矩陣行列式與可逆矩陣

1、 矩陣行列式與可逆矩陣 一、n階矩陣行列式 下面介紹線性代數(shù)中另一個基本概念行列式，由于內(nèi)容較多，我們主要介紹行列式的定義及其簡單的計算，行列式的性質(zhì)等內(nèi)容請大家自己學(xué)習(xí)教材.定義2.9 對任一n階矩陣 A =用式表示一個與A相聯(lián)系的數(shù)，稱為A的行列式，記作. 規(guī)定：當n = 1時，； 當n = 2時，； 當n > 2時，其中=，稱為中元素的余子式，它是中劃去第一行、第j列后剩下的元素按原來順序組成的n 1階行列式；為中元素的代數(shù)余子式. （由定義可知，一個n 階矩陣行列式表示一個數(shù)，而這個數(shù)可以由第一行的元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和求出. 應(yīng)該指出的是，方陣是一個數(shù)表，不能求數(shù)值

2、的；而與它相應(yīng)的行列式則表示一個數(shù)，是可以計算數(shù)值的.） 行列式的性質(zhì) 性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即. 性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列），行列式的值改變符號. 性質(zhì)3 n 階行列式等于任意一行（列）所有元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即 （） 其中 i = 1, 2, , n ( j = 1, 2, , n) . 性質(zhì)4 n 階行列式中任意一行（列）的元素與另一行（列）的相應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零.即當時，有 . 性質(zhì)5 行列式一行（列）的公因子可以提到行列式符號的外面.即 性質(zhì)6 若行列式的某一行（列）元素都是兩數(shù)之和： 則等于下列兩個行列式之和： 性質(zhì)7 用常數(shù)遍乘行

3、列式的某一行（列）的各元素，然后再加到另一行（列）對應(yīng)的元素上，則行列式的值不變. （下面通過例題簡單介紹行列式的計算方法） 例1 計算 解 首先按性質(zhì)5，從第一行提出公因子，再從第四行提出，即 再利用性質(zhì)7把第三列的元素盡可能多的化為零，即作“第三行加上第一行的1倍，第四行加上第一行的-2倍”的變換，得 =再利用性質(zhì)3按第3列展開，即 =再作“第三列加上第一列的-1倍”的變換，并按第二行展開，即 = = 例2 計算 解 首先交換第一列與第二列，然后作“第二行加上第一行的-1倍，第四行加上第一行的5倍”的變換，得 =首先交換第二行與第三行，然后作“第三行加上第二行的4倍，第四行加上第二行的-8

4、倍”的變換，得 =再作“第四行加上第三行的倍”，化成三角形行列式，其值就是對角線上的元素乘積，即 =（關(guān)于矩陣行列式，有一個重要結(jié)論請大家記住.） 定理2.1 對于任意兩個方陣A，B，總有即方陣乘積的行列式等于行列式的乘積. （在上一講中，我們介紹了矩陣的加法、減法和乘法運算，那么矩陣是否有除法運算呢？這就是這下面要介紹內(nèi)容.） 二、逆矩陣定義 定義2.11 對于n階矩陣A，如果有n階矩陣B，滿足 AB = BA = I （2-5-1）則稱矩陣A可逆，稱B為A的逆矩陣，記作. （由定義可知：） 滿足公式（2-5-1）的矩陣A , B一定是同階矩陣. 例3 設(shè)矩陣 A =，B = 驗證A是否可逆

5、？ 解 因為 AB =BA =即A , B滿足 AB = BA = I.所以矩陣A可逆，其逆矩陣=B. 可以驗證：單位矩陣I是可逆矩陣；零矩陣是不可逆的. (1) 單位矩陣I是可逆矩陣. 證 因為單位矩陣I滿足： II = I 所以I是可逆矩陣，且. (2)零矩陣是不可逆的. 證 設(shè)O為n階零矩陣，因為對任意n階矩陣B，都有 OB = BO = O 所以零矩陣不是可逆矩陣. 可逆矩陣具有以下性質(zhì)： (1) 若A可逆，則是唯一的. 證 設(shè)矩陣B1 , B2都是A的逆矩陣，則B1 A = I，AB2 = I，且B1 =B1 I = B1 (AB2 )= (B1 A )B2 = I B2 = B2故

6、是唯一的. (2) 若A可逆，則也可逆，并且 = A 若A可逆，則也可逆，并且 = A. 證 由公式（2-5-1）可知，A= A = I，故是A的逆矩陣，同時A是的逆矩陣，即= A. (3) 若A可逆，數(shù)k0，則kA也可逆，且 = 若A可逆，數(shù)k0，則kA也可逆，且 = 證 因為 kA () = ()() = I () kA = ()() = I 所以，kA可逆，且 = (4) 若n階方陣A和B都可逆，則AB也可逆，且 證 因為 A和B都可逆，即和存在，且(AB )() = A( B )= AI = A= I()(AB ) = B ( A)= B I = B= I根據(jù)定義2.11，可知AB可逆

7、，且.性質(zhì)(4)可以推廣到多個n階可逆矩陣相乘的情形，即當n階矩陣A1 , A2 , , Am都可逆時，乘積矩陣A1A2Am也可逆，且( A1A2Am= 特別地，當m = 3時，有( A1A2A3= 問題：若n階方陣A和B都可逆，那么A+B是否可逆？ 答：盡管n階矩陣A和B都可逆，但是A + B也不一定可逆，即使當A + B可逆 ，例如 A =， B = 都是可逆矩陣，但是 A + B = 是不可逆的.而A + A = 2A可逆，但是 = 2 (5) 若A可逆，則也可逆，且 = . 若A可逆，則也可逆，且 = . 證 因為矩陣A可逆，故存在，且 = = 根據(jù)定義2.11，可知也是可逆的，且=

8、. 三、可逆矩陣的判定 若方陣A可逆，則存在，使.于是1= （定理2.1）得 . 把滿足的方陣A稱為非奇異的（或非退化的），否則就稱為奇異的（或退化的）. （由此可以得到定理2.2：） 定理2.2 方陣A可逆的必要條件為A是非奇異的，即. （定理2.2結(jié)論是很重要的，但要注意，它是方陣A可逆的必要條件，不是充分條件.因此，大家就會想到若，方陣A是否可逆呢？要回答這個問題，需要引進伴隨矩陣的概念） 定義2.12 對于n階方陣 A =，稱n階方陣 為A 的伴隨矩陣，記作，其中為行列式中元素的代數(shù)余子式. （注意：伴隨矩陣中各元素的位置秩序與常規(guī)的不一樣，是由常規(guī)秩序經(jīng)過轉(zhuǎn)置后獲得的.） （利用伴隨矩陣可以證明：） 定理2.3 若方陣A是非奇異的，即，則A是可逆矩陣，并且有 （定理2.3的證明請看教材.該定理不僅給出了可逆矩陣的一種判別方法，即當方陣A 的行列式時，A是可逆矩陣；若，則A不是可逆矩陣.而且還給出了求逆矩陣的一種方法伴隨矩陣法，即若A可逆，那么只要求出它的伴隨矩陣，再除以它對應(yīng)的行列式的值，就能獲得逆矩陣.） 例4 設(shè)矩陣 判別A是否可逆？ 解 因為 = 1即 ，所以A是可逆矩陣. 例5 設(shè)，問：當a, b, c, d滿足什么條件時，矩陣A可逆？當A可