心節(jié)點(diǎn)位移向量表示其四個(gè)角點(diǎn)的位移向量，也即相當(dāng)于可以把四個(gè)角節(jié)點(diǎn)匯聚于質(zhì)心，減少了計(jì)算自由度并達(dá)到耦合位移的目的。對

9、單元（），令其單元?jiǎng)偠葹椋灰葡蛄繛?，用?jié)點(diǎn)Q的位移向量表示為 （11）為單位矩陣，令，則該單元的應(yīng)變能可表示： （12）由變分原理，可得用質(zhì)心節(jié)點(diǎn)Q的位移向量表示節(jié)點(diǎn)1的位移向量后，其單元（）剛度矩陣為 （13）該單元的慣性力勢能可表示為： （14）由變分原理，可得用質(zhì)心節(jié)點(diǎn)Q的位移向量表示節(jié)點(diǎn)1的位移向量后，其單元（）一致質(zhì)量矩陣為 （15）同理，對單元（），令其單元?jiǎng)偠葹?，位移向量為，用?jié)點(diǎn)Q的位移向量表示為 （16）令，其單元（）剛度矩陣和一致質(zhì)量矩陣為 （17）對其余三個(gè)節(jié)點(diǎn)的相關(guān)單元，以同樣的方法，可得經(jīng)約束后相應(yīng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。假定減振架的單位體積的質(zhì)量為，總體質(zhì)量為，在局

10、部質(zhì)心坐標(biāo)系oxyz中，把其視為剛體后，令表示繞x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為繞y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。依據(jù)能量變分原理，可推導(dǎo)其質(zhì)量矩陣為各元素為：；，其余為0。2.4 振動(dòng)特征方程系統(tǒng)總勢能等于各個(gè)單元的勢能之和，對于自由振動(dòng)體系，由最小勢能原理有： （18）上述方程的解具有如下形式 （19）把式（20）代入式（19），可得如下特征方程： （19）為使上述方程有非零解，則必有 （20）式中，質(zhì)量矩陣與結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)和材料密度有關(guān)；總體剛度矩陣包含吊索的物理參數(shù)、彈簧的剛度和初始張力T，且后兩參數(shù)都是一次冪；為固有圓頻率，=2f，f為固有頻率；為振型。因此，在非負(fù)數(shù)范圍里，吊索的張力T和其自振

11、頻率是一一對應(yīng)的。在該方程中，可以考慮彈簧約束、剛體約束和質(zhì)量塊等因素的影響，更能模擬工程實(shí)際。3 算例分析為驗(yàn)證本文含有初始內(nèi)力的有限元計(jì)算方法的可靠性，做了如下實(shí)驗(yàn)。鑒于反力架的長度，選擇了長為3.26 m，線密度為1.092 kg/m 的鋼鉸線模擬吊索,在離其中一端點(diǎn)1.786 m處附加一豎向彈簧約束,由實(shí)驗(yàn)測得其剛度系數(shù)為157786 N/m。反力架內(nèi)部裝有傳感器，張拉力由液壓控制設(shè)備控制。在實(shí)驗(yàn)之前，先對其進(jìn)行預(yù)張拉，然后再進(jìn)行逐級張拉，等張拉穩(wěn)定一段時(shí)間后，采用擊振法進(jìn)行激振，用東方噪聲振動(dòng)研究所開發(fā)的加速度傳感器5938進(jìn)行拾振采樣，實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表1。表1 模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果F1 (/k

12、N)傳感器編號實(shí)測頻率 (/Hz)F2 (/kN)誤差 (/%)1階2階3階4階9.911117.6236.2254.8280.2810.2923855232.3165.5998.88132.1715.1101/44.0665.5986.1515.8424845237.275.38114.54/19.972125.4550.9172.45102.820.010190240.1482.24122.38164.47246.01114.54171.33229.09上表中，F(xiàn)1是指實(shí)驗(yàn)所加張拉力（由高精度傳感器讀得），F(xiàn)2是運(yùn)用本文方法計(jì)算的結(jié)果，傳感器“1”捆綁在垂直彈簧約束方向的鋼絞線上，傳感器“

13、2”捆綁在離其中一固端點(diǎn)1.786 m 處且順著彈簧的約束方向，。表1的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，在逐級張拉的過程中，用本文方法所計(jì)算的結(jié)果與實(shí)測張拉力吻合得較好，最大偏離值為4.845%，小于5.0%，同時(shí)也表明了本文方法的優(yōu)越性和可靠性。另對黃埔大橋在通車前空載作用下進(jìn)行過索力測試，通過所得頻率進(jìn)行索力計(jì)算，其中四根索的設(shè)計(jì)值和相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果見表2。表2 實(shí)測結(jié)果及其設(shè)計(jì)值索號設(shè)計(jì)值 (/kN)本文計(jì)算結(jié)果 (/kN)索號設(shè)計(jì)值 (/kN)本文計(jì)算結(jié)果 (/kN)W1-1329.4342.2W1-2338.1332.2W1-3348.9321.8W1-4353.1343.1從實(shí)際工程意義上來看，上表的數(shù)據(jù)也表明本文計(jì)算方法的可靠性。4 結(jié)論1.本文采用有限單元法，依據(jù)能量變分原理，推導(dǎo)了含有減振架的吊索結(jié)構(gòu)振動(dòng)特征方程，通過測試吊索的自由振動(dòng)頻率，能很方便地求解出吊索的初始內(nèi)力。2.通過試驗(yàn)和實(shí)橋驗(yàn)證表面，用本文計(jì)算方法所得結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差在5%以內(nèi)，能夠滿足工程精度要求，為大跨度懸索橋的索力識別提供參考。參考文獻(xiàn)1 蘇成, 徐郁峰, 韓大健. 頻率法測量索力中的參數(shù)分析與索抗彎剛度的識別J. 公路交通科技, 2005, 22 (5): 75-78.2 方志, 汪建群, 顏江平. 基于頻率法的拉索及吊桿張力測試J. 振動(dòng)與沖擊, 2007, 22 (9): 78-82.3 許漢