有限元的弱形式

1、PDE弱形式介紹GJ:看到一個介紹COMSOL解決物理問題弱形式的文檔,感覺很牛啊，通過COMSOL Multiphysics的弱形式用戶界面來求解更多更復雜的問題，這絕對是物理研究的利器啊！而且貌似COMSOL是唯一可以直接使用弱形式來求解問題的軟件.為什么要理解PDE方程的弱形式？一般情況下，PDE方程都已經(jīng)內置在COMSOL Multiphysics的各個模塊當中，這種情況下，沒有必要去了解PDE方程和及其相關的弱形式。有時候可能問題是沒有辦法用COMSOL Multiphysics內置模塊來求解的，這個時候可以使用經(jīng)典PDE模版。但是，有時候可能經(jīng)典PDE模版也不包括要求解的問題,這個

2、時候就只能使用弱形式了(雖然這種情況是極少數(shù)的）。另一個原因就是弱形式有時候描述問題比PDE方程緊湊的多.還有，如果你是一個教授去教有限元分析方法,可以幫助學生們直接利用弱形式來更深入的了解有限元.最后,你對有限元方法了解的越多，對于COMSOL中的一些求解器的高級設置就懂得更多。一個重要的事實是：在所有的應用模式和PDE模式求解的時候，COMSOL Multiphysics都是先將方程式系統(tǒng)轉為了弱形式,然后進行求解。物理問題的三種描述方式1. 偏微分方程2. 能量最小化形式3. 弱形式PDE問題常常具有最小能量問題的等效形式，這讓人有一種直覺,那就是PDE方程都可以有相應的弱形式。實際上這

3、些PDE方程和能量最小值問題只是同一個物理方程的兩種不同表達形式罷了，同樣，弱形式(幾乎）是同一個物理方程的第三個等效形式。我們必須記住，這三種形式只是求解同一個問題的三種不同形式用數(shù)學方法求解真實世界的物理現(xiàn)象。根據(jù)不同的需求，這三種方式又有各自不同的優(yōu)點。三種不同形式的求解PDE形式在各種書籍中比較常見,而且一般都提供了PDE方程的解法。能量法一般見于結構分析的文獻中，采用彈性勢能最小化形式求解問題是相當自然的一件事。當我們的研究范圍超出了標準有限元應用領域,比如傳熱和結構,這個時候弱形式是不可避免的?；ぶ械膫髻|問題和流體中的N-S方程都是沒有辦法用最小能量原理表述出來的.弱形式的特點P

4、DE方程是帶有偏微分算子的方程，而能量方程是以積分形式表達的。積分形式的好處就是特別適合于有限元方法，而且不用擔心積分變量的不連續(xù)，這在偏微分方程中比較普遍。弱形式也是積分形式，擁有和積分形式同樣的優(yōu)點,但是他對積分變量的連續(xù)性要求更低,可以看作是能量最小化形式的更一般形式。最重要的是,弱形式非常適合求解非線性的多物理場問題，這就是COMSOL Multiphysics的重點了。PDE到泛函變分GJ：PDE方程一般很難求出解析解，通常需要根據(jù)變分原理(數(shù)學定律)或最小能量原理（物理定律)轉化為泛函變分問題,即得到積分形式，從而便于使用有限元法劃分區(qū)域離散化,得到剛度矩陣,而最終求解得到PDE的

5、近似數(shù)值解。這基本上就是一般的工程中的有限元分析，如平面彈性力學問題、溫度場分析及動力學問題等。平面彈性力學問題是通過最小勢能原理或虛功原理（兩者是同一問題的不同表述形式）建立積分泛函的,溫度場可以通過能量法建立泛函，也可以通過變分原理裸建泛函.下面說一說常見的PDE問題根據(jù)最小能量原理建立泛函變分。彈性靜力學PDE及其彈性能量方程在靜力結構分析問題中,我們需要求解的是Navier方程其中是應力張量，F(xiàn)是體力，比如重力等。計算區(qū)域記為,其邊界記為。應力張量和應變張量之間的關系稱為本構關系，線彈性本構一般遵循胡克HOOK定律其中是彈性張量，這個關系式說明材料的行為實際上和彈簧差不多（前提是線彈性

6、)。最后,我們可以將應變矢量和位移的關系表述出來這里u指的是位移矢量u=(u,v,w），其定義就是變形體上的材料點和未變形時候的位移差.總結以上所有的方程，我們得到了一個二階PDE方程(Navier方程），需要一個邊界條件來求解，其中n是表面的法矢，P是邊界上的面力或牽引力。可以順便提一下，這個PDE方程的弱形式為，其中v=稱為試函數(shù)。注意,盡管Navier方程是一個矢量表達式，但是上面的表達式是一個標量形式。彈性勢能在結構分析中，PDE方程及其弱形式的表達式都不太常見,相反，能量最小化形式因為其直觀的表達形式用的較多。這類問題的能量積分形式對應于總勢能的最小化，即對象中存儲的彈性能.總彈性能

7、是一個標量,可以寫成：彈性能表達式同樣適用于非線性問題.在這些表達式中，我們假設體力F為零，并忽略了邊界效應。這些影響可以在以后引入。積分的意義是每個體積微元的內能總和，其中應力張量單位是Pa，微元體上的應變d沒有單位，dV單位是體積，因此積分出來的單位應該是N·m。如果問題是線彈性的,則可以顯式的寫為：聯(lián)立上面的式子得到：我們用代替來配合COMSOL Multiphysics手冊中的標記方式。彈性能積分形式下的單位說明：最終給出總的積分單位是N·m能量。的表達式就是我們通常說的能量泛函，即位移矢量u（或實際上是u的梯度）的泛函。這種函數(shù)的函數(shù)，而不是坐標的函數(shù)，通常被稱為

8、泛函，比單元微積分和多元微積分更加抽象。與積分類似，我們可以說就是函數(shù)的泛函：我們要說明一下函數(shù)和泛函的一些區(qū)別，古典分析中的函數(shù)概念是指兩個數(shù)集之間所建立的一種對應關系,現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展卻是要求建立兩個任意集合之間的某種對應關系.函數(shù)概念被賦予了更為一般的意義，通俗解釋泛函指的就是“函數(shù)的函數(shù)”.在這里定義域為，泛函可以在整個定義域內進行微分積分等操作。泛函的變量是函數(shù)，這個函數(shù)也是有容許空間的。如果函數(shù)u可以變化，可能會產生一些不符合物理規(guī)則的一些現(xiàn)象，例如結構的剛性位移等。比如一個對u的基本約束就是材料不能穿越本身.在有限元分析中，泛函一般是某種能量積分，比如彈性能。對于其他的物理場,可能

9、是其他的能量積分,或者是一種等效于能量的標量也可以。至于積分區(qū)域，一般由分析對象的CAD幾何區(qū)域所確定。靜態(tài)電流傳導和能量的生成在靜態(tài)導電問題中，PDE方程由最基本的保守形式開始:其中J是電流密度。材料（或本構）模型采用歐姆Ohm定律：其中E是電場，是電導率。另外，已知：其中是靜電勢，綜合以上式子得到在COMSOL Multiphysics中，這就是所謂的Conductive Media DC方程。電阻產生的熱能穩(wěn)態(tài)電流的能量問題是在電導體中的電阻熱其中J表示電流強度，E代表電場強度，是一個二階電導張量(3×3).如果導體是金屬，電導張量一般是一個對角矩陣,如果是晶體,情況就復雜多了

10、。盡量減少電阻產生的熱量，也就是減少熱損耗，是我們要研究的一個最小值問題。如果問題是線性,則積分可以顯式地寫成：因為，其中V是電勢，可以得到：將這個式子與結構力學中的式子進行對比，發(fā)現(xiàn)他們非常相似。的梯度對應于位移梯度，電導率張量對應于彈性張量.傳熱PDE方程和能量形式對于穩(wěn)態(tài)傳熱問題,PDE形式為：其中T是溫度,k是熱傳導系數(shù)，Q是空間分布的熱源。熱能基于傳熱方程的典型泛函為：其中T是溫度，k是熱傳導系數(shù)張量(3×3）。泛函求極值GJ：泛函求極值，即泛函變分，之前寫過博客說過它的具體思想，下面的介紹可以說是從另一個角度解釋。通過推導會發(fā)現(xiàn)，通過能量最小化原理會重新回到了PDE形式上

11、,從而說明能量最小化形式和PDE是同一問題的不同表述。函數(shù)求極值考慮一個多元微積分函數(shù)f，我們要求最小值:尋找x使得f(x） 最小化這里x是一個矢量,或者點的坐標.通過微積分我們知道,這個時候首先必須求函數(shù)f的梯度。將梯度的設置為0,我們可得到一個非線性方程組。求解方程，我們可以得到一系列的坐標點x，如果在其中某點處的二階倒數(shù)（一般稱為Hessian矩陣）為正（或者說有正的特征值),就說這點就是我們要求的極小點，就好像該點是整個函數(shù)的一個谷底一樣.利用Taylor展開的觀點，假設已知一個最小值x，我們可以在上面施加一個小的擾動，由Taylor展開可得：這里H就是前面所說的Hessian矩陣?，F(xiàn)

12、在我們用其他的方法來說明函數(shù)f在x最小。首先，假設x是一個極值點，當添加了一個后，f對于其一階值不改變。換句話說，如果我們在x上添加一個來擾動f，其一階Taylor級數(shù)應該為0。這個條件應該對每個方向都是成立的，否則該點就不是極值點了.如果上式第二項為0:對于任意小的都成立，也就是：我們這里只是用一個稍微有點不同的方法得到了一個同樣的結果.但是，這只是給了我們一個極值點的信息,如果要確定其是最小極值點，必須保證第三項（二階項）對于任意都為正：只有當H的特征值都為正時,上式成立(參考線性代數(shù)）。有可能會遇到二階項也總為0，這個時候我們必須借助更高階項來判斷極值點.下面是函數(shù)f的一個特例：二次多項

13、式：其中A是對稱矩陣。如果我們應用Taylor展開，可得到：或者這里零階，一階和二級項都在獨立的中括號內。為了得到一階變分，矩陣A必須是對稱的.極值的條件成了:對于任意小都必須成立,則上式成為：這里我們對矩陣進行了轉置,而且利用了矩陣A的對稱性，即。極小值的條件也就是矩陣A必須是一個正定矩陣,如果矩陣A是負定矩陣（只有負特征值），則得到極大值。如果A是不確定的（特征值有正有負），則極值可能是一個鞍點，既不是極大值,也不是極小值。如果矩陣A是對稱的,而且正定，則函數(shù)f是超橢圓的。在2D中，超橢圓就是橢圓。二次多項式的幾何特征影響經(jīng)典的PDE方程和有限問題的分類。當利用有限元方法去離散一個橢圓的P

14、DE問題時候，得到一個對稱矩陣（剛度矩陣）的線性代數(shù)系統(tǒng).這樣的問題一般等效于最小能量問題.彈性靜力學問題泛函求極值還是以線性靜態(tài)問題為例，因為這是所有有限元理論都會提到的，從而更容易進行比較。理論概述讓我們回到線彈性問題的彈性能泛函表達式：這里的位移矢量u和前面講的微積分中的點矢量x的角色類似。要尋找能量泛函的最小值,我們首先必須得在u上施加一個擾動：上式中兩個中間項實質上是一樣的(因為c的對稱性），所以我們可以寫成：將上式和多元函數(shù)表達式對比，我們發(fā)現(xiàn)尋找極值點就是找一個使二次項為零的u：其中是任意的.如果我們要尋找的是極小點，則還必須有:第二項就是泛函的一階微分：第三項成為泛函的二級微分

15、:和前面一樣，為了尋找極小點,我們必須保證對于任意第一階微分為零，二階微分為正。這種尋找最小勢能函數(shù)的方法也可以稱作虛功原理.（這就明白理論力學里所謂虛位移的意義了,就是一個任意的擾動）另外還有一種方法就是初始的時候將擾動寫成，這時對于任意可取的,其能量函數(shù)寫成?；氐轿⒎e分的基本概念，去尋找W對于的極值點：如果我們將它看成是對于的Taylor展開,就可以找出其一階導數(shù)（對于極值點必須為零），由于是任意可取的,我們可以得到和前面相同的結果。小結上面的過程省略很多推導步驟，如果大家對推導有興趣,可以試著自己推導。要說明一下的是：1、 變量(而不是它的梯度）必須是很小而且是任意的.2、 這里沒有考慮

16、邊界條件和體力，比如重力等等.我們前面所討論的問題局限于一個沒有任何約束和載荷的邊界條件的區(qū)域上。3、 一般來說的限制比多元微積分中寬松。在泛函中，只要是在容許的范圍內即可,也就是必須和物理位移場相對應.理解這個意思對理解有限元弱形式非常重要.考慮邊界條件和體力如前面所講，彈性能的泛函形式是不完整的，因為它沒有加上相應的邊界條件和載荷.彈性能的單位是，也就是力乘上位移。在邊界上，我們一般施加面力，或者指定位移，單位為。一般來說,我們希望附加形式是“面力乘上長度"。同樣的方式可以對體力進行處理F。在數(shù)學上,結構場的邊界條件分為兩類。第一類直接定義邊界上的力：其中第一項由定義域內的方程所

17、確定，第二項稱為彈簧常數(shù)q,等式右邊是面力g。這種邊界條件就是我們通常說得流量或者Nuemann邊界條件。第二類邊界條件就是定義一個固定的或者Dirichlet邊界條件。如果h是矩陣的形式,r就是定義了邊界上的指定位移。固定邊界條件不能直接加入泛函中去,但是可以通過反力間接加上去。當指定位移邊界時,可以描述一個反力（）,也就是彈性體可以在固定處保持不變。反力就是我們這里用到的Lagrange乘子，通過添加反力到力作用處的邊界,可以忽略到固定邊界類型。這時候我們可以形成統(tǒng)一的邊界條件：這里R是原始的固定邊界，是需要計算的反力。在前面的簡化形式中，和都是常數(shù)，所以上式可以變化為：記住,方程中的每一

18、項都是矢量，表示各個方向的面力.為了得到所做的功（能量)，必須點乘上位移u。通過合并一些系數(shù)項，將外力寫成,可簡化表達式，這時邊界條件可以寫成:對于其他物理場，可能P代表邊界上的源項。注意到上式和Navier方程非常接近：將能量泛函展開：關鍵推導這個時候,我們又要在u上添加上，可得：零階項就是泛函本身,第一階項是:這個方程是非常重要的一項。從前面的討論可知,我們應該重新組合多項式，保證帶有的被積函數(shù)成為一項。如果可以做到,因為是任意的(事實上必須是在容許范圍內)，我們知道這一項必須為零。這是我們能找到極值點的唯一方法.右邊第一項需要進一步處理得到我們需要的形式。第一項我們可以根據(jù)Green公式

19、（有時候可能采用的是Stokes原理）進行分部積分：利用c的對稱性，我們可以得到：利用Green公式得到：將體積項和邊界項合并起來：確定極值點,必須有:上式應該對于任何都成立.因此體積項必須有：邊界項上有：現(xiàn)在我們又回到PDE問題上了,這說明泛函的理論解就是PDE方程的解，即通過能量最小化原理又重新推回到了PDE形式上！這也是說明最小能量化和PDE形式本質上是統(tǒng)一的一個數(shù)學證明。GJ:要注意的是，實際有限元的求解不是從泛函又導回PDE方程，而是通過網(wǎng)格劃分離散化，得到數(shù)值近似解。而通過建立的泛函求解數(shù)值近似解應該算是比較完備的方法,這里說完備，是和弱形式對比來的，兩者的區(qū)別后面會說。弱形式GJ

20、:上面是利用能量最小化形式或者變分原理建立的泛函，即PDE的等效積分形式，下面說的是弱形式建立。那么，到底什么是弱形式呢？Navier方程的弱形式實際上已經(jīng)在前面的推導過程中出現(xiàn)過了，即一階變分的原形式：如果我們回到COMSOL Multiphysics的文檔（或者是關于有限元和弱形式的書籍中），會發(fā)現(xiàn)所謂的試函數(shù)相當于擾動，彈性靜力學PDE方程的弱形式為了更好的理解弱形式，我們必須丟棄前面討論的能量最小化原理，轉向一種更加抽象的方法.弱形式之所以比能量最小化原理更強大，是因為它還可以應用到一些沒有得到較好的能量定義的問題中。首先我們考慮彈性靜力學的PDE方程邊界條件是：抽象的過程如下：乘上容

21、許范圍內的試函數(shù)v，在感興趣的域內積分可得：對左側利用Green公式進行分部積分：應用PDE方程的邊界條件，可以得到：整理可得:這就是PDE方程的弱形式。如果在積分區(qū)域內對于試函數(shù)v都是有效的，則上式和PDE方程是等效的。PDE方程的解稱為強解，而弱形式的解稱為弱解。二者唯一的區(qū)別是弱形式對于積分參數(shù)的連續(xù)性要求比PDE形式低。由于變形梯度和彈性張量在弱形式里面都不需要微分，所以對函數(shù)連續(xù)性要求沒有那么嚴格，而在PDE形式中,所有的變量都處在散度的算子下,這要求這些變量必須是可微的。在弱形式中對于可微的要求放松了（一階)。同時，注意到弱形式和前面的一階變分形式保持了一致，弱形式也可以作為虛功原

22、理的一種推廣。只是虛功原理中的位移u換成了更加抽象的試函數(shù)v。如果弱形式解和能量最小化原理不一致的時候，極值點變成了鞍點。也就是，在弱形式中，仍可以將試函數(shù)理解為一種推廣了的虛位移。一般性問題的弱形式正如前面所提到的，弱形式只是PDE方程的一種推廣形式，它對變量的連續(xù)性要求比較低。那么能量方法呢？如果有一個定義好了的能量來最小化，那么能量法和弱形式是一致的。但是，在下列情形下，弱形式更具有適用性：假如PDE方程沒有相對應的能量可以進行最小化。在這種情況下，弱形式仍然是適用的。由于弱形式對解的要求較低，所以說弱形式比PDE和能量最小化適用范圍更廣泛。GJ:弱形式和最小能量形式的區(qū)別就在于虛位移u

23、與試函數(shù)v的差別，如下面兩式也就是說，泛函求極值即為泛函的變分為0，如上面的式子1,所以泛函的有限元解對任意擾動u成立,而從式子2可以看到,弱形式的解只是對自己設定的試函數(shù)v成立。所以泛函求極值得到近似函數(shù)是弱形式的特殊形式，即弱形式的試函數(shù)v可以任意取而求得的近似函數(shù)，所以從這種意義上說泛函形式求得的近似解更完備。但很多情況下無法得到PDE問題的泛函形式（變分原理里提到,只有滿足一定條件的算子才有對應的泛函），而此時PDE的弱形式是始終存在的,所以弱形式比泛函更廣泛。另外還會發(fā)現(xiàn)兩者的一個區(qū)別是泛函的網(wǎng)格離散化不是轉化為泛函變分后求解的，而是直接在泛函中帶入帶未知參數(shù)的近似函數(shù),從而轉化為函

24、數(shù)的極值，進而得到未知參數(shù)的方程，求得未知參數(shù)，而弱形式的離散化則是在弱形式下直接離散化。前面提到泛函形式的解相當于對弱形式的任意試函數(shù)成立的解，這個任意性隱藏在了泛函變分里。下面給出一個沒有對應能量最小化的PDE的例子。對流擴散PDE問題對流擴散PDE問題沒有與之相對應的可最小化的能量：這里c是擴散系數(shù)，是對流系數(shù),是反應/吸收系數(shù)，是源項。變量是標量函數(shù)，代表濃度（在COMSOL Multiphysics手冊中的Convection-Diffusion模塊中，濃度是用變量c表示，擴散系數(shù)用D表示)。在這里我們考慮Neumann邊界：所有困難將集中在剛度K的提取上，主要是對u和Lagrang

25、e乘子的線性表達式的集成。為了得到弱形式，將PDE方程乘以一個試函數(shù)v，積分：這里的試函數(shù)v是一個標量函數(shù)。將第一項分部積分，并將所有的項都移到左邊，可得到:加上邊界條件,得到:這就是對流擴散PDE方程的弱形式。這個弱形式不能像前面一階變分那樣進行重排。因為他的對流項，使得整個系數(shù)無法重排.具體說來，解函數(shù)u和試函數(shù)v必須在弱形式中的形式保持一致才能和能量泛函的形式保持一致.但是，在對流項中,u前面帶有梯度乘子，而試函數(shù)前面卻沒有任何微分算子的.沒有什么分部積分可以改變這種形式了。當然,我們也可以看到，實際上弱形式的解和PDE形式的解是保持一致的。對流項非對稱的行為通過數(shù)值離散擴展到有限元剛度

26、矩陣上：和能量最小化保持一致的弱形式可以推導出一個對稱的剛度矩陣,但是對流擴散方程推導出來的卻是一個非對稱的矩陣.在COMSOL Multiphysics中應用弱形式用戶界面的時候，可以輸入任意的表達式，包括未知函數(shù)u和試函數(shù)v的零階和一階導數(shù)。你所鍵入的是弱形式積分中的微分項。COMSOL Multiphysics的弱形式用法本章介紹如何在COMSOL Multiphysics中輸入弱形式表達式.對流擴散PDE問題假設我們要在COMSOL Multiphysics的用戶界面下輸入表達式:約定：COMSOL Multiphysics將所有的項要放在等號右邊.可得到：區(qū)域積分和邊界積分可分別在S

27、ubdomain Setting 和Boundary Setting對話框下設置.另外，假設我們已經(jīng)將系數(shù)定義為常數(shù)或者表達式:l 系數(shù)c，P，a和f分別由c，P,a和f表示.l 矢量的分量由bx,by和bz表示。在COMSOL Multiphysics中未知函數(shù)（因變量)u和試函數(shù)v標記如下：l 未知函數(shù)的標記為ul 的分量標記為ux，uy和uz。l 試函數(shù)的標記為u_test。l 的分量標記為ux_test，uy_test，uz_testl 只需要輸入被積函數(shù)，它將被COMSOL Multiphysics自動積分處理。每一個子域的弱形式可以有不同的表達式，COMSOL Multiphysi

28、cs會將各個子域的弱形式整合起來。輸入對流擴散問題的弱形式：選擇PDE mode下的Weak Form， Subdomain.在Physics->Subdomain Setting，在Weak Term編輯框中輸入：邊界設定,PhysicsBoundary Setting，Weak Term編輯框中輸入：COMSOL Multiphysics將邊界設置和子域設置分開，因為子域和邊界上可以設置不同的數(shù)值積分算法。弱項如果想要擴展內建的經(jīng)典PDE模板或者物理應用模式(比如傳熱），也可以在Physics-Equation System中對應的對話框中輸入相同的表達式。弱形式方程會自動添加在控制

29、方程中。（通過設置所有的PDE或材料參數(shù)為0，選擇齊次Neumann邊界(流量=0），可以去掉應用模式自動創(chuàng)建的弱形式。）Dirichlet或者固定邊界，在Boundary setting對話框中的constr編輯框輸入弱形式，COMSOL Multiphysics會添加相應的Lagrange乘子(參見用戶手冊中的邊界條件章節(jié)）。結構力學PDE問題靜態(tài)結構力學的基本方程是Navier方程：邊界條件：對流擴散方程中的標量項現(xiàn)在全部成了矢量和張量,Navier方程的弱形式為：約定標記如下：l 矢量u的分量：u，v和w.l 位移矢量梯度的分量：ux，uy,uz，vx，vy，vz,wx，wy,wz。l

30、 試位移矢量v的分量：u_test，v_test,w_test。l 試位移矢量梯度的分量：ux_test，uy_test,uz_test，vx_test，vy_test，vz_test，wx_test，wy_test,wz_test.l 彈性張量的分量：c11,c12，c13,c14，c15，c16，c22，c23，c24，c25,c26，c33，c34，c35，c36，c44，c45,c46，c55，c56，c66l 體力矢量F的分量：Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z.l 邊界面力矢量P的分量：Px，Py,Pz.在子域內，弱形式輸入為：其中這些表達式定義了應變分量(ex，ey，。.）和應力分量（sx,sy，

31、。.。）.后面帶有_test后綴的，COMSOL Multiphysics都會和上式一樣建立相應的試函數(shù)和試函數(shù)梯度的表達式。比如，exy_test等效于0.5（uy_test+vx_test）。另一種方式是test(）,其中test(xy）表示0.5（test（uy）+test（vx）)，也就相當于0。5*（uy_test+vx_test).對于其他一些張量表述如有疑問，可以參考COMSOL Multiphysics 中的Anisotropic Structural Analysis 的Matrix Notation .如果想更直觀的表述弱形式，我們可以用原始定義代替變量，最后變成:ux_t

32、est*（c11ux+c12*vy+c13*wz+c14*(uy+vx)+c15（vz+wy)+c16(uz+wx)vy_test*（c12*ux+.。對于各向同性體，其實cij就是楊式模量和泊松比的簡單函數(shù)。詳情參考COMSOL Multiphysics文檔.在邊界上，對于載荷類邊界條件，弱形式可以在weak編輯框中寫成標量的形式:Px*u_test+Pyv_test+Pzw_test如果采用固定邊界,我們必須在其中一個constr編輯框中輸入相應的表達式。對于多物理場仿真，約束和載荷在weak和constr中的形式非常重要,尤其是采用弱約束的時候。更多詳情可以參考COMSOL Multip

33、hysics文檔以及和Lagrange乘子相關的技術文檔。盡管弱形式是一個標量表達式，但是COMSOL Multiphysics中,弱形式有和PDE系統(tǒng)一樣多的未知量需要文本輸入。原因在于不同的多物理場問題可能需要不同的有限元分析類型和保證其數(shù)值穩(wěn)定型的積分算法。對于3D結構分析，弱形式中有三個文本輸入框。但是，在離散之前,采用了同樣的有限元單元和積分類型進行合并，這樣就可以選擇不同的弱形式進行操作.例如你可以在第一個域內選擇弱形式,而其他的域內設置為空白。對于流動問題的Navier-stokes方程，情況又稍微有些不同。和未知的速度場相比，未知的壓力采用一個低階有限元來離散。這種情況下，不能

34、將所有的弱項全部在同一個弱域內輸入。為了保證數(shù)值穩(wěn)定型，必須依靠混階有限元（mixed finite element)?；祀A有限元并不是COMSOL Multiphysics特別制定，而是數(shù)值算法所需要的。有限元方法本章說明弱形式如何利用有限元方法來進行離散。假設我們需要離散以下擴散問題:這是一個對流擴散問題的特殊情況，其中,.有限元的基本實現(xiàn)是將整個計算域離散為多個特別簡單的形狀的小單元，比如2D中的三角形，3D中的四面體等等。相應的網(wǎng)格，例如三角形，由邊和節(jié)點組成。下一步就是要選擇一個比較容易實現(xiàn)的一些近似方法，其中一種比較簡單的方法就是將解表示為采用線性多項式插值的所謂基函數(shù)的和?；瘮?shù)

35、的構造方法是指定某個節(jié)點為1，而相鄰的節(jié)點為0，二者之間的值就是從0到1線性變化。這里說的相鄰指的是中間有一條邊將其連接起來。遍歷三角形網(wǎng)格的所有節(jié)點(從1到N）。定義節(jié)點i的基函數(shù)為，也就是在節(jié)點i處其值為1，其他點處值為0.注意只是在節(jié)點i及其相鄰的三角形內不為零?，F(xiàn)在假設真實值u可以用基函數(shù)的求和來近似描述:參數(shù)是在節(jié)點i的值。同樣，我們可以對試函數(shù)進行類似處理：下標h表示離散函數(shù)屬于由所有三角形邊中最長邊表示的具有確定的網(wǎng)格尺寸h的網(wǎng)格。由于我們可以任意選擇試函數(shù)，因此可以將除了j點以外的所有的設置為零,接下來我們將所有的試函數(shù)（j1,.。.,N)輸入到弱形式中去，每個試函數(shù)都可以得到

36、一個方程。這樣可以生成一個線性代數(shù)系統(tǒng),系統(tǒng)矩陣就是我們所說的剛度矩陣。為什么我們可以自由選擇試函數(shù),不妨回想一下前面提到的弱形式需要對所有可取的試函數(shù)成立.選擇試函數(shù)是有限元方法的重要環(huán)節(jié)，因為他在很大程度上影響著剛度矩陣。由于剛度矩陣中很多項為零,所以一般是稀疏矩陣.當我們使用試函數(shù)的時候，生成的有限元剛度矩陣應該是一個方陣.如果弱形式本身定義良好的話,剛度矩陣應該是非奇異的,也就是說系統(tǒng)有一個唯一解?，F(xiàn)在考慮擴散方程的弱形式：將表達式寫成離散形式：方程重新排列：采用矩陣標注可得：或者：在這里剛度矩陣K是：解矢量U的單元為,載荷矢量L的單元為，現(xiàn)在我們明白為什么選擇基函數(shù)和試函數(shù)很關鍵了.

37、如果我們關注剛度矩陣，會發(fā)現(xiàn)其中很多元素為零，因為前面已經(jīng)提到每個都是大部分為零，同樣的梯度也是大部分為零的。有很多有效的算法去求解這類稀疏矩陣，COMSOL Multiphysics提供一套稀疏線性系統(tǒng)求解器。有限元方法同樣適用于非線性問題。非線性方法一般來說采用迭代的算法，每一次迭代就是求解一個與上面類似的線性弱形式方法。抽象和幾何解釋為什么有限元可以解決問題，它是如何解決問題的?前面的討論中可以找到一些答案。為了有一個更清晰的答案，我們需要了解一些更多的泛函的概念。我們將發(fā)現(xiàn)有限元方法通過一種優(yōu)化方法將解投影到一個有限維函數(shù)空間來求解。標量積為了得到有限元方法的幾何解釋，或腦海中的意象，我們需要