《數(shù)值分析》插值法（2）

1、編輯ppt例 已知函數(shù) 的數(shù)值表：試作出 三次Newton向前向后插值公式,并計算 、 的近似值。解：由 令 0 1 2 3 1 2 17 64 fx0.5f2.5f01112220.500.5;2.530.5nxt httxt htt 00,3,1,nxxhxy yf x編輯ppt構造差分表如下：有上表，得 0 1 2 3 1 2 17 6423320003331,14,18;47,32,ffffff ixifif2if3if11547143218編輯ppt牛頓三次向前、向后插值公式分別為得3014 (1)18 (1)(2)( )12!3!t tt ttN xt 332 (1)18 (1)(

2、2)( )64472!3!t tt ttNxt14 0.5(0.5 1) 18 0.5(0.5 1)(0.5 2)0.51 0.50.8752!3!f 320.5 ( 0.5 1)(2.5)64470.52!180.5 ( 0.5 1)( 0.52) 35.3753!f 編輯ppt 給定插值結點 ,相應函數(shù)值 及導數(shù)值 ,求一個2n+1次多項式 ,使其滿足條件 一、問題的提出一、問題的提出( )( ),0,1,iiH xfxinix( )( ),iiH xf x第五節(jié)第五節(jié) Hermite插值插值( )if x( )H x( )ifx編輯ppt 二二. . 構造方法構造方法 構造基函數(shù) ,使其

3、滿足如下條件 由 的條件,利用Lagrange插值基函數(shù),令則由條件得整理得到( ),( ),0,1,iixxin( )ix2( )( )( )2() ( )0iiiiiiiiixl xal xaxb lx( ),( ) 0( ) 0,( )ijijijijijijxxxx 12 ( ),2 ( ) 02( )iiiiii iiax bl xal xxl x a=-得b=1+2( )() ( )1iiiiixaxb lx2( )() ( )iixaxb lx編輯ppt 進而得到 同理可設 ,由條件可求得從而 于是,Hermite插值公式可以表示為2( )() ( )iiiixB xx lx2(

4、 )()( )iiixxx lx2( )(12 ( )() ( )iiiiixl xxxlx1iB 2200( )( ) ( )(1 2 ( )()( ) ( )()nniiiiiiiiiiH xf x lxl xxxfx lx xx編輯ppt 三、插值余項三、插值余項 Hermite插值余項為插值余項為 注:證明方法同Lagrange插值余項證明, 構造函數(shù)(22)20( )( ) ( ) ,(,)(22)!nnfR xxx xn22( )( )( )( )( ) ( ) ( )f xH xtf tH ttx編輯ppt 例 求過0,1兩點構造一個三次插值多項式,滿足條件 解: 設 利用條件得

5、 所以 (0)1,(0)1/2,(1)2,(1)1/2ffff21( )(3 2 )xx x20( )(21)(1)xxx001 10011( )( )( )( )( )H xyxyxyxyx2222332( ) (1 2 )(1)2(3 2 )0.5 (1)0.5(1)1.50.51H xx xx xx xxxxxx 20( )(1)xx x21( )(1)xxx編輯ppt第六節(jié)第六節(jié) 分段低次插值分段低次插值 多項式插值的問題 前面介紹了構造插值公式的方法，并分析了它們的余項。在實際應用插值函數(shù)作近似計算時，總希望插值公式余項 的絕對值小一些，即使得逼近的精度好。從 表達式看，似乎 提高插

6、值多項式的次數(shù)便可達到目的，但實際上并非如此。 nR x nR x編輯ppt在插值過程中有兩種誤差：1）由插值函數(shù) 替代被插函數(shù) 所引起的截斷誤差；2）節(jié)點數(shù)據(jù)的誤差。這種誤差在插值過程中是否會被擴散或放大呢？這就是插值過程的穩(wěn)定性問題。對任意的插值節(jié)點，當 時， 不一定收斂到 ，事實上，當n變大時，插值過程對于節(jié)點的數(shù)據(jù)誤差非常敏感，也就是說高次插值具有數(shù)值不穩(wěn)定性。 nPx nP x f x f xn 編輯ppt例1 給定函數(shù)取其等距節(jié)點 ， 構造的Lagrange插值多項式為當 時， 只能在 內收斂，而在這個區(qū)間以外是發(fā)散的。這種畸形現(xiàn)象通常叫做Runge現(xiàn)象。如下圖所示。3.63x 1

7、 100,1,ixi n in 21,55,1f xxx 201( )1nnijjpxlxxn( )npx編輯ppt編輯ppt一、問題提出一、問題提出 設 是定義在a,b上的函數(shù)，在a,b上節(jié)點的函數(shù)值為 ,若函數(shù) 滿足條件 (1) 在區(qū)間a , b上連續(xù); (2) 在每個子區(qū)間 上是次數(shù)為m的多項式; 則稱 是 在a ,b上的分段分段m次插值多項式。次插值多項式。 m=1稱為分段線性插值 m=2稱為分段拋物線插值01naxxxb01, ,ny yy1 , (0,1,)iix xin( )f x( )f x( )x( )x( )x( )f x編輯ppt 二、分段線性插值的構造二、分段線性插值的

8、構造 易知 在每個子區(qū)間 上是一次插值多項式分段線性插值的余項其中1 , (0,1,)iix xin2( )( )( )8Mhf xxR x( )xmax( )a x bMfx 11111 iiiiiiiiiixxxxxxxyxxxxyx,)(編輯ppt 例 設 ，-1 x 1將區(qū)間-1，1 10 等份，用分段線性插值近似計算 。 解：插值節(jié)點為 ，因為 -0.96-1,-0.8,取此區(qū)間為線性插值區(qū)間，其上的插值函數(shù)為所以1/5, (0,1,10)ixii 22511xxf )( 0.96)( 0.96)0.04253f80112941080192302018020801.)(.).(.).(.)()( xxxxfxfx( 0.96)f 編輯ppt三