問(wèn)題與反思建構(gòu)對(duì)學(xué)習(xí)與對(duì)稱的理解

1、問(wèn)題與反思：建構(gòu)對(duì)學(xué)習(xí)與對(duì)稱的理解 高文教授與博士們就“基于學(xué)習(xí)創(chuàng)新的課程與教學(xué)”課題研究所展開(kāi)的論壇 “基于對(duì)稱主題探究的課程與教學(xué)研究”作為高文教授所主持的教育部十五規(guī)劃重點(diǎn)課題“基于學(xué)習(xí)創(chuàng)新的課程與教學(xué)”的案例研究部分，正在全面展開(kāi)。該案例研究自從去年7月份開(kāi)展以來(lái)，現(xiàn)已經(jīng)進(jìn)入第二階段數(shù)學(xué)化理解階段。我們整個(gè)研究團(tuán)隊(duì)在深入實(shí)驗(yàn)學(xué)校進(jìn)行了較長(zhǎng)時(shí)間的活動(dòng)課設(shè)計(jì)、實(shí)施與分析之后，覺(jué)得有必要對(duì)從真實(shí)教育現(xiàn)場(chǎng)中涌現(xiàn)的諸多問(wèn)題以及研究團(tuán)隊(duì)內(nèi)部所產(chǎn)生的諸多觀念進(jìn)行一次階段性的反思、梳理與總結(jié)，并為接下來(lái)的案例實(shí)驗(yàn)研究的進(jìn)一步改進(jìn)與完善提供動(dòng)力、理念與策略上的支持。4月16日下午，在高文教授的主持下，我

2、們整個(gè)團(tuán)隊(duì)就案例研究的理念、研究方法和策略、下一步計(jì)劃等諸多議題進(jìn)行了充分的交流與討論。本文即是對(duì)這次論壇的觀點(diǎn)記錄、歸納與總結(jié)。問(wèn)：“對(duì)稱主題探究的課程與教學(xué)案例研究”的實(shí)驗(yàn)已經(jīng)走入了中期階段。這一階段剛剛完成了3次活動(dòng)課。通過(guò)觀察與分析，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)我們所設(shè)計(jì)的這種“做數(shù)學(xué)”的活動(dòng)方式表現(xiàn)了較大的熱情。但同時(shí)，我們也注意到，一部分在傳統(tǒng)意義上所謂好的學(xué)生仿佛并不適應(yīng)我們這種新的課程與教學(xué)方式，他們?cè)诠ぷ鲉伪憩F(xiàn)、課堂表現(xiàn)、小組活動(dòng)表現(xiàn)等諸多方面并未顯示出他們過(guò)去的過(guò)人之處。我們逐漸有這樣的一種想法，即，我們的整個(gè)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)是否也是只能更好地促進(jìn)一部分學(xué)生的發(fā)展，而這也從另一個(gè)側(cè)面說(shuō)明傳統(tǒng)教

3、學(xué)也具有一定的合理性？而特別就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)不也培養(yǎng)出了諸多數(shù)學(xué)家、科學(xué)家以及其他各領(lǐng)域的專家學(xué)者嗎？我們現(xiàn)在非常想理順的一個(gè)思路是：傳統(tǒng)課程與教學(xué)方式是否也是具有合理性因素的？它是否也在相當(dāng)程度上支持了一部分學(xué)生（在一定范圍內(nèi)，包括那些在我們的實(shí)驗(yàn)中表現(xiàn)得并不出色）的學(xué)習(xí)與理解？而如果承認(rèn)上面兩點(diǎn)，那么，我們現(xiàn)在在實(shí)驗(yàn)中的課程與教學(xué)設(shè)計(jì)的先進(jìn)性、改進(jìn)性又體現(xiàn)在何處？高文教授：首先我想要說(shuō)的就是，我們的數(shù)學(xué)課程不應(yīng)該是為了培養(yǎng)數(shù)學(xué)家而設(shè)置。我們現(xiàn)在所面對(duì)的每一個(gè)學(xué)生，都應(yīng)該是傾注我們的心血給予培養(yǎng)的對(duì)象。我們的數(shù)學(xué)教育不是在培養(yǎng)了一批數(shù)學(xué)家、科學(xué)家的同時(shí)，讓更多的學(xué)生在“一種對(duì)數(shù)

4、學(xué)的無(wú)可奈何、甚至苦不堪言的狀態(tài)”下被無(wú)情地淘汰。應(yīng)該給予學(xué)生一個(gè)什么樣的數(shù)學(xué)教育，我認(rèn)為得從對(duì)數(shù)學(xué)本身的認(rèn)識(shí)談起?；仡櫿麄€(gè)20世紀(jì)，我覺(jué)得可以說(shuō)是數(shù)學(xué)與無(wú)機(jī)界結(jié)合的世紀(jì)，這其中包括數(shù)學(xué)與物理之間所具有的緊密聯(lián)系。但是，當(dāng)歷史步入21世紀(jì)時(shí)，我認(rèn)為，未來(lái)的世紀(jì)一定是數(shù)學(xué)與生物、與有機(jī)界攜手發(fā)展的世紀(jì)。美國(guó)學(xué)者斯圖爾特在第二重奧秘生命王國(guó)的新數(shù)學(xué)中深刻地指出：與數(shù)學(xué)有關(guān)的生命現(xiàn)象是極其廣泛的，生命的起源、小雞翅膀的發(fā)育、基因密碼的出現(xiàn)、DNA雙螺旋結(jié)構(gòu)、螺線形螺殼、鳳梨上的紋路、天使魚(yú)身上的藍(lán)色斑紋、迷人的孔雀尾、動(dòng)物憨態(tài)可掬的步態(tài)，以及珊瑚的生長(zhǎng)等等，所有這些生命的律動(dòng)都和數(shù)學(xué)有關(guān)。他同時(shí)指出

5、，如果說(shuō)基因組的發(fā)現(xiàn)在一定意義上揭示了生命的奧秘的話，那么這種揭示只是展示了構(gòu)成生命的表面“菜單”，而真正構(gòu)成這個(gè)菜單里的內(nèi)容就是數(shù)學(xué)，所以，支配有機(jī)體成長(zhǎng)的數(shù)學(xué)規(guī)律是生命的另一奧秘，我們可以把其稱為第二重奧秘。如果我們把科學(xué)視為對(duì)自然界的一重反思，那么數(shù)學(xué)就是對(duì)科學(xué)的二重反思。放眼整個(gè)世界，處處蘊(yùn)涵著數(shù)學(xué)，處處體現(xiàn)著數(shù)學(xué)。無(wú)怪乎有學(xué)者把數(shù)學(xué)稱作為揭示模式的科學(xué)，而我們就是生活在一個(gè)由諸多模式組成的宇宙中。也正是基于這些考慮，我認(rèn)為，我們的數(shù)學(xué)正從一個(gè)剛性的體系進(jìn)入到了一個(gè)非常未知的領(lǐng)域，很多隱藏在大自然內(nèi)部的數(shù)學(xué)規(guī)律正等待我們?nèi)ヒ徊讲降厝ヌ剿?、去挖掘。今天的?shù)學(xué)已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了歐氏幾何的限制，

6、更多的自然現(xiàn)象、科學(xué)現(xiàn)象已經(jīng)使非歐幾何的魅力顯露無(wú)疑。數(shù)學(xué)已經(jīng)成為索引、解釋、揭示世界客觀規(guī)律的有力武器，數(shù)學(xué)已不再是數(shù)學(xué)家把玩思維的一種符號(hào)游戲，而是在真正意義上擔(dān)負(fù)起了“科學(xué)的女王”這一盛名。反觀我們今天的數(shù)學(xué)教育，我認(rèn)為我們不應(yīng)該是去為了培養(yǎng)數(shù)學(xué)家而進(jìn)行數(shù)學(xué)教育，數(shù)學(xué)在未來(lái)社會(huì)所顯現(xiàn)出的越發(fā)重要性要求去培養(yǎng)那些具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的公民，這樣的公民才能真正領(lǐng)悟與理解數(shù)學(xué)的文化品質(zhì)，才能真正擔(dān)負(fù)起服務(wù)社會(huì)、開(kāi)創(chuàng)未來(lái)的重任。無(wú)論我們今天的學(xué)生將來(lái)從事何種職業(yè)，讓他們具備足夠的數(shù)學(xué)素養(yǎng)應(yīng)當(dāng)是今天的數(shù)學(xué)教育的首要關(guān)注點(diǎn)。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育的確培養(yǎng)了一批數(shù)學(xué)家、科學(xué)家，但同時(shí)也培養(yǎng)了一大批恐懼?jǐn)?shù)學(xué)、厭惡數(shù)學(xué)的

7、“數(shù)學(xué)盲”，他們對(duì)數(shù)學(xué)的理解恐怕就是“抽象、孤立、冷竣、無(wú)用”。對(duì)于這些人而言，他們真正缺乏的是用數(shù)學(xué)理解現(xiàn)實(shí)、理解世界，并利用數(shù)學(xué)反觀自己身邊所發(fā)生的一切的素養(yǎng)與能力。從這個(gè)意義上說(shuō)，我們不能僅僅向?qū)W生講授歐幾里德幾何，更多地體現(xiàn)時(shí)代特色、代表學(xué)科前沿、反映知識(shí)間聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識(shí)（更是與其他學(xué)科、其他知識(shí)緊密聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識(shí)）應(yīng)當(dāng)可以在中小學(xué)中滲透，至少可以讓學(xué)生觸摸到數(shù)學(xué)的真正發(fā)展韻律，而同時(shí)，更為重要的是，任何領(lǐng)域的真正學(xué)習(xí)一定不能僅僅固守自己那塊狹小的田地，畫地為牢，而應(yīng)該是敢于跨越學(xué)科邊界、敢于跨越領(lǐng)域邊界，在一種不斷開(kāi)放、互相交織的狀態(tài)下一次次邁開(kāi)挑戰(zhàn)自身的學(xué)習(xí)步伐。我想，新的數(shù)學(xué)觀已

8、經(jīng)要求我們建立一種新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀、數(shù)學(xué)教育觀，我們的整個(gè)實(shí)驗(yàn)應(yīng)該是建基這樣一個(gè)思考基礎(chǔ)之上的。問(wèn)：高文老師，您剛剛談到的對(duì)數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)教育的重新認(rèn)識(shí)，是否又在一定層面上揭示了一種對(duì)知識(shí)、對(duì)學(xué)習(xí)、對(duì)學(xué)習(xí)者的全新看法？而這種新認(rèn)識(shí)是否又是支撐我們這個(gè)研究團(tuán)隊(duì)進(jìn)一步研究的內(nèi)在理念？那么，進(jìn)一步地，您認(rèn)為在這樣的理念支撐下，我們的實(shí)驗(yàn)研究在方法與策略層面上的突破、創(chuàng)新之處體現(xiàn)在何處呢？高文教授：我對(duì)第一個(gè)問(wèn)題的回答是肯定的。通過(guò)前期的研究以及中期所進(jìn)行的幾次活動(dòng)課，包括馬上即將投入建設(shè)的網(wǎng)站，實(shí)際上都滲透與逐漸明晰了如下一種新的知識(shí)觀：知識(shí)的結(jié)構(gòu)性（建構(gòu)性的結(jié)構(gòu)）、知識(shí)的開(kāi)放性以及知識(shí)的索引性。有意義

9、的知識(shí)一定是具有內(nèi)在結(jié)構(gòu)的，學(xué)習(xí)者對(duì)于知識(shí)的深刻理解必然是建立在對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的把握上。作為我們實(shí)驗(yàn)研究的內(nèi)容對(duì)稱，也是具有內(nèi)在的脈絡(luò)結(jié)構(gòu)的。而作為研究者的我們，實(shí)際上也是學(xué)習(xí)者，我們首先必須去領(lǐng)悟與理解什么是對(duì)稱，并建構(gòu)這一知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，然后以我們所建構(gòu)的結(jié)構(gòu)去支持學(xué)生的建構(gòu)。所以說(shuō)，知識(shí)的結(jié)構(gòu)性一定是動(dòng)態(tài)的建構(gòu)性結(jié)構(gòu)，即是在建構(gòu)、結(jié)構(gòu)、打破結(jié)構(gòu)重新建構(gòu)、形成新的結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)過(guò)程中不斷生成的。那么在承認(rèn)知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，我們又必須明確，知識(shí)結(jié)構(gòu)上的知識(shí)點(diǎn)一定是知識(shí)結(jié)點(diǎn)，它不是孤立的，它具有發(fā)散、發(fā)展與開(kāi)放的潛力與空間。當(dāng)知識(shí)從這個(gè)結(jié)點(diǎn)發(fā)散與拓展出去之后，必然會(huì)使原先的結(jié)構(gòu)得以擴(kuò)充、精細(xì)化、完備化

10、，從而形成一個(gè)新的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。實(shí)際上，這樣一種動(dòng)態(tài)的知識(shí)發(fā)展觀也內(nèi)蘊(yùn)著知識(shí)的索引性特征，作為中介學(xué)生理解的我們，首先應(yīng)該具有前沿的視野，去與這個(gè)領(lǐng)域的真正專家展開(kāi)積極互動(dòng)，去追索這個(gè)領(lǐng)域的前沿性知識(shí)，以這樣的前沿性知識(shí)去引導(dǎo)學(xué)生的知識(shí)建構(gòu)與理解，在我們與專家的互動(dòng)、學(xué)生與我們的互動(dòng)過(guò)程之中，讓學(xué)生在不斷追索、眺望本學(xué)科前沿知識(shí)的基礎(chǔ)上，在反思自身的基礎(chǔ)上，不斷豐富、拓展自己的理解。綜上所述，知識(shí)的建構(gòu)結(jié)構(gòu)性、開(kāi)放性、索引性實(shí)際上構(gòu)成了我們整個(gè)研究在知識(shí)層面上的理論假設(shè)，而且這幾個(gè)方面也一定是相互關(guān)聯(lián)的。在這樣的知識(shí)假設(shè)之上，我認(rèn)為，學(xué)生一定是作為學(xué)習(xí)者在建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程中不斷發(fā)展他們對(duì)“對(duì)稱”

11、的理解的，從這個(gè)意義上說(shuō)，學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中所反映出的各種所謂的“錯(cuò)誤”，對(duì)他們來(lái)說(shuō)是自然的、合理的，因?yàn)檫@樣的錯(cuò)誤是與他們當(dāng)時(shí)的經(jīng)驗(yàn)相容的，而且這樣的錯(cuò)誤其實(shí)也蘊(yùn)涵了“概念轉(zhuǎn)變”與“概念發(fā)展”的潛力與可能性，這實(shí)際上也就說(shuō)明了馮格拉斯菲爾德一直強(qiáng)調(diào)的“知識(shí)的生存力”的觀點(diǎn)。那么，就課程與教學(xué)設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)，應(yīng)進(jìn)一步思考的問(wèn)題就是，我們是否對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行了全面深入的分析？這些錯(cuò)誤背后所體現(xiàn)的學(xué)生在理解、思維上的特征和規(guī)律是什么？我們提供了什么樣的支撐手段去幫助學(xué)生轉(zhuǎn)變概念，從而獲得理解上的發(fā)展的？此外，對(duì)于具有不同經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生，我們是否仔細(xì)分析了學(xué)生所具有的各種不同的最近發(fā)展區(qū)，并進(jìn)而對(duì)其提供不同層次

12、的腳手架以支撐他們的持續(xù)性學(xué)習(xí)？我認(rèn)為，我們?cè)趯?shí)驗(yàn)中的一個(gè)新舉措就是采用了工作單這一手段與策略。起先我們?cè)O(shè)計(jì)工作單的目的是讓學(xué)生來(lái)動(dòng)手“做數(shù)學(xué)”，讓他們真正在做的過(guò)程中體驗(yàn)、內(nèi)化一些默會(huì)性的知識(shí)。通過(guò)課堂觀察和學(xué)生的反應(yīng)情況來(lái)看，我覺(jué)得我們這一目的是達(dá)到的。但如果再仔細(xì)分析學(xué)生從工作單上所反映出的問(wèn)題（或者說(shuō)是一些體現(xiàn)學(xué)生當(dāng)時(shí)思維情況的錯(cuò)誤），我倒認(rèn)為，對(duì)于工作單功能的理解可能還需進(jìn)一步細(xì)化與深化。如果能進(jìn)一步把工作單的功能挖掘得透徹，我想它完全可以成為貫穿我們整個(gè)實(shí)驗(yàn)理念的突破口。簡(jiǎn)言之，我認(rèn)為，工作單除了能夠讓學(xué)生動(dòng)手做數(shù)學(xué)外，還可以起到診斷、分析學(xué)生思維與理解狀況的功用，還要使工作單成為

13、給予具有不同發(fā)展區(qū)的學(xué)生以有力支撐的工具，使工作單成為學(xué)生反思他人與反思自身的工具，成為課程設(shè)計(jì)者與學(xué)生互動(dòng)、與教師互動(dòng)的工具，成為學(xué)生概念理解狀況的資源庫(kù)，成為推動(dòng)與支撐學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)和探索的動(dòng)力源，成為發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)的開(kāi)放性與多元化的創(chuàng)新平臺(tái)?？傊?，以工作單作為我們研究重要切入點(diǎn)，我想一定會(huì)在貫穿我們整個(gè)實(shí)驗(yàn)理念的同時(shí)，也會(huì)在實(shí)驗(yàn)中逐步形成一種具有可操作性的策略包和資源庫(kù)，從而在真正意義上為課程與教學(xué)的改革提供理念與實(shí)踐上的雙重支撐。問(wèn)：我們的整個(gè)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)是以“對(duì)稱”為內(nèi)容主題的，那么，您當(dāng)初在確定這樣的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的主題時(shí)，究竟是出于什么樣的考慮？我們?cè)趯?shí)驗(yàn)中，往往給他人（甚至包括實(shí)驗(yàn)學(xué)校的老

14、師）以這樣一種印象：你們不就是讓學(xué)生理解對(duì)稱嘛，我們的數(shù)學(xué)課本中也有相關(guān)的內(nèi)容啊，你們花這么長(zhǎng)時(shí)間就讓學(xué)生學(xué)這么點(diǎn)內(nèi)容，太不經(jīng)濟(jì)了；如果讓我來(lái)教，幾節(jié)課就可以把概念教得清清楚楚了，根本用不了這么長(zhǎng)時(shí)間，花這么大力氣。如何去看待這樣的觀點(diǎn)呢？高文教授：或許有人會(huì)說(shuō)，“對(duì)稱”不就是一個(gè)很好理解的簡(jiǎn)單概念嘛，有這個(gè)必要花這么多時(shí)間去進(jìn)行研究，甚至還作為實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容主題在中學(xué)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究嗎？實(shí)際上，對(duì)稱絕不是一個(gè)簡(jiǎn)單的概念。當(dāng)我在電腦中輸入關(guān)鍵字“symmetry”的時(shí)候，各種各樣的信息鋪天蓋地地呈現(xiàn)在我眼前。對(duì)稱與變換、對(duì)稱與群、對(duì)稱與分形、對(duì)稱與晶體、對(duì)稱與藝術(shù)、對(duì)稱與建筑、對(duì)稱與植物等等，林林總總

15、，令人目不暇接?？梢哉f(shuō)，對(duì)稱滲透在我們所生活的世界的方方面面。對(duì)稱體現(xiàn)了大自然的一種內(nèi)在的深刻規(guī)律和模式，它支配著整個(gè)世界的運(yùn)作、發(fā)展與變化。前面我談到，數(shù)學(xué)是揭示自然界內(nèi)在規(guī)律的模式，那么，對(duì)稱就是這個(gè)模式中的重要一種。自然界的對(duì)稱性可以在從亞原子粒子的結(jié)構(gòu)到整個(gè)宇宙的結(jié)構(gòu)這一連續(xù)統(tǒng)上的每一個(gè)尺度上都能找到。比如許多化學(xué)分子是對(duì)稱的，甲烷分子是一個(gè)正四面體，一個(gè)碳原子在中心，4個(gè)氫分子在角上，這是一個(gè)典型的空間對(duì)稱。苯具有正六邊形的對(duì)稱結(jié)構(gòu)。而當(dāng)前在化學(xué)領(lǐng)域中時(shí)髦的分子富勒烯是60個(gè)碳原子的截角二十面體，它的對(duì)稱性為它提供了驚人的穩(wěn)定性，它為有機(jī)化學(xué)開(kāi)辟了新的發(fā)展前景。在比分子略大的尺度上，

16、細(xì)胞結(jié)構(gòu)也具有對(duì)稱性。比如1887年，生物學(xué)家首次發(fā)現(xiàn)了每個(gè)活細(xì)胞內(nèi)部有一個(gè)叫“中心體”的不定形結(jié)構(gòu)，它在組織細(xì)胞分裂中起重要作用。通過(guò)深入觀察，人們發(fā)現(xiàn)，中心體的結(jié)構(gòu)也具有驚人的對(duì)稱性。再比如，自然界中的病毒往往也是對(duì)稱的，最常見(jiàn)的形狀是螺旋形和二十面體。例如，流感病毒的形狀就是螺旋形的，而在其他病毒的形狀中，大自然則偏愛(ài)二十面體，如皰疹、牛痘、人體肉贅、犬傳染性肝炎、腺病毒以及許多其他病毒。再把尺度放大一些，對(duì)稱性原理更是讓人驚訝不已。生物學(xué)家通過(guò)研究已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，正在發(fā)育的蛙胚從球形細(xì)胞開(kāi)始其生命，隨著分裂逐步喪失其對(duì)稱性，直到變成囊胚，即整個(gè)形狀又呈現(xiàn)對(duì)稱的球形。再后來(lái)，囊胚在原腸胚的形成過(guò)程中開(kāi)始吞食自身的一些部分，在這一過(guò)程中，胚圍繞一根軸呈旋轉(zhuǎn)對(duì)稱。之后，旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性被最終打破，只有導(dǎo)致成體蛙兩邊對(duì)稱性的單一鏡像對(duì)稱得以保持。如果尺度再進(jìn)一步放大，火山是對(duì)稱的錐形，恒星是球形，星系是螺旋形的或橢圓形的，這所有的一切都帶給了科學(xué)探究的無(wú)窮動(dòng)力，即探索構(gòu)成這所有模式的內(nèi)部數(shù)學(xué)規(guī)則與普遍原理究竟是什么。如果我們就把對(duì)稱的相關(guān)內(nèi)容作為一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)以較短的時(shí)間來(lái)教，先不說(shuō)學(xué)生今后的發(fā)展后勁如何，但可以追問(wèn)的是，