遞推最小二乘法的應(yīng)用

1、1 遞推最小二乘法在電廠模型辨識(shí)中的應(yīng)用電廠中大多數(shù)熱工對(duì)象可以用一階或二階有遲延和非遲延的模型來表示,對(duì)這些模型中參數(shù)的辨識(shí),遞推最小二乘法是一種較好的方法。本文以火電廠部分典型一階模型為例子,借助于某電廠現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù),分別對(duì)以下幾種環(huán)節(jié)進(jìn)行辨識(shí)。1.1 一階慣性環(huán)節(jié)火電廠中,來自鍋爐的過熱蒸汽,經(jīng)高壓調(diào)節(jié)汽門和導(dǎo)汽管道進(jìn)入高壓缸膨脹做功,高壓缸的排汽回到鍋爐再熱器被重新加熱,加熱后的蒸汽經(jīng)中壓調(diào)節(jié)汽門進(jìn)入中低壓缸進(jìn)一步膨脹做功,做功后的乏汽最終排入凝汽器變成凝結(jié)水,一般中壓調(diào)節(jié)汽門的開度是高壓調(diào)節(jié)汽門的3倍,即在機(jī)組負(fù)荷大于額定的30%或者滑壓運(yùn)行時(shí),汽輪機(jī)的中壓調(diào)門是完全開啟的。因此,在簡(jiǎn)化

2、模型中,汽機(jī)側(cè)調(diào)速器一級(jí)壓力與機(jī)組有功功率可以簡(jiǎn)化為一階慣性環(huán)節(jié)如下:111(1K G s T s =+ 將以上環(huán)節(jié)離散化,并寫成差分方程的形式11111111(1(1(1(/,/y k a y k b u k v k a T T T b K T T =-+-+-=-=其中 u 為調(diào)速器一級(jí)壓力,y 為機(jī)組有功功率,(v k 為零均值方差為1的高斯白噪聲。該論文依據(jù)遞推最小二乘法原理,借助 MATLAB 工具編寫程序,設(shè)定合適的初始值和加權(quán)因子進(jìn)行參數(shù)辨識(shí),辨識(shí)結(jié)果為11 2.7547,0.9193a b =-,由11,a b 可得到134.12K =,112.36s T =進(jìn)而得到系統(tǒng)的傳遞

3、函數(shù)為:134.12(12.361G s s =+ 下面運(yùn)用遞推最小二乘法對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行仿真:假設(shè)134.12K =,112.36s T =已知,采樣時(shí)間為1s T =,則計(jì)算可得/34.12/12.36 2.7670a T T T b K T T =-=-=-=用M 序列作為輸入信號(hào),得到輸出信號(hào),然后對(duì)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。程序如下: %最小二乘的遞推算法%Z(k+1=0.9191*Z(k+2.7670*u(k+v(k%=clearclc%=400 個(gè)產(chǎn)生 M 序列作為輸入=x=0 1 0 1 1 0 1 1 1; %initial valuen=403; %n 為脈沖數(shù)目M=; %存放 M 序列

4、for i=1:ntemp=xor(x(4,x(9;M(i=x(9;for j=9:-1:2x(j=x(j-1;endx(1=temp;end%=產(chǎn)生均值為 0,方差為 1 的高斯白噪聲=v=randn(1,400;%=產(chǎn)生觀測(cè)序列 z=z=zeros(402,1;z(1=-1;for i=2:401z(i=0.9191*z(i-1+2.7670*M(i-1+v(i-1;end%遞推求解P=10*eye(2; %協(xié)方差陣Theta=zeros(2,401; %參數(shù)的估計(jì)值,存放中間過程估值Theta(:,1=0.001;0.001;%參數(shù)估計(jì)值初始值a1=0.001,b1=0.001u=0.9

5、9; %遺忘因子for i=2:401h=-z(i-1;M(i-1;K=P*h/(h'*P*h+u;%增益矩陣Theta(:,i=Theta(:,i-1+K*(z(i-h'*Theta(:,i-1;P=(eye(2-K*h'*P/u;end%=輸出結(jié)果及作圖= disp('參數(shù)a1 b1 的估計(jì)值:'Theta(:,401a1=zeros(1,401;a1(1,:=-0.9191;b1=zeros(1,401;b1(1,:=2.7670;i=1:401;figure(1plot(i,Theta(1,:,'m',i,a1,'g

6、9;,i,Theta(2,:,'b',i,b1,'r'e_a1=Theta(1,:-a1; % a1的誤差e_b1=Theta(2,:-b1; % b1的誤差figure(2plot(i,e_a1,'m',i,e_b1,'b' %誤差曲線圖遞推算法仿真曲線如圖 1所示: 圖 1遞推算法仿真曲線誤差曲線如圖 2所示: 圖 2誤差曲線得到400個(gè)數(shù)據(jù)的a1 b1估計(jì)值為: 110.9208, 2.6564a b =-=由估計(jì)值可得112.63s T =, 133.55K = 由遞推算法仿真曲線圖 1可知,參數(shù)估計(jì)收斂速度較快,占用內(nèi)存

7、較少。由誤差曲線圖 2可知,a1辨識(shí)效果較好,b1辨識(shí)誤差較大。1.2 一階慣性遲延環(huán)節(jié)爐內(nèi)燃燒與傳熱過程可以簡(jiǎn)化為磨煤機(jī)動(dòng)態(tài)和水冷壁動(dòng)態(tài)兩個(gè)部分,在此我們將兩者合并為一個(gè)一階慣性遲延環(huán)節(jié),研究表明此簡(jiǎn)化也能較好反映鍋爐傳熱過程:212(1sK e G s B s T s -=+ 式中,B 為爐膛的燃料量,為已知量;D 為鍋爐總有效吸熱量; 為純遲延時(shí)間;K2、T2為傳遞函數(shù)的系數(shù)。針對(duì)純遲延的參數(shù)應(yīng)用改進(jìn)的具有最小損失函數(shù)的遞推最小二乘法辨識(shí),具體辨識(shí)算法為:12,12(k 1,(,(1,u(t d ,n m y k h k e k h k y y k n u t d m a a a b b

8、 b =+=-=B 為已知量,令:22(1sK e G s T s -=+ 對(duì) 、K2、T2進(jìn)行辨識(shí)。假設(shè)采樣時(shí)間1s T =,*d T =。將以上環(huán)節(jié)離散化,并寫成差分方程的形式11111111(1(1(1(/,/y k a y k b u k d v k a T T T b K T T =-+-+-=-=相對(duì)于遞推最小二乘法 h (k 中多了一個(gè)時(shí)間常數(shù) d ,其中,參數(shù) h (k 是各個(gè)參數(shù)的函數(shù),輸入輸出觀測(cè)向量是純遲延時(shí)間d 的函數(shù),殘差 e (k 取決于各參數(shù)的擬合誤差,最小二乘估計(jì)是使目標(biāo)函數(shù)J (k ,d =min J (k ,d 最小,由于 d 為離散值,當(dāng)已知純遲延時(shí)間在某

9、一范圍dmin ,dmax 內(nèi)時(shí),可以采用最小損失函數(shù)的方法將純延遲時(shí)間 d 和其他參數(shù)向量一起辨識(shí)。具體實(shí)現(xiàn)方法可以分2 步來進(jìn)行:(1 假設(shè)純遲延時(shí)間已知,利用最小二乘法對(duì)其他參數(shù)進(jìn)行估計(jì)(,min(,J d J d =; 例如假設(shè)d=2,則11(1(3(1y k a y k bu k v k =-+-+-類似一階慣性環(huán)節(jié)，可以利用遞推最小二乘法辨識(shí)程序辨識(shí)出 。檢查是否滿足收斂條件或者達(dá)到搜索次數(shù)，若滿足收斂條 = (a 1, b q 1 件或達(dá)到搜索次數(shù)，則輸出辨識(shí)結(jié)果，否則進(jìn)行下一步。 （2） 對(duì)于關(guān)于純遲延的損失函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，得到純遲延的估計(jì)值 = min J (q , d , d

10、 ，didmin，dmax ，再返回上一步。 J (q i 最小化損失函數(shù)的遞推最小二乘算法程序框圖如圖 3 所示： 2 總結(jié) 辨識(shí)數(shù)據(jù)導(dǎo)入，純 遲延時(shí)間設(shè)定 定數(shù)據(jù)導(dǎo)入，純 遲延時(shí)間設(shè)定 遞推最小二乘法 運(yùn)算 辨識(shí)間設(shè)定數(shù)據(jù)導(dǎo) 優(yōu)化 入，純 純遲延時(shí)間 滿足收斂條件或者 遲延時(shí)間設(shè)定 辨識(shí)間設(shè)定數(shù)據(jù)導(dǎo) 達(dá)到搜索次數(shù) 入，純 辨識(shí)間設(shè)定數(shù)據(jù)導(dǎo) 遲延時(shí)間設(shè)定 入，純 遲延時(shí)間設(shè)定 輸出 辨識(shí)結(jié)果 辨識(shí)間設(shè)定數(shù)據(jù)導(dǎo) 圖 3 最小化損失函數(shù)的遞推最小二乘算法 入，純 遲延時(shí)間設(shè)定 采用遞推最小二乘法，基于某電廠的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)，在 MATLAB 中編寫遞推最 小二乘法辨識(shí)程序， 程序中可以根據(jù)實(shí)際需要設(shè)定采樣時(shí)間和初始值，選取適當(dāng) 的初始值對(duì)火電廠兩個(gè)典型的一階慣性環(huán)節(jié)進(jìn)行