線(xiàn)性代數(shù)第一章矩陣的轉(zhuǎn)置

1、 反對(duì)稱(chēng)矩陣 n 階方陣，若 AT = - A ，即 aij = - a ji ， 定義 設(shè) A 為 那么 A 稱(chēng)為反對(duì)稱(chēng)矩陣. æ 0 -1 2 1 ö ç 1 ÷ 0 5 -2 ç ÷ 如 ç -2 -5 0 1 ÷ ç ÷ è -1 2 -1 0 ø 反對(duì)稱(chēng)矩陣的主要特點(diǎn)是: 主對(duì)角線(xiàn)上的元素為0,其余 的元素關(guān)于主對(duì)角線(xiàn)互為相 反數(shù). 特別 兩個(gè)同階的反對(duì)稱(chēng)矩陣的和還是反對(duì)稱(chēng)矩陣, 反對(duì)稱(chēng)矩陣的數(shù)乘也是反對(duì)稱(chēng)矩陣.但兩個(gè)反對(duì)稱(chēng)矩 陣的乘積不一定是反對(duì)稱(chēng)矩陣. 例2.設(shè)

2、A = (aij 3 為一個(gè)3階實(shí)矩陣，若A ¹ 0. T T 證明：AA 為對(duì)稱(chēng)矩陣且AA ¹ 0. 證明: AAT T = ( AT T AT = AAT , 故AAT 為對(duì)稱(chēng) （ 矩陣；設(shè) 則bij = ai1a j1 + ai 2a j 2 + ai 3a j 3 (i , j = 1,2,3 特別地，B的對(duì)角元素bii 是實(shí)數(shù)的平方和, 即：bii = ai21 + ai22 + ai33 ³ 0( i = 1,2,3, é a11 B = AAT = êa 21 ê êa 31 ë a12 a 22 a

3、 32 a13 ù é a11 a 23 ú êa12 úê a 33 ú êa13 ûë a 21 a 22 a 23 a 31 ù a 32 ú , ú a 33 ú û 再由題設(shè)A ¹ 0知，A至少有一個(gè)元素akl ¹ 0, 則bkk > 0, 于是B = AAT ¹ 0. 例3 設(shè)列矩陣 X = ( x1 , x2 ,L, xn ) ，滿(mǎn)足 X T X = 1, T E 為 n 階單位矩陣，且 H =

4、E - 2 XX T ，證明 H 是對(duì) 稱(chēng)矩陣，且 HH T = E . T 證明 Q H = (E - 2 XX ) = E - 2( XX = E - 2 XX T = H , T T T T T ) 又 HH = H = (E - 2 XX T 2 H 是對(duì)稱(chēng)矩陣. T 2 = E - 4 XX T + 4 X (X T X )X T = E - 4 XX T + 4 XX T = E . = E - 4 XX T + 4(XX T )(XX T ) ) 例7 證明任一 n 階矩陣 A 都可表示成對(duì)稱(chēng)陣與 反對(duì)稱(chēng)陣之和. 證明 T C = A + AT 設(shè) 則 C = A+ A ( T )=A T T + A = C, 所以C為對(duì)稱(chēng)矩陣. B = A - AT , 設(shè) 則 B = A- A T ( T ) T = A