：關(guān)于地方日?qǐng)?bào)的最優(yōu)訂閱價(jià)格

1、數(shù)學(xué)建模第二次大作業(yè)A：關(guān)于地方日?qǐng)?bào)的最優(yōu)訂閱價(jià)格  姓名：姚梟20137692，王虎20137708王凱20137713年級(jí)、專業(yè)：機(jī)械工程系機(jī)制一班關(guān)于地方日?qǐng)?bào)的最優(yōu)訂閱價(jià)格一、摘要 本題目是討論關(guān)于地方日?qǐng)?bào)的最優(yōu)訂閱價(jià)格，這里我們用了靈敏性來分析了日?qǐng)?bào)的價(jià)格與日?qǐng)?bào)的訂閱人數(shù)的關(guān)系。問題一運(yùn)用了Mathematica建立了相應(yīng)的模型，求出了訂閱人數(shù)與價(jià)格之間的關(guān)系。問題二和問題三中，從靈敏性方面進(jìn)行分析，得到日?qǐng)?bào)的最優(yōu)價(jià)格。運(yùn)用表格與圖像使結(jié)果更加鮮明。關(guān)鍵詞：靈敏性、最優(yōu)、關(guān)系   二、問題重述一家有80000訂戶的地方日?qǐng)?bào)計(jì)劃提高其訂閱價(jià)格?，F(xiàn)在

2、的價(jià)格為每周1.5美元。據(jù)估計(jì)如果每周提高訂價(jià)10美分，就會(huì)損失5000訂戶。問題：（1）求使利潤最大的訂閱價(jià)格？ （2）對(duì)（1）中所得結(jié)論討論損失5000訂戶這一參數(shù)的靈敏性。分別假設(shè)這個(gè)參數(shù)值為：3000、4000、5000、6000及7000，計(jì)算最優(yōu)訂閱價(jià)格。 （3）設(shè)n=5000為提高定價(jià)10美分而損失的訂戶數(shù)。求最優(yōu)訂閱價(jià)格p作為n的函數(shù)關(guān)系。并用這個(gè)公式來求靈敏性S(p,n)。 （4）這家報(bào)紙是否應(yīng)該改變其訂閱價(jià)格？用通俗易懂的語言說明你的結(jié)論。3、 1、直到達(dá)到最優(yōu)價(jià)格或損失所有訂戶之前，每周日?qǐng)?bào)的價(jià)格均提高0.1美元，損失5000訂戶。2、訂戶在訂閱日?qǐng)?bào)之后沒有退訂情況發(fā)生。

3、3、日?qǐng)?bào)訂閱價(jià)格每周七天均保持不變。4、訂戶每戶只能訂一份日?qǐng)?bào)。5、生產(chǎn)的日?qǐng)?bào)能滿足所有用戶的需求。四、符號(hào)說明p 利潤最大時(shí)日?qǐng)?bào)的訂閱價(jià)格（單價(jià)） 單位：美元/份 T 提高到最優(yōu)價(jià)格所用的周數(shù) r 每周提高的訂價(jià) 單位：美元/份 每周價(jià)格提高之后損失的訂戶數(shù) 單位：戶 第周的訂戶數(shù) 單位：戶 第T周日?qǐng)?bào)的凈利潤 單位：美元F 起始的日?qǐng)?bào)總訂戶數(shù) F=80000（戶）五、模型的建立與求解(含問題分析)5.1.1問題一的分析提高到最優(yōu)價(jià)格所用的周數(shù)T(P)=(P-1.5)/r=(P-1.5)/0.1第T周的定戶數(shù)K(P)=F-n*T(P)=80000-(P-1.5)/0.1*5000則T周日?qǐng)?bào)的

4、凈利潤Q(p)=K(P)*P=80000-(P-1.5)/0.1*5000*P5.1.2問題一的建立Max Q(P)= 80000-(P-1.5)/0.1*5000*P (P1.5)5.1.3問題一的求解由Q(P)函數(shù)是一個(gè)連續(xù)可微的函數(shù)?？梢岳梦⒎e分知識(shí)求解，用mathematica求解：（1） 求得駐點(diǎn)D(80000 - (P - 1.5)/0.1)*5000)*P , P80000 - 50000. (-1.5 + P) - 50000. PSolve80000 - 50000. (-1.5 + P) - 50000. P = 0, P駐點(diǎn)為：P -> 1.55（2） 根據(jù)模型可

5、畫出函數(shù)Q(p)的圖像為有圖像可知Q（p）在（1.4,1.55處單調(diào)遞增，在1.55,+¥) 處單調(diào)遞減，則p=1.55是Q(P)函數(shù)的極大值。依題意可知日?qǐng)?bào)價(jià)格提高了0.05美元，不符合每周提高0.1美元的要求。不提高價(jià)格：Q=120000提高0.1美元的要求：Q=120000由題意知提高價(jià)格會(huì)減少用戶的數(shù)量，則會(huì)減少報(bào)社的日工作量，則選擇p=1.65.2.1問題二的分析由于模型建設(shè)中的參數(shù)（日?qǐng)?bào)價(jià)格提高的幅度對(duì)應(yīng)的訂戶數(shù)減少的數(shù)量）是估計(jì)與測量的，所應(yīng)應(yīng)該研究它變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響。5.2.2問題二的建立考慮r=0.1不變,n發(fā)生變化時(shí),日?qǐng)?bào)最優(yōu)訂閱價(jià)格關(guān)于價(jià)格每周提高r美元減

6、少的用戶數(shù)量的靈敏性Max P=(80000+1.5*n/0.1)*(0.1/n)(n>o)5.2.3問題二的求解n30004000500060007000p2.081.751.551.411.32由圖可知，函數(shù)在單調(diào)遞減，隨著n增加，價(jià)格p在減少。5.3.1問題三的分析由于模型假設(shè)中的參數(shù)是估計(jì)和預(yù)測的，所以應(yīng)該研究它們所變化時(shí)對(duì)模型的結(jié)果的影響，用靈敏性來解釋。5.3.2 問題三的建立設(shè)每周的日?qǐng)?bào)上漲價(jià)格0.1美元不變,研究n的變化的影響,代入0.1后:P=(80000+1.5*n/0.1)*(0.1/n)可以用相對(duì)改變量衡量結(jié)果對(duì)參數(shù)的敏感程度。P對(duì)n的敏感記作S(p,n),定義為

7、：S(p,n)=(p/p)/(n/n)=(p/n)*(n/p)=-8000/(1.5*n+8000)，此即為問題三的模型。4.3.3 問題三模型的求解根據(jù)上面的模型畫出圖形n4200440046004800500052005400p1.702381.659091.619571.583331.551.519231.49074又當(dāng)n =5000時(shí)可以算出S(p,n)=(p/p)/(n/n)=(p/n)*(n/p)=-8000/(1.5*n+8000)=-0.516就是報(bào)子價(jià)格每周增加1%出售日?qǐng)?bào)就減少0.516%份。五、模型評(píng)價(jià) 本模型直觀易懂，對(duì)實(shí)際問題的描述是合理的。相比于其他模型，此模型變量較少，屬于單變量問題，求解過程比較簡單，所以它能求得最優(yōu)解。在計(jì)算中，我們采用了合理的算法及相關(guān)軟件，并做出了圖表和圖象，使得求解難度大大降低。 對(duì)問題四的解答，即應(yīng)該改變其訂閱價(jià)格，要根據(jù)實(shí)際情況來說明，因?yàn)樵谙嗤睦麧櫁l件下，就要考慮報(bào)社員