相似矩陣矩陣可對(duì)角化的條件(1)

1、整理課件12 矩陣可對(duì)角化的條件矩陣可對(duì)角化的條件一、相似矩陣及其性質(zhì)一、相似矩陣及其性質(zhì)二、矩陣可對(duì)角化的條件二、矩陣可對(duì)角化的條件P2/11整理課件整理課件一、相似矩陣及其性質(zhì)一、相似矩陣及其性質(zhì)定義定義3.3 設(shè)設(shè)A, B均為均為n階方陣階方陣, 若若 可逆矩陣可逆矩陣P, 使得使得 P 1AP = B, (3.8)則稱則稱A與與B相似相似, 記作記作A B.性質(zhì)性質(zhì)3.1 基本性質(zhì)基本性質(zhì)1) 反身性反身性;定理定理3.5 若若A B, 則則|A| = |B|;2) R(A) = R(B);3) A 1 B 1, A, B均可逆均可逆.2) 對(duì)稱性對(duì)稱性;3) 傳遞性傳遞性.P3/11

2、整理課件整理課件 PEPAPPEB 11 PEAP 1PEAP 1.EA 若若nA 12,推論推論 3.2定理定理3.6 若若A B, 則則A與與B的特征多項(xiàng)式相同的特征多項(xiàng)式相同, 從而從而A與與B的特征值亦相同的特征值亦相同.證明證明 A B 可逆陣可逆陣P, 使得使得P 1AP = B,則則 1, 2, , n 是是A的的n個(gè)特征值個(gè)特征值.推論推論3.3 若若A B, 則則Am Bm, m Z.P4/11整理課件整理課件定理定理3.7 A與對(duì)角矩陣相似與對(duì)角矩陣相似 A有有n個(gè)線性無關(guān)的個(gè)線性無關(guān)的特征向量特征向量.證明證明 “” 設(shè)設(shè) 可逆陣可逆陣P, 使使 P 1AP = 為對(duì)角陣

3、為對(duì)角陣.將將P按列分塊按列分塊: P = (p1, p2, , pn),因而有因而有于是有于是有 Api = i pi, i = 1, 2, , n.二、矩陣可對(duì)角化的條件二、矩陣可對(duì)角化的條件 nnnA p ppp pp 121212, .,2211nnppp P5/11整理課件整理課件“” 設(shè)設(shè)p1, p2, , pn為為A的的n個(gè)線性無關(guān)的特征向個(gè)線性無關(guān)的特征向量量,則有則有Api = i pi, i = 1, 2, , n.即即即即AP = P .又又P可逆可逆, 則有則有 P 1AP = 為對(duì)角陣為對(duì)角陣. nnnA p ppp pp 121212, .,2211nnppp P6

4、/11整理課件整理課件推論推論3.4 若若An的的n個(gè)特征值互不相等，則個(gè)特征值互不相等，則A與對(duì)角陣相似與對(duì)角陣相似注注1 A可對(duì)角化可對(duì)角化, 但但A未必有未必有n個(gè)相異的特征值個(gè)相異的特征值, 如如aE 可對(duì)角化可對(duì)角化, 但其只有一個(gè)但其只有一個(gè)n重特征值重特征值.注注2 若若A的特征方程有重根的特征方程有重根, 此時(shí)不一定有此時(shí)不一定有n個(gè)線性個(gè)線性無關(guān)的特征向量無關(guān)的特征向量, 從而從而A不一定可對(duì)角化不一定可對(duì)角化, 但若能但若能找到找到n個(gè)線性無關(guān)的特征向量個(gè)線性無關(guān)的特征向量, 則則A仍可對(duì)角化仍可對(duì)角化.定理定理3.8 設(shè)設(shè) i為為An的的 ni重特征值重特征值, i =

5、1, 2, , m, n1+ n2+ nm= n, 則則 An 對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣 R( iE A) = n ni .證明證明 “” An 可逆陣可逆陣P使使P 1AP = , P7/11整理課件整理課件即即 mmmnmmnnmmnmmnnA pppppppp 1111111111111,diag(,) 即即pij, i =1, , m, j = 1, , ni 是方程組是方程組 11,()()iiniiiR ppnREAnnREA 11,1,iiiiniiiinA ppppim ,1,1,2,ijiijiApp im jn ()0,1,1,2,iijiEA pim jn ()0,1,iEA x

6、im 的解的解.P8/11整理課件整理課件則則 iinpp11,(),iiREAnn “”iEA x ()0 的基礎(chǔ)解系有的基礎(chǔ)解系有ni個(gè)線性無關(guān)的向量個(gè)線性無關(guān)的向量 1111111111111,diag(,)mmmnnnmmnnmmnmmA pppppppp iinnREA ()iiREAnn ()矛盾矛盾 11()mmiiiinnnREAn 因因A , 由定理由定理3.7知知A有有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量個(gè)線性無關(guān)的特征向量,1()niinREAn 若若 P9/11整理課件整理課件A 46035 036 1A能否對(duì)角化能否對(duì)角化? 若能對(duì)角化若能對(duì)角化, 則求出可逆矩陣則求出可逆矩陣P,

7、使使P 1AP為對(duì)角陣為對(duì)角陣.例例3.3 設(shè)設(shè) 解解EA 460350361 212故故A的全部特征值為的全部特征值為 1 = 2 = 1, 3 = 2, P10/11整理課件整理課件將將 1 = 2 = 1代入方程組代入方程組( E A)x = 0 ,解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系 x x1 = ( 2, 1, 0)T, x x2 = (0, 0, 1)T.將將 3 = 2 代入方程組代入方程組( E A)x = 0 ,其基礎(chǔ)解系為其基礎(chǔ)解系為x x3 = (0 1, 1, 1)T.由于由于x x1, x x2, x x3線性無關(guān)線性無關(guān), 則則A可對(duì)角化可對(duì)角化. 1232 01,1 0 1 ,0 1 1Px x x x x x 令令P AP 11 000 10 .0 02故故注注 若令若令 Px x xx x x 3122 01111001,P AP 10 00010 012.即即P的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置要對(duì)應(yīng)的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置要對(duì)應(yīng).P11/11整理課件整理課件例例3.4 x, y為何值時(shí)為何值時(shí), Axy0011100解解() ().EAxy 20111110與對(duì)角矩陣相似與對(duì)角矩陣相似?則則 1 = 1, 2 = 3 = 1. (),rrrxrrIAxyxyxy 3121211011 011 0100 00 01