第1章 向量與微分幾何

1、第第1 1章章 向量與微分幾何向量與微分幾何 第第1 1節(jié)節(jié) 空間直角坐標系空間直角坐標系第第2 2節(jié)節(jié) 向量的數(shù)量積與向量積向量的數(shù)量積與向量積 第第3 3節(jié)節(jié) 平面與直線平面與直線 第第4 4節(jié)節(jié) 曲面與空間曲線曲面與空間曲線 第第5 5節(jié)節(jié) 曲面與空間曲線曲面與空間曲線第第1節(jié)節(jié) 空間直角坐標系空間直角坐標系空間直角坐標系空間直角坐標系: :過空間一個定點過空間一個定點 O，作三，作三條相互垂直的數(shù)軸， 它們都以條相互垂直的數(shù)軸， 它們都以 O為原點且一般具為原點且一般具有相同單位長度有相同單位長度, , 這三條數(shù)軸分別叫做這三條數(shù)軸分別叫做x軸（橫軸（橫軸） 、軸） 、y軸（縱軸）和軸

2、（縱軸）和z軸（豎軸）軸（豎軸）. . 一般是將一般是將x軸軸和和y軸放置在水平面上軸放置在水平面上, ,那么那么z軸就垂直于水平面；軸就垂直于水平面；它們的方向通常符合右手螺旋法則它們的方向通常符合右手螺旋法則, ,即伸出右手即伸出右手, ,讓四指與大拇指垂直讓四指與大拇指垂直, ,并使四指先指向并使四指先指向x軸軸, ,然后然后讓四指沿握拳方向旋轉讓四指沿握拳方向旋轉 90指指向向y軸軸, ,此時大拇指此時大拇指的方向即為的方向即為z軸方向軸方向. .這樣就構成了空間直角坐標這樣就構成了空間直角坐標系，系，O稱為坐標原點稱為坐標原點. . 空間直角坐標系空間直角坐標系坐標面： 在空間直角坐

3、標系中坐標面： 在空間直角坐標系中, ,每兩軸所確定的平每兩軸所確定的平面稱為坐標平面面稱為坐標平面, ,簡稱坐標面簡稱坐標面. .即即xOy坐標面、坐標面、yOz坐標坐標面和面和zOx坐標面坐標面. . O z x y zOx yOz xOy 卦限： 在空間直角坐標系中卦限： 在空間直角坐標系中, ,坐標面把空間分為八個坐標面把空間分為八個部分部分, ,每一個部分稱為一個卦限每一個部分稱為一個卦限. .在在xOy坐標面上方有四坐標面上方有四個卦限個卦限, ,下方有四個卦限下方有四個卦限. .含含 x 軸軸, ,y 軸和軸和 z 軸正向的卦限軸正向的卦限稱為第卦限稱為第卦限, ,然后逆著然后逆

4、著軸軸 z 正向看時正向看時, ,按逆時針順序依按逆時針順序依次為次為, , ,卦限卦限, ,對于分別位于對于分別位于, , , , ,卦限下卦限下面的四個卦限面的四個卦限, ,依次為第依次為第, , , ,卦限卦限. . O x y z 點的坐標： 設點的坐標： 設P為空間的任意一點為空間的任意一點, ,過點過點 P作垂直作垂直于坐標面于坐標面xOy的直線得垂足的直線得垂足 P, ,過過 P分別與分別與x軸軸, ,y軸垂軸垂直且相交的直線直且相交的直線, ,過過 P作與作與z軸垂直且相交的直線軸垂直且相交的直線, ,依次依次得得, ,x y z軸 上 的三個 垂足軸 上 的三個 垂足.,RN

5、M設設 , ,x y z分 別 是分 別 是RNM,點在數(shù)軸上的坐標點在數(shù)軸上的坐標. .這樣空間內(nèi)任一點這樣空間內(nèi)任一點 P就確就確定了惟一的一組有序的數(shù)組定了惟一的一組有序的數(shù)組 , ,x y z, ,用用 ( , , )x y z表示表示. . 反之反之, ,任給出一組有序任給出一組有序數(shù)組數(shù)組, x y和和 z, ,也能確定了也能確定了空間內(nèi)惟一的一個點空間內(nèi)惟一的一個點 P, ,而而 , x y和和 z恰恰是點恰恰是點 P的坐的坐標標. . z x O y N M ) , , ( z y x P P y R z x 根據(jù)上面的法則根據(jù)上面的法則, ,建立了空間一點與一組有序數(shù)建立了空

6、間一點與一組有序數(shù)（x, ,y, ,z）之間的一一對應關系）之間的一一對應關系. .有序數(shù)組有序數(shù)組( , , )x y z稱為點稱為點P的坐標的坐標, ,x, ,y, ,z分別稱為分別稱為x坐標坐標, , y坐標和坐標和z坐標坐標. . 一一. .向向量量的的基基本本概概念念 向向量量：既既有有大大小小又又有有方方向向的的量量稱稱為為向向量量（或或矢矢量量）. . 向量一般用黑體小寫字母表向量一般用黑體小寫字母表示示, ,如如a,b,c等等. .有時也用有時也用, ,a b c等等表示向量表示向量. .幾何上幾何上, ,也常用有向線也常用有向線段來表示向量段來表示向量, ,起點為起點為M,

7、,終點為終點為N的向量記為的向量記為 MN . . N M 第第2節(jié)節(jié) 向量的線性運算及坐標向量的線性運算及坐標向量的模：向量的大小稱為向量的模向量的模：向量的大小稱為向量的模. .用用 |a，|b，|c，或，或AB 表示向量的模表示向量的模. . 零零向向量量：模模為為0的的向向量量稱稱為為零零向向量量, ,記記為為0 0. .規(guī)規(guī)定定零零向向量量的的方方向向為為任任意意方方向向. . 定義定義1 1 如果向量如果向量 a和和 b的大小相等且方向相同的大小相等且方向相同, ,則稱向量則稱向量 a與與 b相等，記為相等，記為 ab. . 二二. . 向量的向量的加減加減法法 1.1. 加法（平

8、行四邊形法則）加法（平行四邊形法則） 將向量將向量 a與與 b的的起點放在一起起點放在一起, ,并以并以 a和和 b為鄰邊作平行四邊形為鄰邊作平行四邊形, ,則則從起點到對角頂點的向量稱為向量從起點到對角頂點的向量稱為向量 a 和和 b 的和向的和向量量, ,記為記為 a+ +b. . 向量加法的三角形法則：把向量加法的三角形法則：把 b的起點放到向量的起點放到向量 a的終點上的終點上, ,把自把自 a的起點的到向量的起點的到向量 b 的終點的向量為的終點的向量為ab. . 向向量量加加法法運運算算規(guī)規(guī)律律： 交交換換律律：abba； 結結合合律律：)()(cbacba. . 2 2. . 向

9、向量量與與數(shù)數(shù)的的乘乘法法 定定義義2 2 設設 為為一一實實數(shù)數(shù), ,向向量量 a與與數(shù)數(shù) 的的乘乘積積是是一一個個向向量量, ,記記為為 a, ,并并且且規(guī)規(guī)定定： ( (1 1) )|aa； ( (2 2) )當當0時時 , , a與與a同同向向； 當當0時時, , a與與 a反反向向； ( (3 3) )當當 = =0 0時時, ,0a（零零向向量量）. . a b a + b a b a + b 向量與數(shù)的乘法運算規(guī)律：向量與數(shù)的乘法運算規(guī)律： 結合律：結合律：)()()(aaa ; ; 分配律：分配律：a)(babaaa)(,; ; 交換律：交換律：aa. . 同向的單位向量：設同

10、向的單位向量：設 a是一個非零向量是一個非零向量, ,則向量則向量|aaa為與向量為與向量 a同向的單位向量同向的單位向量. . 定定義義 3 3 = =- -1 1 時時, ,記記aa ) 1(, ,則則 a與與 a的的方方向向相相反反, ,模模相相等等, ,稱稱 a為為 a的的負負向向量量（也也稱稱其其為為 a的的逆逆向向量量）. . 3 3. .向向量量的的減減法法： 向向量量 a的的 b的的差差規(guī)規(guī)定定為為 )( baba. . 向量減法的三角形法則：向量減法的三角形法則： 把把 a與與 b的起點放在一起的起點放在一起, ,即即 ab是以是以 b的的終點為起點終點為起點, ,以以 a的

11、終點為終點的方向向量的終點為終點的方向向量 . . 1 1. .向向徑徑及及其其坐坐標標表表示示 向徑： 起點在坐標原向徑： 起點在坐標原點點O, ,終點為終點為M的向量的向量OM 稱為點稱為點M的向徑的向徑, ,記記為為)(Mr或或OM . . a b a+(-b) a-b -b 三、向量的坐標表示基本單位向量：基本單位向量： 在坐標軸上分別取與在坐標軸上分別取與 x軸軸, , y軸和軸和 z軸方向軸方向相同的單位向量稱為基本單位向量相同的單位向量稱為基本單位向量, ,分別用分別用 i , j,k, ,表示表示. . 向徑的坐標：向徑的坐標： 若 點若 點M的 坐 標 為的 坐 標 為( ,

12、 , )x y z, , 則 向 量則 向 量,OAx iOByj, ,OCzk由 向 量 的 加 法 法 則 得由 向 量 的 加 法 法 則 得 OM = =OM+ +M M =(=(OA + +OB )+)+OC = = xyzijk，稱其，稱其為點為點M ( , , )x y z的向徑的向徑OM 的坐標表達式，簡記為的坐標表達式，簡記為OM = =zyx,. . 向量向量12M M的坐標表達式的坐標表達式 設設1111( ,)Mx y z，2222(,)Mxyz為坐標系中兩點，向徑為坐標系中兩點，向徑1OM , ,2OM 的坐標表達式為的坐標表達式為1111OMxyz ijk，2222

13、OMxyz ijk ，則以則以 1M為起點為起點, , 以以 2M為終為終點的向量點的向量 12M M = =21OMOM 222()xyzijk 111()xyzijk 212121()()()xxyyzzijk, , 即以即以1111( ,)Mx y z為起點為起點, ,以以2222(,)Mxyz為終點的向量為終點的向量12M M 的坐標表達式為的坐標表達式為 12212121()()()M Mxxyyzz ijk 向量向量123aaaaijk的模的模 任給一向量任給一向量123aaaaijk, ,都可將其視為以點都可將其視為以點M( (1a, ,2a, ,3a) ) 為 終 點 的 向

14、徑為 終 點 的 向 徑OM , ,2|OM = =2|OA + +2|OB + +2|OC , , 即即 2|a= =232221aaa, , 所 以 向 量所 以 向 量123aaaaijk的模為的模為 a= =232221aaa. . z A B C M M i k O x y j z O x y 1 M 2 M 2 2. .空空間間兩兩點點間間的的距距離離公公式式: : 設點設點1M( (1x, ,1y, ,1z) )與點與點 2M( (2x, ,2y, ,2z) )，且兩點間的，且兩點間的距離記作距離記作 )(21MMd, ,則則 )(21MMd= =22212212121|()()

15、()M Mxxyyzz . . 例例1 1 ( (1 1) )寫出點寫出點) 1 , 2 , 1 (A的向徑；的向徑； (2)(2)寫出起點為寫出起點為) 1 , 2 , 1 (A, ,終點為終點為)0 , 3 , 3(B的向量的向量的的坐標表達式；坐標表達式； (3)(3)計算計算BA,兩點間的距離兩點間的距離. . 解解 (1)(1)2OA ijk； (2)(2)(3 1)(3 2)(0 1)AB ijk 2ijk； 坐坐標標表表示示下下的的向向量量運運算算 設設123aaaaijk, ,123bbbbijk , ,則有則有 (1) (1) 112233()()()ababababijk;

16、 ; (2)(2)123aaaaijk; ; (3) (3) 112233()()()ababababijk; ; (4) (4) ab332211,bababa; ; (5) (5) /ab332211bababa. . (3)(3)222() |21( 1)6d ABAB . . 思考題思考題 1. 1. 點點),(zyxM與與 x軸軸, ,xOy平面及原點的對稱點坐平面及原點的對稱點坐標標為為何何？ 2.2.下列向量哪個是單位向量？下列向量哪個是單位向量？ (1)(1)kjir; ; (2)(2)1, 0 , 121a; ; (3)(3)31,31,31b. . 第第3節(jié)節(jié) 兩向量的數(shù)量

17、積與向量積兩向量的數(shù)量積與向量積 二、二、兩兩向量的向量積向量的向量積 一、一、兩向量兩向量的數(shù)量積的數(shù)量積 1 1. .引引例例 已已知知力力 F與與 x軸軸正正向向夾夾角角為為 其其大大小小為為 F, ,在在力力 F的的作作用用下下, ,一一質(zhì)質(zhì)點點 M沿沿軸軸 x由由 ax 移移動動到到bx 處處, ,求求力力 F所所做做的的功功？ 解解 力力F在水平方向的分力大在水平方向的分力大小為小為cosxFF所以所以, ,力力F使質(zhì)點使質(zhì)點M沿沿x軸方向（從軸方向（從A到到 B）所做的）所做的功功 cos|WFba= =|cosAB F, , 即力即力F使質(zhì)點使質(zhì)點M沿沿 x軸由點軸由點A移移動

18、到動到B點所做的功等于力點所做的功等于力F的模的模與位移矢量的模及其夾角余弦的與位移矢量的模及其夾角余弦的積積. . A B b a F x O 一、向量的數(shù)量積（點積一、向量的數(shù)量積（點積）2 2數(shù)量數(shù)量積的定義積的定義 定義定義1 1 設向量設向量 a與與 b之間夾角為之間夾角為(), ,則則稱數(shù)量稱數(shù)量|cosa b為為 a與與 b的的數(shù)量數(shù)量積積（或（或點點積）積）, ,并并用用ba表示表示, ,即即 ba= =|cosa |b. . 例例1 1 已知基本單位向量已知基本單位向量kji,是三個相互垂直的單是三個相互垂直的單 位向量位向量, ,求證：求證： 1kkjjii; ; 0ikk

19、jji. . 證證 因為因為 1kji， 所以所以 1cos|iiii )0(. .同理可知：同理可知：1kkjj； 又因為又因為kji, 之間的夾角皆為之間的夾角皆為 2, ,故有故有 00112cos|jiji，同理可知同理可知 0ikkj. . 點點積積的的運運算算規(guī)規(guī)律律： 交交換換律律： abba； 分分配配律律：cabacba)(； 結結合合律律：)()(bababa. . 3 3 點點積積的的坐坐標標表表示示 設設123aaaaijk, ,123bbbbijk，則，則 123123() ()aaabbba bijkijk. . 故向量故向量 a321,aaa與與 b321,bbb

20、的點積等于其相的點積等于其相應坐標積的和應坐標積的和. . 1a1b+ +2a2b+ +3a3b， 則由向量點積知向量則由向量點積知向量 a與與 b夾角余弦公式為夾角余弦公式為 cos|baba 232221332221332211bbbaaabababa（0 0 ） . . 向向量量垂垂直直的的條條件件：向向量量 a與與 b正正交交的的充充分分必必要要條條件件是是ab= =0 0或或332211bababa= =0 0. . 證證 因為因為 ab0)3(33231, , 所以所以 a與與 b正交正交. . cos 2322211aaaa， cos2322212aaaa, , cos 2322

21、213aaaa, , 并并且且1coscoscos222. . 例例3 3 設向量設向量123aaaaijk與與x軸軸, ,y軸軸, ,z軸正向軸正向的夾角分別為的夾角分別為 , 稱其為向量稱其為向量 a的三個方向角的三個方向角, ,并稱并稱cos, ,cos, ,cos為向量為向量 a的方向余弦的方向余弦, , 且且 222coscoscos1)(232221232221aaaaaa . . cos|jaja2322212aaaa, , cos|kaka2322213aaaa. . 證證 向向量量 i, ,j, ,k的坐標表達式分別為的坐標表達式分別為 1 , 0 , 0,0 , 1 , 0

22、,0 , 0 , 1kji, , 于是有于是有 cos= =|iaia2322211aaaa, , 1. 引例引例 設設O點為一杠桿的支點點為一杠桿的支點, ,力力 F作用于杠桿作用于杠桿上點上點P處處, ,求力求力 F對支點對支點 O的力矩的力矩. . 解解 根根據(jù)據(jù)物物理理學學知知識識, ,力力 F對對點點 O的的力力矩矩是是向向量量 M, ,其其大大小小為為 |sinMdOP FF|sinF dFOP . . 其中其中d為支點為支點O到力到力F的作用線距的作用線距離離, ,為矢量為矢量F與與OP 的夾角的夾角. .力矩力矩M的方向規(guī)定為：的方向規(guī)定為：OP , ,F, ,M依次依次符合右

23、手螺旋法則符合右手螺旋法則. . O F d P 二、向量的叉積二、向量的叉積因此因此, ,力矩力矩 M是一個與向量是一個與向量OP和向量和向量 F有關的有關的向量向量, ,其大小為其大小為|sinOPF, ,其方向滿足： （其方向滿足： （1 1）同時垂）同時垂直于向量直于向量OP和和 F； （； （2 2） 向量） 向量 OP, , F, , M依次符合右依次符合右手螺旋法則手螺旋法則. . 2 2 向向量量積的定義積的定義 定義定義2 2 兩個向量兩個向量 a和和 b的叉積（也稱為向量的叉積（也稱為向量積）是一個向量積）是一個向量, ,記作記作 ab, ,并由下述規(guī)則確定：并由下述規(guī)則確

24、定： （1 1） ),sin(bababa （2 2）ab的方向規(guī)定為的方向規(guī)定為: : 注注：a b既垂直于既垂直于 a又垂又垂 直于直于 b, ,并且按順序并且按順序 , , a b ab符符 合右手螺旋法則合右手螺旋法則. . b a c=a b 若把若把a, ,b的起點放在一起的起點放在一起, ,并并以以a, ,b為鄰邊作平行四邊形為鄰邊作平行四邊形, ,則向則向量量a與與b叉積的模叉積的模 |ba = =sin|ba 即為該平行四邊形的面積即為該平行四邊形的面積. . （1 1）abba（反交換律）（反交換律）; ; （2 2）acabcba)(（左分配律左分配律）; ; （3 3）

25、acabacb )(（右分配律右分配律）; ; （4 4）bababa)()( a b a b 例例 5 5 試試證證: : 0aakkjjii. . 證證 只證只證0 aa， 因為， 因為 a與與 a平行 （即共線）平行 （即共線） , ,所以其夾角所以其夾角0或或 , ,從而從而0sin, ,因此因此 0sin|aaaa, , 而模為而模為0的向量為零向量的向量為零向量, ,所以所以 0 aa. . 定定理理 兩兩個個非非零零向向量量平平行行的的充充分分必必要要條條件件是是它它們們的的叉叉積積為為零零向向量量. . 3 3. . 向向量量積積的的坐坐標標表表示示 設設123aaaaijk,

26、 ,123bbbbijk注 意 到注 意 到0aakkjjii, ,及及kji, ,ikj, ,jik應用叉積的運算規(guī)律可得應用叉積的運算規(guī)律可得 2 33 23 11 31 22 1()()()a ba ba ba ba ba babijk. . 為了便于記憶為了便于記憶, ,可將可將 ba表示成一個三階行列式表示成一個三階行列式, ,計計算時算時, ,只需將其按第一行展開即可，只需將其按第一行展開即可， 即即 ba311321bbbaaakji. . 解解 a b320121kji 2021) 1(3011) 1(3212) 1(312111kji kji238 . . 例例 7 7 求同

27、時垂直于向量求同時垂直于向量368aijk及及 x軸的單軸的單位向量位向量. . 解解 因為因為kjia863, ,kjii001, , 所以所以, ,同時垂同時垂直于直于 a和和 x軸的單位向量軸的單位向量 |)863(|iaikjiiaiac kjkj5354)68(101 即即為為所所求求的的兩兩個個單單位位向向量量. . 解解 因因為為kjiF32從從支支點點 B到到作作用用點點 A的的向向量量 (3 1)(1 ( 2)( 1 3)234BAijkijk 所所以以, ,力力F關關于于點點 B的的力力矩矩 234213BAijkMF = =kji)62()86()49(= =kji814

28、5. . 例例 8 8 已知力已知力kjiF32作用于點作用于點) 1, 1 , 3(A處處, ,求此力求此力關于杠桿上另一點關于杠桿上另一點)3 , 2, 1 ( B的力矩的力矩. . 思考題思考題 1.1.若若 a與與 b為單位向量為單位向量, ,則則ba是單位向量嗎？是單位向量嗎？ 2 2. .驗證：驗證： （1 1）cbacba)()(; ; （2 2）cbabcacba)()()(; ; （3 3）cacaa2|)(. . 第4節(jié) 平面與空間直線 一、一、平面的方程平面的方程 二、二、直線的方程直線的方程 三、三、兩平面間、兩直線間的位置關系兩平面間、兩直線間的位置關系 四、四、直線

29、與平面的位置關系直線與平面的位置關系 第4節(jié) 平面與空間直線 平面的法向量平面的法向量: :設非零的向量設非零的向量 n垂直于平面垂直于平面 , ,則稱則稱 n為平面為平面 的法向量的法向量. . 問題：設平面問題：設平面 過點過點 0M),(000zyx, , n= =CBA,為為其一法向量其一法向量, ,求平面求平面 的方程的方程. . 設點設點M),(zyx是平面是平面 上任意一點上任意一點, ,則則0M M在平在平面面 上上, ,由于由于n, ,所以所以00M M n, ,而而, ,A B Cn， 0000,M Mxxyy zz . . 故故 0)()()(000zzCyyBxxA (

30、 (1)1) 一、平面的方程一、平面的方程M 0 M n z O x y z O x y A B C 由由于于平平面面 上上任任意意一一點點M的的坐坐標標都都滿滿足足方方程程( (1 1) ), ,而而不不在在平平面面 上上的的點點M的的坐坐標標都都不不滿滿足足方方程程( (1 1) ). .因因此此, ,方方程程( (1 1) )即即是是所所求求的的平平面面 的的方方程程. .此此方方程程稱稱為為平平面面的的點點法法式式方方程程. . 例例 1 1 求由點求由點) 1 , 0 , 0(),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (CBA所確定的平面方所確定的平面方程程. . 解解 向量向

31、量 110101AB ACijknijk與平面與平面垂直垂直, ,是它的一個法向量是它的一個法向量. . 過過點點)0 , 0 , 1 (A, ,且且以以kjin為為法法向向量量的的平平面面方方程程為為 0)0(1)0(1) 1(1zyx, , 整整理理得得 1zyx. . 2 2. .平平面面的的一一般般式式方方程程 過過點點),(0000zyxM, ,且且以以 nA,B,C為為法法向向量量的的點點法法式式平平面面方方程程 0)()()(00zzCyyBxxA 整整理理得得 0DCzByAx ( (2 2) ) 即即平平面面 的的方方程程( (1 1) )可可以以寫寫出出形形如如式式( (2

32、 2) )的的三三元元一一次次方方程程. . 反反過過來來, ,設設給給定定三三元元一一次次方方程程0DCzByAx，點點),(000zyx的的坐坐標標為為方方程程( (2 2) )的的一一組組解解, ,代代表表一一平平面面方方程程. .稱稱方方程程( (2 2) )為為平平面面的的一一般般式式方方程程. . 例例 2 2 求過點求過點) 1 , 1 , 0(),1 , 0 , 0(),0 , 0 , 0(21BBO的平面方程的平面方程. . 解解 點點) 1 , 1 , 0(),1 , 0 , 0(),0 , 0 , 0(21BBO不在一直線上不在一直線上, ,所以所以, ,這三點惟一確定一

33、平面這三點惟一確定一平面, ,令所求平面方程為令所求平面方程為 0DCzByAx 將三點坐標分別代入上式得將三點坐標分別代入上式得 011001000000DCBADCBADCBA (1),(2),(3), 由由方方程程( (1 1) )得得0D, ,再再由由( (2 2) )的的0C再再將將0, 0DC代代入入方方程程)3(知知0B, ,于于是是得得0Ax)0(A即即 0 x為為所所求求平平面面方方程程，且且yOz面面的的方方程程即即為為 0 x. . 例例 3 3 試寫出與試寫出與yOz面平行面平行, ,且過且過 x軸上的點軸上的點 )0 , 0 , 1 (的平面方程的平面方程. . 解解

34、 因為因為 x軸垂直于軸垂直于yOz面面, ,所以所以, , x軸上的單位軸上的單位向量向量 i 可作為與可作為與yOz面平行的平面的法向量面平行的平面的法向量 n，即，即 0 , 0 , 1 in，所以，過點，所以，過點 )0 , 0 , 1 (,且以且以 )0 , 0 , 1 (為法為法向量的平面方程為向量的平面方程為 0)0(0)0(0) 1(1yxx, 整理得整理得 1x, 即即 1x表示過點表示過點 )0 , 0 , 1 (且與且與yOz面平行的平面方程面平行的平面方程. z O x y 2 z O x y 1 z O x y 1 1 A B C c a b z O x y 例例 4

35、 4 描描繪繪出出下下列列平平面面方方程程所所代代表表的的平平面面： 1 1. . 直線的點向式方程直線的點向式方程 直線的方向向量：設非零向量直線的方向向量：設非零向量 s平行于直線平行于直線 L, ,則稱則稱s為直線為直線 L的方向向量的方向向量. . 問題：設直線問題：設直線 L過點過點),(0000zyxM并且并且 m,n,ps為其一方向向量為其一方向向量, ,求直線求直線 L的方程的方程. . 設點設點),(zyxM為直線為直線 L上任一點上任一點, ,由于由于0M M在直在直線線 L上上, ,所以所以0/M M s, ,即即 0M Mts ( ( t為實數(shù)為實數(shù)),), 而而 00

36、00,M Mxxyy zz. . 二、直線的方程二、直線的方程因此因此, ,有有 000,xxtmyytnzztp 即即000,xxmtyyntzzpt ( (3 3) ) 因為直線因為直線 L上任一點的坐標都滿足式上任一點的坐標都滿足式( (3 3) ), ,而不在而不在直線直線 L上的點的坐標都不滿足式上的點的坐標都不滿足式( (3 3) ), ,所以式所以式( (3 3) )是直線是直線 L的方程的方程, ,并稱式并稱式( (3 3) )為直線的參數(shù)方程為直線的參數(shù)方程, ,其中其中 t為參數(shù)為參數(shù). . 在式在式( (3 3) )中中, ,消去參數(shù)消去參數(shù) t, ,即有即有 pzzny

37、ymxx000 , , ( (4 4) ) 式式( (4 4) )中中),(000zyx是直線是直線 L上已知點上已知點, ,pnm是是 L的方向向量的方向向量, ,因此因此, ,式式( (4 4) )稱為直線稱為直線 L的點向式方程的點向式方程. . 說明說明：因為：因為0s, ,所以所以pnm,不全為零不全為零, ,但當有一個但當有一個為零為零, ,例如例如0m時時, ,式式( (4 4) )應理解為應理解為 0000,xxyyzznp 當有兩個為零時當有兩個為零時, ,例如例如0 nm, ,式式( (4 4) )應理解為應理解為 000,0.xxyy 例例 5 5 求求過過兩兩點點)3

38、, 2 , 3(),1 , 1 , 1 (21MM的的直直線線 L的的方方程程. . 解解 直線直線L的方向向量的方向向量 123 1,2 1,3 1M M s2 , 1 , 2, 因此因此, ,過點過點) 1 , 1 , 1 (1M, ,且以且以2 , 1 , 2s 為方向向量的直線為方向向量的直線 L的的方程為方程為 211121zyx. . 2 2直直線線的的一一般般式式方方程程 空間直線也可看作兩平面的交線空間直線也可看作兩平面的交線, ,所以可用這兩個所以可用這兩個平面方程的聯(lián)立方程組來表示直線方程平面方程的聯(lián)立方程組來表示直線方程, ,即即 111122220,0,AxB yC z

39、DA xB yC zD ( (5 5) ) 由于兩平面相交由于兩平面相交, ,故式故式( (5 5) )中的中的111,CBA與與222,CBA不不成比例成比例( (即法向量即法向量1111,A B Cn與與2n222A ,B ,C不平不平行行),),稱式稱式( (5 5) )是直線是直線 L的一般式方程的一般式方程. . 例例 6 6 寫出直線寫出直線 L: :2330,3250 xyzxyz的點向式方程的點向式方程 . . 解解 先在直線先在直線 L: :2330,3250 xyzxyz上選取一點上選取一點, ,為為此此, ,令令0z, ,得得23,35,xyxy 解之得解之得2, 1yx

40、, ,即點即點)0 , 2, 1(0M為直線為直線 L上的一個點上的一個點. . 直線直線L的方向向量的方向向量 2, 1 , 33 , 2, 1s= =213321kji = =kji711 , , 則則直線直線L的點向式方程為的點向式方程為 7011211zyx. 例例7 7 設平面設平面1的方程為的方程為0122zyx, ,平面平面 2的方程為的方程為05 yx, ,求求1與與 2的夾角的夾角. . 解解 兩平面的夾角即為其法向量的夾角兩平面的夾角即為其法向量的夾角, ,設設 1的法向的法向量為量為1n, , 2的法向量為的法向量為 2n, ,則則 0 , 1, 1,2 , 1, 221

41、nn, , 2222221210) 1(12) 1(202) 1() 1(12cosnnnn 22233, 即即 2arccos24為兩平面為兩平面 12 ,的夾角的夾角. . 兩平面間的位置完全由其法向量決定兩平面間的位置完全由其法向量決定, ,因此兩平面因此兩平面平行（垂直）的充要條件是法向量互相平行（垂直） ；同平行（垂直）的充要條件是法向量互相平行（垂直） ；同樣兩直線間的位置關系完全由其方向向量決定樣兩直線間的位置關系完全由其方向向量決定, ,因此因此, ,兩兩直線平行（垂直）的充要條件是其方向向量互相平行（垂直線平行（垂直）的充要條件是其方向向量互相平行（垂直）直）. . 例例9

42、9 試證直線試證直線332211:1zyxL與直線與直線 235342:2zyxL 垂直垂直 . . 證證 因為因為1L的方向向量為的方向向量為3 , 2 , 11s, , 2L的方向向量的方向向量為為2, 5 , 42s, ,而而 )2(352)4(121ss4 1060 , , 所以所以21ss , ,21LL , ,證畢證畢. . 三、兩平面間、兩直線間的位置關系三、兩平面間、兩直線間的位置關系例例 1010 試 證 平 面試 證 平 面1 :25460 xyz與與2 :244110 xyz垂直；而垂直；而2與平面與平面311 :2202xyz平行平行. . 證證 因為因為 1的法向量的

43、法向量4 , 5 , 21n, , 2的法向量的法向量4 , 4, 22n, , 3的法向量的法向量2 , 2, 13n, , 由于由于044)4(52221nn, ,所以所以21nn , ,即即12. . 又由于又由于 32nn 所以所以 32/nn, ,即即 32/. . 直直線線與與它它在在平平面面上上的的投投影影線線間間的的夾夾角角 ( (0 0 2) ), ,稱稱為為直直線線與與平平面面的的夾夾角角( (如如右右下下圖圖) ). .設設直直線線 L的的方方向向向向量量為為 s, ,平平面面 的的法法向向量量為為 n, ,向向量量 s與與 n間間的的夾夾角角為為 , ,則則2 ( (或

44、或2) ), ,所所以以 |cos|sinnsns. n z O x y s L 四、直線與平面的位置關系四、直線與平面的位置關系例例 1 11 1 討討 論論 直直 線線 L: :36552zyx和和 平平 面面: :x151259 zy的的位位置置關關系系. . 解解 由于直線由于直線 L的方向向量的方向向量 3 , 5 , 2s，平面，平面 的法向量的法向量 5 , 9,15n， 所以， 所以, ,直線直線 L與平面與平面 的夾的夾角角 的正弦的正弦 sin| |s ns n= =2222222 155 ( 9)3 502531595 , , 所以所以, , 0, ,即直線即直線 L與平

45、面與平面 平行或直線平行或直線 L在在平面平面 內(nèi)內(nèi). .容易驗證直線容易驗證直線 L上上(0,2,6)(0,2,6)在平面在平面 上上. . 所以直線所以直線 L在平面在平面 上上. . 思考題思考題 1.1.寫出下列平面方程：寫出下列平面方程： （1 1）xOy平面； （平面； （2 2）過軸）過軸 z的平面；的平面； （3 3）平行與）平行與zOx的平面； （的平面； （4 4）與）與zyx,軸正向截距相軸正向截距相等的平面等的平面. . 2 2. .用一般式用一般式111122220,0A xB yC zDA xB yC zD表示空間直線的表示空間直線的表達式是否惟一表達式是否惟一,

46、,直線直線0,23xyxy與與0,230 xyxy有何關有何關系？系？ 第第5 5節(jié)節(jié) 曲面與空間曲線曲面與空間曲線 一、一、曲面方程的概念曲面方程的概念 二、二、母線平行于坐標軸的柱面母線平行于坐標軸的柱面 三、三、旋轉曲面旋轉曲面 四、四、二次曲面二次曲面 五、五、空間曲線及其在坐標面上的投影空間曲線及其在坐標面上的投影 第四節(jié)第四節(jié) 曲面與空間曲線曲面與空間曲線 定定 義義 如如果果 曲曲面面上上每每一一點點 的的坐坐標標 都都滿滿足足方方程程0),(zyxF；而而不不在在曲曲面面上上的的點點的的坐坐標標都都不不滿滿足足這這個個方方程程, ,則則稱稱方方程程0),(zyxF為為曲曲面面的

47、的方方程程, ,而而稱稱曲曲面面為為此此方方程程的的圖圖形形. . 例例1 1 求與兩定點求與兩定點1(1,1,0)M，2(2,2,1)M等距離的點的軌等距離的點的軌跡方程跡方程. . 解解 設設),(zyxM為 軌 跡 上 的 點為 軌 跡 上 的 點 , , 按 題 意 有 ：按 題 意 有 ：12MMMM 寫成坐標形式寫成坐標形式, ,即即 222222(1)(1)(0)(2)(2)(1)xyzxyz 化簡化簡, ,得得 2227xyz 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念例例2 2 求球心在求球心在),(000zyx, ,半徑為半徑為R的球面方程的球面方程. . 解解 設定點設定點0M

48、的坐標為的坐標為),(000zyx, ,則點則點),(zyxM在在以以0M為球心為球心, ,以以R為球半徑的球面上的充要條件為為球半徑的球面上的充要條件為 RMM0, , 即即 Rzzyyxx202020)()()(, , 兩邊平方兩邊平方, ,得得 2202020)()()(Rzzyyxx 經(jīng)驗證經(jīng)驗證， 上式就是以， 上式就是以),(0000zyxM為球心為球心, ,以以R為球半徑的為球半徑的球面方程球面方程. . 當當0000zyx時時, ,則得球心在坐標原點的球面方則得球心在坐標原點的球面方程為程為2222Rzyx. . 柱柱面面： 直直線線 L沿沿定定曲曲線線 C平平行行移移動動所所

49、形形成成的的曲曲面面稱稱為為柱柱面面定定曲曲線線 C稱稱為為柱柱面面的的準準線線, ,動動直直線線 L稱稱為為柱柱面面的的母母線線. . L C L 二、母線平行于坐標軸的柱面二、母線平行于坐標軸的柱面1 1. . 圓圓柱柱面面方方程程 設設一一個個圓圓柱柱面面的的母母線線平平行行于于 z軸軸, ,準準 C線線是是 xOy平平面面上上以以原原點點為為圓圓心心, , R為為半半徑徑的的圓圓. .在在平平面面直直角角坐坐標標系系中中, ,準準線線 C的的方方程程為為222Ryx, ,求求該該圓圓柱柱面面的的方方程程. . 在在圓圓柱柱面面上上任任取取一一點點),(zyxM, , 過過點點 M的的母

50、母線線與與 xOy平平面面的的交交點點 )0 ,(0yxM一一定定在在準準線線 C上上, ,必必定定滿滿 足足方方程程222Ryx；反反之之, ,不不在在圓圓柱柱 面面上上的的點點, ,它它的的坐坐標標不不滿滿足足這這個個方方 程程, ,于于是是所所求求圓圓柱柱面面方方程程為為 222Ryx. . z O x y M 0 M 2.2.準線在坐標面上母線垂直于該坐標面的柱面方程準線在坐標面上母線垂直于該坐標面的柱面方程 一般來說一般來說, ,如果柱面的準線是如果柱面的準線是 xOy面上的曲線面上的曲線 C, ,它在平面直角坐標系中的方程為它在平面直角坐標系中的方程為0),(yxf, ,那么那么,

51、 ,以以 C為準線為準線, ,母線平行于母線平行于 z軸的柱面方程就是軸的柱面方程就是0),(yxf. . 類似地類似地, ,方程方程0),(zyg表示母線表示母線平行于平行于 x軸的柱面軸的柱面. .方程方程0),(zxh表示母線平行于表示母線平行于 y軸的柱面軸的柱面. . 在空間直角坐標系在空間直角坐標系Oxyz下，含兩個變量的方程為柱下，含兩個變量的方程為柱面方程，并且方程中缺哪個變量，該柱面的母線就平行面方程，并且方程中缺哪個變量，該柱面的母線就平行于哪一個坐標軸于哪一個坐標軸 . . 例例3 3 方程方程12222byax, ,12222byax, ,02,2pyx分別表分別表示母

52、線平行于示母線平行于 z軸的橢圓柱面、雙曲柱面和拋物柱面軸的橢圓柱面、雙曲柱面和拋物柱面. .如下如下圖所示圖所示, ,由于這些方程都是二次的由于這些方程都是二次的, ,因此稱為二次柱面因此稱為二次柱面. . x y O z y O x z y O x z 旋轉曲面：一平面曲線旋轉曲面：一平面曲線 C繞同一平面上的一條定繞同一平面上的一條定直線直線 L旋轉所形成的曲面稱為旋轉曲面旋轉所形成的曲面稱為旋轉曲面. .曲線曲線 C稱為稱為旋轉曲面的母線旋轉曲面的母線, ,直線直線L稱為旋轉曲面的軸稱為旋轉曲面的軸. . 坐坐標標面面上上曲曲線線繞繞坐坐標標軸軸旋旋轉轉所所成成的的旋旋轉轉曲曲面面方方

53、程程 設在設在yOz平面上有一條已知曲線平面上有一條已知曲線 C, ,它在平面直角它在平面直角坐標系中的方程是坐標系中的方程是0),(zyf, ,求此曲線求此曲線 C繞繞 z軸旋轉一軸旋轉一周所形成的旋轉曲面的方程周所形成的旋轉曲面的方程. . 在旋轉曲面上任取一點在旋轉曲面上任取一點),(zyxM, , 設這點是由母線上設這點是由母線上 點點), 0(111zyM 繞繞z軸旋轉一定角度而得到軸旋轉一定角度而得到. .于是于是 0),(22zyxf 反之反之，不在不在曲面曲面上上的的點點不不滿足滿足上上面面方程方程，此此方程方程為為旋轉旋轉曲面曲面方程方程. . O 1 O M ) , , 0

54、 ( 1 1 1 z y M x y z 三、旋轉曲面三、旋轉曲面同同理理, , 曲曲線線 C繞繞 y軸軸旋旋轉轉的的旋旋轉轉曲曲面面方方程程為為 0),(22zxyf. . . 例例 4 4 求求由由yOz平平面面上上的的直直線線 )0( kkyz繞繞 z軸軸旋旋轉轉所所形形成成的的旋旋轉轉曲曲面面方方程程. . 解解 在方程中在方程中, ,把把y換成換成22yx 得所求方程為得所求方程為 22yxkz, , 即即 )(2222yxkz. . 此曲面為頂點在原點此曲面為頂點在原點, ,對對稱稱 軸為軸為z軸的圓錐面軸的圓錐面( (如如右圖右圖) ). . z x y O 1.1.橢球面橢球面

55、 方程方程 1222222czbyax )0, 0, 0(cba, , 所表示的曲面稱為橢球面所表示的曲面稱為橢球面, , cba,稱為橢球面的半軸稱為橢球面的半軸. . 二次曲面：在空間直角坐標系中二次曲面：在空間直角坐標系中, ,若若0),(zyxF是二是二次方程次方程, , 則它的圖形稱為二次曲面則它的圖形稱為二次曲面. . 截痕法：用一系列平行于坐標面的平面去截曲面截痕法：用一系列平行于坐標面的平面去截曲面, ,求求得一系列的交線得一系列的交線, ,對這些交線進行分析對這些交線進行分析, ,從而把握曲面的從而把握曲面的輪廓特征輪廓特征, ,這種方法稱為截痕法這種方法稱為截痕法. . z x y O 四、二