國外小學(xué)數(shù)學(xué)常用的一種教具——奎遜耐木條_數(shù)學(xué)論文

1、國外小學(xué)數(shù)學(xué)常用的一種教具奎遜耐木條_數(shù)學(xué)論文    近二、三十年，國外小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，廣泛使用一種教具，叫做奎遜耐木條。它是比利時(shí)一位小學(xué)校長喬治·奎遜耐研制的。 這套教具由十種木條組成，分別涂上白、紅、淺綠、紫、黃、深綠、黑、藍(lán)、棕、橙等顏色。十種木條的截面都是1平方厘米的正方形、長度分別為1、2、3、10厘米。顯然，白色木條是一個(gè)正方體、其他各色木條都是長方體?？d耐木條具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：（一）是一種多用途的教具。利用奎遜耐木條可以學(xué)習(xí)自然數(shù)、整數(shù)四則運(yùn)算、分?jǐn)?shù)的概念、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算等，還可以學(xué)習(xí)某些代數(shù)知識(shí)，如整式的運(yùn)算，以及簡(jiǎn)單的幾何形

2、體的認(rèn)識(shí)和面積、體積的計(jì)算等。因此在小學(xué)各年級(jí)數(shù)學(xué)課上都可以使用。（二）是一種操作性的教具。它不只作為教師演示用的一種教具，更重要的是學(xué)生實(shí)際操作用的教具。通過操作，如排序、比較、合并、移動(dòng)、均分等，學(xué)生不僅理解所學(xué)概念的意義，計(jì)算法則的來源，或某一性質(zhì)的原理，而且發(fā)展了操作能力。上課時(shí)，通常發(fā)給每個(gè)學(xué)生一盒奎遜耐木條，每盒木條的數(shù)量大致如下：（三）是一種探索性的教具。用這種教具大都不是直接向?qū)W生說明某一數(shù)學(xué)概念或計(jì)算法則，而是使學(xué)生通過操作去探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律。例如，要知道5是哪兩個(gè)數(shù)組成的，學(xué)生就要試著找出哪兩個(gè)木條接起來跟黃木條等長，要找出所有可能的情況，并按照順序排好，然后做出結(jié)論。

3、學(xué)生在操作時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，用調(diào)換木條的順序的方法可以較快地找出所有可能的情況，如找到一個(gè)白木條和一個(gè)紫木條（表示1和4）合起來是5，很快想到一個(gè)紫木條和一個(gè)木白條合起來也是5。因而在操作中促進(jìn)了學(xué)生思維能力的發(fā)展。下面簡(jiǎn)單介紹如何使用奎遜耐木條教學(xué)數(shù)學(xué)概念和進(jìn)行計(jì)算。一 認(rèn)識(shí)自然數(shù)把白木條看作1，通過與白木條的比較，可以引導(dǎo)兒童確定其他顏色的木條依次表示2，3，4，5，10。例如（見下圖），通過擺木條知道紅木條表示2，淺綠木條表示3。把10種木條按照由短到長的順序排列成樓梯形狀，就表示從1到10的自然數(shù)列。利用它可以學(xué)習(xí)10以內(nèi)的數(shù)的順序和大小比較。還可以學(xué)數(shù)的序數(shù)含義。例如，向?qū)W生提問：從左起第四

4、個(gè)是什么顏色的木條？從右起第三個(gè)是什么顏色的木條？黃木條排在從左起第幾個(gè)？排在從右起第幾個(gè)？用木條還可以學(xué)習(xí)數(shù)的組成。例如，通過擺木條可以找出5的組成（見右圖）有：4和1、3和2、2和3以及1和4。利用木條還可以學(xué)習(xí)100以內(nèi)的數(shù)。數(shù)100以內(nèi)的數(shù)時(shí)，每數(shù)夠10個(gè)白木條，可以用1個(gè)橙木條代替；超過40的數(shù)，可以把不同顏色的木條接起來。如1個(gè)藍(lán)本條和1個(gè)白木條，1個(gè)棕木條和1個(gè)紅木條，都表示10。兩位以上的數(shù)也可以按照位值原則來擺。例如，紅木條放在個(gè)位表示2個(gè)一，放在十位表示2個(gè)十，放在百位表示2個(gè)百。二 整數(shù)加、減法（一）做兩個(gè)數(shù)的和不超過10的加法，先把表示這兩個(gè)數(shù)的木條接起來，然后找出一個(gè)

5、木條跟相接的兩個(gè)木條等長，這個(gè)木條所表示的數(shù)就是兩個(gè)加數(shù)的和。例如，右圖表示35=8。遇到和超過10的，可以拿1個(gè)橙木條和另一個(gè)木條接起來表示兩個(gè)加數(shù)的和。例如：棕木條和紫木條接起來表示84，要知和是多少，下面放1個(gè)橙木條和1個(gè)紅木條，容易看出和是12。（二）說明兩位以上的數(shù)的加法，可以按照位值原則擺木條，然后逐位加，某位上兩個(gè)數(shù)的和滿10，要在前一位增加一個(gè)單位。（三）做兩個(gè)10以內(nèi)的數(shù)的減法，先找出兩個(gè)木條分別表示被減數(shù)和減數(shù)，使它們的一端對(duì)齊，然后找出另一個(gè)木條和短木條（表示減數(shù)）接起來跟長木條（表示被減數(shù)）等長。找出的木條所表示的數(shù)就是減得的差。例如右上圖表示7-3=4。計(jì)算十幾減幾（

6、退位）的減法，可以按照同樣方法進(jìn)行。（四）兩位以上的數(shù)的減法，要按照位值原則擺木條，然后逐位減，某位上的數(shù)不夠減要從前一位退1改作10，再減。（五）通過擺木條，還可以學(xué)習(xí)加減法的關(guān)系和加、減法的運(yùn)算性質(zhì)。例如：再舉其他類似的例子，最后引導(dǎo)學(xué)生概括出加法結(jié)合律又例如：再舉其他例子，最后引導(dǎo)學(xué)生做出概括：一個(gè)數(shù)減去兩個(gè)數(shù)的和等于從這個(gè)數(shù)里依次減去和里的各個(gè)加數(shù)。三 整數(shù)乘、除法（一）兩個(gè)數(shù)相乘，先拿兩個(gè)木條分別表示被乘數(shù)和乘數(shù)，擺成十字形；然后按照表示乘數(shù)的木條的長度連續(xù)擺滿表示被乘數(shù)的木條，使表示被乘數(shù)的那幾個(gè)木條的總寬度跟表示乘數(shù)的木條的長度正好相等。最后根據(jù)所擺的同樣的幾個(gè)木條的總長度，算出

7、兩數(shù)相乘的積。例如： （二）幾個(gè)數(shù)連乘，要把表示相乘的幾個(gè)數(shù)的木條擺成復(fù)合的十字形（又叫塔形），然后按前邊的方法分步操作和計(jì)算。例如：（三）幾個(gè)相同的數(shù)連乘，也就是一個(gè)數(shù)的若干次方，用奎遜耐木條擺成塔形，可以很直觀地表示出來。例如：（四）計(jì)算除法時(shí)，先拿兩個(gè)木條分別表示被除數(shù)和除數(shù)，然后看用幾個(gè)表示除數(shù)的木條接在一起眼表示被除數(shù)的木條等長，商就是幾。如果最后需要接的木條比表示除數(shù)的木條短，就表示除后有余數(shù)。例如，下圖表示17÷3=52。有時(shí)做較大的數(shù)的除法，被除數(shù)和除數(shù)可以用十字形或塔形表示。例如，210÷14，分別擺成2×3×5×7的塔形和2

8、×7的十字形，然后從被除數(shù)里拿掉2×7，得到3×5，就是商得15。（五）多位數(shù)乘除法，也可以用奎遜耐木條來說明。但是最好先了解乘除法的運(yùn)算性質(zhì)。利用奎遜耐木條，可以這樣說明乘法分配律：根據(jù)乘法分配律，用木條可以說明筆算乘法的計(jì)算方法。例如，24×13可以看作是3個(gè)（204）和10個(gè)（204）的和，也就是3個(gè)4、3個(gè)20、10個(gè)4和10個(gè)20的和。在擺木條的基礎(chǔ)上總結(jié)乘法豎式的計(jì)算步驟如下：根據(jù)和除以一個(gè)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，用木條可以說明筆算除法的計(jì)算方法。例如，432÷2，可以把被除數(shù)分解成400、20和12，拿這三個(gè)數(shù)依次除以2（如下頁圖）。在擺木

9、條的基礎(chǔ)上總結(jié)除法豎式的計(jì)算步驟如下： 四 分解質(zhì)因數(shù)（一）利用奎遜耐木條可以給學(xué)生建立因數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念。例如：通過擺木條，可以直觀地了解，12可以分別由1個(gè)12、2個(gè)6、3個(gè)4、4個(gè)3、6個(gè)2或12個(gè)1組成，也就是12能被12、6、4、3、2、1整除，由此也就知道這些數(shù)都是12的約數(shù)（或因數(shù)），還可以了解6、3、2、1 都是6的約數(shù)（或因數(shù)）；4、2、1是4的約數(shù)（或因數(shù)）；等等。通過擺木條，學(xué)生可以了解，有的數(shù)只能用它自身（表示該數(shù)的木條）和若干個(gè)1（白木條）來表示。這就是說，這個(gè)數(shù)的約數(shù)只有它自身和1，這樣的數(shù)就叫做質(zhì)數(shù)，如2、3、7等：有的數(shù)除表示該數(shù)的木條自身和白木條

10、以外，可以用其他木條表示，也就是說除該數(shù)自身和1外，還有其他約數(shù)。這樣的數(shù)就是合數(shù)。如12、6、4等。有了木條幫助理解，學(xué)生對(duì)這些概念就不會(huì)感到抽象難懂了。（二）利用奎遜耐木條可以說明把一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)。先說明，每個(gè)合數(shù)都可以用表示它的因數(shù)的木條擺成一個(gè)塔形，例如12，首先用下面兩個(gè)十字形來表示。由于4和6都是合數(shù)，因此還可以用更短的木條組成塔形來表示。因?yàn)檫@些木條所表示的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，所以這個(gè)塔形就叫質(zhì)數(shù)塔形。把一個(gè)合數(shù)擺成質(zhì)數(shù)塔形，說明這個(gè)數(shù)可以用幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式來表示，就叫做把這個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，上頁圖的質(zhì)數(shù)塔形表示：12=3×2×2。（三）通過擺質(zhì)數(shù)塔形來把合數(shù)分

11、解質(zhì)因數(shù)后，很容易找出兩個(gè)合數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)。例如42和30分別用下面的質(zhì)數(shù)塔形來表示：可以看出，42和30有公因數(shù)2、3和6，最大公因數(shù)是6。（四）通過擺質(zhì)數(shù)塔形來把合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，也很容易找出兩個(gè)合數(shù)的最小公倍數(shù)。例如，12和18，先分別用下面的質(zhì)數(shù)塔形來表示：然后參照這兩個(gè)塔形，擺一個(gè)新塔形，要是原來2個(gè)質(zhì)數(shù)塔形的公倍數(shù)，就要包含原來每個(gè)塔形的所有木條。具體地對(duì)12來說，所擺的這個(gè)新塔形至少必須包含兩個(gè)紅木條和一個(gè)淺綠木條。就是要包含的質(zhì)因數(shù)至少必須有兩個(gè)2和一個(gè)3；對(duì)18來說，這個(gè)新塔形至少必須包含一個(gè)紅木條和兩個(gè)淺綠木條，就是要包含的質(zhì)因數(shù)至少必須有一個(gè)2和兩個(gè)3。這樣新塔形

12、至少要包含兩個(gè)紅木條和兩個(gè)淺綠木條，也就是兩個(gè)2和兩個(gè)3。由此得到12和18的最小公倍數(shù)是：2×2×3×3= 36。也可以按一般求最小公倍數(shù)的方法，先找兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)。于是斷定新塔形要包含它們公有的一個(gè)紅木條和一個(gè)淺綠木條；而新塔形要是12的倍數(shù)，至少還要有一個(gè)紅木條；要是18的倍數(shù)，至少還要有一個(gè)淺綠木條。這樣也可以斷定新塔形至少要包含兩個(gè)2和兩個(gè)3。五 分?jǐn)?shù)的概念分?jǐn)?shù)概念涉及到部分和整體的關(guān)系，一個(gè)分?jǐn)?shù)表示某一部分是整體的幾分之一或幾分之幾。因此可以從奎遜耐木條的長短的比較中引出分?jǐn)?shù)。例如：長木條在左，短木條在右，表示長木條是短木條的幾倍；反過來，短木條在

13、左，長木條在右，表示短木條是長木條的幾分之一或幾分之幾（都是以右邊的木條作為比較的標(biāo)準(zhǔn)）。比較上面每一組的兩個(gè)木條，可以看出，紫 如果選定某種顏色的木條作為單位1，則其他顏色的木條就可以表示某些分?jǐn)?shù)或整數(shù)。例如： 可以把十種顏色的木條按順序排列，然后選定某種顏色的木條為1，做判定其他顏色的木條各表示多少的練習(xí)。例如：由此可見，用這些木條也可以表示小數(shù)0.1、0. 2 利用木條還可以做分?jǐn)?shù)的等值變形練習(xí)。律，從而得到分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。六 分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算（一）利用木條可以說明分?jǐn)?shù)加、減法。例如：以橙木條和紅木條的總和時(shí)，先化成同分母的分?jǐn)?shù)，即分別用12個(gè)白木條（或一個(gè)橙木條和一個(gè)紅

14、木條接起來）表示1。表示三個(gè)分?jǐn)?shù)和的三種顏色的木條總長等于9個(gè)白木  （二）利用木條還可以說明分?jǐn)?shù)乘、除法的計(jì)算方法。例如：要算2×示1的紫木條比較?？梢灾溃夏緱l表示1時(shí)，黑木條實(shí)際是多少，再拿它同表示1的深綠木條比較?？梢灾溃罹G木條表示    紅木條和4個(gè)淺綠木條等長，所以商是6。 為了說明除以一個(gè)分?jǐn)?shù)要乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，在舉上面第一個(gè)除法例在舉上面第二個(gè)除法例子時(shí)，為要說明計(jì)算方法，可以聯(lián)系分?jǐn)?shù)乘法的應(yīng)有6個(gè)淺綠木條那樣長，擺出6個(gè)淺綠木條。實(shí)際計(jì)算可得：七 比和比例聯(lián)系前面用木條表示分?jǐn)?shù)，很容易導(dǎo)出

15、比的概念。如右圖。用下面的方法可以檢查這23和46兩個(gè)比是否成比例： 木條上下調(diào)換，然后交叉相乘得3×4=2×6，由此說明四個(gè)木條成比例，利用擺木條可以解正比例的問題。例如：買6塊糖用了15分，25分可以買幾塊？從紅、淺綠、黃、黃四個(gè)木條的乘積中，拿掉公有的一個(gè)淺綠木條和一個(gè)黃木條，顯然剩一個(gè)紅木條和一個(gè)黃木條（表示除得的商），乘起來得10，從而導(dǎo)出比例的解法。615=x2515x=6×25八 認(rèn)識(shí)計(jì)量單位由于奎遜耐木條的長度是以厘米為單位的，所以用來認(rèn)識(shí)長度單位厘米和分米就非常方便。此外，還可以認(rèn)識(shí)面積單位1平方厘米、一平方分米。認(rèn)識(shí)1平方分米時(shí)，可以

16、讓學(xué)生用十種顏色的木條拼成如右圖形，向?qū)W生指出正方形平面的邊長是1分米，面積是1平方分米。進(jìn)一步研究1平方分米和1平方厘米的進(jìn)率關(guān)系。同樣，認(rèn)識(shí)體積單位時(shí)，可以讓學(xué)生用木條拼成一個(gè)棱長為1分米的正方體，指出它的體積是1立方分米，進(jìn)一步研究1立方分米和1立方厘米的進(jìn)率關(guān)系。九 幾何初步知識(shí)（一）利用奎遜耐木條可以認(rèn)識(shí)長方形、正方形、長方體和正方體。除了利用單個(gè)的木條來研究這些圖形的性質(zhì)外，還可以拿幾個(gè)木條拼成一個(gè)形體來研究。（二）通過擺木條可以使學(xué)生比較清楚地理解面積的概念，以及長方形、正方形的面積計(jì)算方法。例如，讓學(xué)生在方格紙（每個(gè)方格邊長一厘米）上擺3個(gè)淺綠木條，再擺2個(gè)紫木條，然后比較這兩

17、個(gè)形體底面的大小。通過數(shù)方格不僅知道哪個(gè)底面大，也幫助形成面積的概念。進(jìn)一步可以啟發(fā)學(xué)生研究每個(gè)平面圖形所含的平方厘米數(shù)，與邊長的關(guān)系，從而導(dǎo)出面積的計(jì)算方法。（三）通過擺木條還可以使學(xué)生比較清楚地理解體積的概念，以及長方體、正方體表面積和體積的計(jì)算方法。（四）利用木條還可以使學(xué)生認(rèn)識(shí)直角、對(duì)稱等。十 教學(xué)時(shí)使用奎遜耐木條應(yīng)注意的幾點(diǎn)奎遜耐木條在國外使用比較廣泛，但我國還很少使用。由于我國的具體情況有些不同，如何更有效地使用這種教具，還需要進(jìn)一步研究，現(xiàn)在看來，有以下幾點(diǎn)值得注意。（一)小學(xué)數(shù)學(xué)中絕大部分教學(xué)內(nèi)容雖然都可用奎遜耐木條來幫助說明概念，理解算理，但教學(xué)時(shí)要避免單一化，不能把它作為唯一的教具。有些內(nèi)容如果使用其他教具效果更好，就不一定用它，或與它彼此配合使用。（二）奎遜耐木條，同其他教具一樣，只是學(xué)習(xí)的一種手段。教學(xué)時(shí)，同使用其他直觀教具一樣，要在學(xué)生操作、感知的基礎(chǔ)上及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生抽象概括，以利于學(xué)生抽象思維的發(fā)展。學(xué)生操作后，要注意讓學(xué)生用言語表達(dá)，形成必要的概括結(jié)論，總結(jié)出探索的規(guī)律，有時(shí)可以適當(dāng)提一兩個(gè)問題讓學(xué)生在操作中探索多種解法或多種