求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的十種策略例析

1、求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的十種策略例析遞推數(shù)列的題型多樣，求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法也非常靈活，往往可以通過適當(dāng)?shù)牟呗詫栴}化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題加以解決，亦可采用不完全歸納法的方法，由特殊情形推導(dǎo)出一般情形，進(jìn)而用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，因而求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式問題成為了高考命題中頗受青睞的考查內(nèi)容。筆者試給出求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的十種方法策略，它們是：公式法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、對(duì)數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法、不動(dòng)點(diǎn)法、特征根的方法。仔細(xì)辨析遞推關(guān)系式的特征，準(zhǔn)確選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，是迅速求出通?xiàng)公式的關(guān)鍵。一、利用公式法求通項(xiàng)公式例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除以，

2、得，則，故數(shù)列是以為首，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。二、利用累加法求通項(xiàng)公式例2 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例3 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例4 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除以，得，則，故因此，則評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)

3、系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出+，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式。三、利用累乘法求通項(xiàng)公式例5 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以，則，則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例6 （2004年全國15題）已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)解：因?yàn)樗运允绞降脛t則所以由，取n=2得，則，又知，則，代入得。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為（n2），進(jìn)而求出，從而可得當(dāng)n2時(shí)的表達(dá)式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。四、利用待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式例7 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)將代入式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得，則x=1

4、，代入式，得由0及式，得，則，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，故。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例8 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)將代入式，得整理得。令，則，代入式，得由及式，得，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，因此，則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例9 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)將代入式，得，則等式兩邊消去，得，則得方程組，則，代入式，得由及式，得則，故數(shù)列為以為首項(xiàng)，以2為公

5、比的等比數(shù)列，因此，則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。五、利用對(duì)數(shù)變換法求通項(xiàng)公式例10 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以。在式兩邊取常用?duì)數(shù)得設(shè)將式代入式，得，兩邊消去并整理，得，則，故代入式，得由及式，得，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以5為公比的等比數(shù)列，則，因此，則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過對(duì)數(shù)變換把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。六、利用迭代法求通項(xiàng)公式例11 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以又，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為

6、。評(píng)注：本題還可綜合利用累乘法和對(duì)數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，即先將等式兩邊取常用對(duì)數(shù)得，即，再由累乘法可推知，從而七、利用數(shù)學(xué)歸納法求通項(xiàng)公式例12 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由及，得由此可猜測，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。（1）當(dāng)n=1時(shí)，所以等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，由此可知，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。根據(jù)（1）（2）可知，等式對(duì)任何評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項(xiàng)和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項(xiàng)，進(jìn)而猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。八、利用換元法求通項(xiàng)公式例13 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，則故，代入得即因?yàn)?，故則，即，可化為

7、，所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此，則+3，即，得。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。九、利用不動(dòng)點(diǎn)法求通項(xiàng)公式例14 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，得，則是函數(shù)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)?。，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故，則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，即方程的兩個(gè)根，進(jìn)而可推出，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例15 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，得，則x=1是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，故。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，即方程的根，進(jìn)而可推出，從而可知數(shù)列為等差數(shù)列，再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)