高等數(shù)學(xué)：D1_4無窮小無窮大

1、 第一章 二、二、 無窮大無窮大 三三 、 無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小與無窮大的關(guān)系 一、一、 無窮小無窮小 第四節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 無窮小與無窮大當(dāng)一、一、 無窮小無窮小定義定義1 . 若0 xx 時(shí) , 函數(shù),0)(xf則稱函數(shù))(xf0 xx 例如 :,0)1(lim1xx函數(shù) 1x當(dāng)1x時(shí)為無窮小;,01limxx函數(shù) x1x時(shí)為無窮小;,011limxx函數(shù) x11當(dāng)x)x(或?yàn)闀r(shí)的無窮小無窮小 .時(shí)為無窮小.)x(或機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 除 0 以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小 ! 因?yàn)?)(lim0 xfxx,0,0當(dāng)00 xx時(shí), 0)

2、(xf顯然 C 只能是 0 !CC0 xx 時(shí) , 函數(shù),0)(xf(或 )x則稱函數(shù))(xf為0 xx 定義定義1. 若(或 )x則時(shí)的無窮小無窮小 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 其中 為0 xx 時(shí)的無窮小量 . 定理定理 1 . ( 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系 )Axfxx)(lim0 Axf)(,證證:Axfxx)(lim0,0,0當(dāng)00 xx時(shí),有 Axf)(Axf)(0lim0 xx對(duì)自變量的其它變化過程類似可證 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Mxf)(二、二、 無窮大無窮大定義定義2 . 若任給任給 M 0 ,000 xx一切滿足不等式的 x , 總有則稱函數(shù))(xf

3、當(dāng)0 xx 時(shí)為無窮大, 使對(duì).)(lim0 xfxx若在定義中將 式改為Mxf)(則記作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(Xx )(x)(lim(xfx(正數(shù)正數(shù) X ) ,記作, )(Mxf總存在機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意注意:1. 無窮大不是很大的數(shù), 它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2. 函數(shù)為無窮大 , 必定無界 . 但反之不真 !例如例如, 函數(shù)),(,cos)(xxxxf)2(nf)(n當(dāng)n2但0)(2nf所以x時(shí) ,)(xf不是無窮大 !oxyxxycos機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例 . 證明11lim1xx證證: 任給正數(shù) M ,

4、 要使,11Mx即,11Mx只要取,1M則對(duì)滿足10 x的一切 x , 有Mx11所以.11lim1xx11xy若 ,)(lim0 xfxx則直線0 xx 為曲線)(xfy 的鉛直漸近線 .漸近線1說明說明:xyo機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、無窮小與無窮大的關(guān)系三、無窮小與無窮大的關(guān)系若)(xf為無窮大,)(1xf為無窮小 ;若)(xf為無窮小, 且,0)(xf則)(1xf為無窮大.則(自證)據(jù)此定理 , 關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為 無窮小來討論.定理定理2. 在自變量的同一變化過程中,說明說明:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 無窮小與無窮大的定義2. 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系Th13. 無窮小與無窮大的關(guān)系Th2思考與練習(xí)思考與練習(xí)P41 題1 , 3P41