矩陣基礎(chǔ)一池州學(xué)院數(shù)學(xué)系

1、 本章先討論矩陣的初等變換，建立矩本章先討論矩陣的初等變換，建立矩陣的秩的概念陣的秩的概念, ,并提出求秩的有效方并提出求秩的有效方法再利用矩陣的秩反過(guò)來(lái)研究齊次線性法再利用矩陣的秩反過(guò)來(lái)研究齊次線性方程組有非零解的充分必要條件和非齊次方程組有非零解的充分必要條件和非齊次線性方程組有解的充分必要條件，并介紹線性方程組有解的充分必要條件，并介紹用初等變換解線性方程組的方法內(nèi)容豐用初等變換解線性方程組的方法內(nèi)容豐富，難度較大富，難度較大. . 引例引例)1(求解線性方程組求解線性方程組 , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13

2、42分析：用消元法解下列方程組的過(guò)程分析：用消元法解下列方程組的過(guò)程2 解解)(1B)1()(2B2 132 , 97963, 232, 22, 424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422 132 33 14 , 3433, 6355, 0222, 424324324324321xxxxxxxxxxxxx1342)(3B)(4B , 3, 62, 0, 42444324321xxxxxxxxx13425 221 33 422 , 00, 3, 0, 4244324321xxxxxxxx134232 443用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：于是解得于

3、是解得 33443231xxxxx.3為任意取值為任意取值其中其中x方程組的解可記作方程組的解可記作或令或令,3cx ,3344321 cccxxxxx.為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中c 30340111cx即即（2）小結(jié)：小結(jié)：1上述解方程組的方法稱(chēng)為消元上述解方程組的方法稱(chēng)為消元法法 2始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如下三種變換下三種變換（1）交換方程次序；）交換方程次序；（2）以不等于的數(shù)乘某個(gè)方程；）以不等于的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍倍ij（與相互替換）（與相互替換）（以替換）（以替換）ik ij（

4、以替換）（以替換）ik i3上述三種變換都是可逆的上述三種變換都是可逆的由于三種變換都是可逆的，所以變換前的由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的故這三種方程組與變換后的方程組是同解的故這三種變換是同解變換變換是同解變換ji)(A若若),(B)(B則則);(Ajik )(A若若),(Bji)(A若若),(Bik )(B則則);(Aik )(B則則).(Ak ji因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過(guò)程中，僅僅只對(duì)方程組因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過(guò)程中，僅僅只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算算若記若記 97963422644121121112)(b

5、AB則對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣則對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣B(方方程組（程組（1）的增廣矩陣）的變換）的增廣矩陣）的變換定義定義1下面三種變換稱(chēng)為矩陣的初等行變換下面三種變換稱(chēng)為矩陣的初等行變換: ）；記記作作兩兩行行對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)兩兩行行（對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以數(shù)數(shù) k）記記作作行行乘乘（第第krkii , .3 ）記記作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 定義定義2 矩陣的矩陣的初等列變換初等列變換與與初等行變換初

6、等行變換統(tǒng)稱(chēng)統(tǒng)稱(chēng)為為初等變換初等變換 初等變換的逆變換仍為初等變換初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類(lèi)且變換類(lèi)型相同型相同 同理可定義矩陣的初等列變換同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是所用記號(hào)是把把“r”換成換成“c”)jirr kri 逆變換逆變換;jirr 逆變換逆變換;)1(krkrii 或或jikrr 逆變換逆變換.)(jijikrrrkr 或或等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：；反反身身性性）（A A 1A;B , B A 2則則若若對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性）（C. AC,BB, A 3則則若若）傳傳遞遞性性（等價(jià)，記作等價(jià)，記作與與就稱(chēng)矩陣就稱(chēng)矩陣，矩陣矩陣經(jīng)有限次初等變換變成經(jīng)有限次初

7、等變換變成如果矩陣如果矩陣BABABA具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱(chēng)為等價(jià)具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱(chēng)為等價(jià)例如，兩個(gè)線性方程組同解，例如，兩個(gè)線性方程組同解，就稱(chēng)這兩個(gè)線性方程組等價(jià)就稱(chēng)這兩個(gè)線性方程組等價(jià)用矩陣的初等行變換用矩陣的初等行變換 解方程組（解方程組（1）：）： 97963422644121121112B197963211322111241211B 21rr 23 r331000620000111041211B 979632113221112412111B13322rrrr 143rr 234330635500222041211B 13322rrrr 143rr 23252rrr 243r

8、r 5 00000310003011040101B 310006200001110412113B43rr 342rr 4 00000310000111041211B 43rr 342rr 21rr 32rr 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的方方程程組組為為5B 33443231xxxxx方程組的解可記作方程組的解可記作或令或令,3cx 3344321cccxxxxx 30340111c.為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中c.54都都稱(chēng)稱(chēng)為為行行階階梯梯形形矩矩陣陣和和矩矩陣陣BB特點(diǎn)：特點(diǎn)：（1）、可劃出）、可劃出一條階梯線，線一條階梯線，線的下方全為零；的下方全為零；5 00000310003011040101B （

9、2）、每個(gè)）、每個(gè)臺(tái)階臺(tái)階 只有一行，只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元零元.1 5的的其其他他元元素素都都為為零零列列，且且這這些些非非零零元元所所在在的的零零行行的的第第一一個(gè)個(gè)非非零零元元為為即即非非還還稱(chēng)稱(chēng)為為行行最最簡(jiǎn)簡(jiǎn)形形矩矩陣陣，行行階階梯梯形形矩矩陣陣B.,A nm和和行行最最簡(jiǎn)簡(jiǎn)形形變變換換把把他他變變?yōu)闉樾行须A階梯梯形形總總可可經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)有有限限次次初初等等行行對(duì)對(duì)于于任任何何矩矩陣陣 注意：注意：行最簡(jiǎn)形矩陣是由方程組唯一確定的，行行最

10、簡(jiǎn)形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的 行最簡(jiǎn)形矩陣再經(jīng)過(guò)初等列變換，可化成標(biāo)行最簡(jiǎn)形矩陣再經(jīng)過(guò)初等列變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)形準(zhǔn)形 000003100030110401015 B214ccc 3215334cccc 例如，例如，F(xiàn) 00000001000001000001 0000030100310104100143 cc 00000301003001040001.的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形稱(chēng)稱(chēng)為為矩矩陣陣矩矩陣陣BF.為為零零陣陣，其其余余元元素素全全的的左左上上角角是是一一個(gè)個(gè)單單位位矩矩F標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形總總可可經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)初初等等變變換換化

11、化為為矩矩陣陣 Anm nmrOOOEF .,的行數(shù)的行數(shù)行階梯形矩陣中非零行行階梯形矩陣中非零行就是就是三個(gè)數(shù)唯一確定，其中三個(gè)數(shù)唯一確定，其中此標(biāo)準(zhǔn)形由此標(biāo)準(zhǔn)形由rrnm特點(diǎn)：特點(diǎn)： 所有與矩陣所有與矩陣 等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱(chēng)為一個(gè)稱(chēng)為一個(gè)等價(jià)類(lèi)等價(jià)類(lèi)，標(biāo)準(zhǔn)形，標(biāo)準(zhǔn)形 是這個(gè)等價(jià)類(lèi)中最簡(jiǎn)是這個(gè)等價(jià)類(lèi)中最簡(jiǎn)單的矩陣單的矩陣.AF1.1.初等行初等行( (列列) )變換變換 ;1jijiccrr ;2kckrii .3jijikcckrr 初等變換的逆變換仍為初等變換初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類(lèi)型相且變換類(lèi)型相同同3.3.矩陣等價(jià)具有的性質(zhì)矩陣等價(jià)具有的性質(zhì) ;1 反身性反身性 ;2 對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性 .3 傳遞性傳遞性2.2.A初等變換初等變換B. BA已知四元齊次方程組已知四元齊次方程組 及另一及另一 00:4221xxxxI四元齊次方程組四元齊次方程組 的通解為的通解為 II .,1 , 2 , 2 , 10 , 1 , 1 , 02121RkkkkTT .,;,?說(shuō)說(shuō)明明理理由由有有若