空間向量法解立體幾何題

1、本文格式為word版，下載可任意編輯空間向量法解立體幾何題 空間向量基本定理的有用價(jià)值 空間向量基本定理為空間向量制定了規(guī)范、統(tǒng)一、和協(xié)的基調(diào)，為解題供應(yīng)了一條有章可循的思路。 11 基底的優(yōu)越性 使用統(tǒng)一的基底，把圖形中的全部向量都用這統(tǒng)一的基底來(lái)表示，使幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化的代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決。思路單一，便于把握。 例 1在平行六面體 abcd-a 1 b 1 c 1 d 1 中，體對(duì)角線 ac 1 與平面a 1 bd、平面 cb 1 d 1 分別相交于點(diǎn) m、n。求證：am：mn：nc 1 =1：1：1 則 由點(diǎn) m 在直線 ac 上，則可設(shè) 由點(diǎn) m 在平面 a 1 bd 內(nèi)，及空間向量基本定理知

2、： 存在唯一有序?qū)崝?shù)組 即： 由唯一性知： 同理可證： 故 am：mn：nc 1 =1：1：1 :1aa ， ， ad ， ， ab 取基底 解1 1aa ad ab ac + + + + = =1ac am l l = =11= = + + + + + + + + = = z y x aa z ad y ab x am z y x 且 使 , ), , , (1 1aa z ad y ab x aa ad ab + + + + = = + + + + l l l l l l = = = =zyxl ll ll l131311 3 ac am = = = = = = 即 , , l l l l

3、a c cn131= = ac mn31= = a d 1 c 1 b 1 d c a 1 b m n 例 2平行六面體 ac 1 中，ab=ad=1，aa 1 =2，a 1 ab=a 1 ad=bad=60 求點(diǎn) b 到平面 aa 1 d 1 d 的距離；bd 1 與平面 aa 1 d 1 d 的夾角的大小。 解：設(shè)點(diǎn)h是點(diǎn)b在平面aa 1 d 1 d內(nèi)的射影，取基底 ，則存在唯一有序?qū)崝?shù)組（ 因 bh 平 面 aa 1 d ， 故 bh aa 1 ， 且 bh ad ， 1aa ad ab , ,1aa z ad y ab x bh z y x + + + + = = 使 ), , , (

4、01= = = = ad bh aa bh = = + + + += = + + + +0011 1ad aa z ad y ab xaa aa z ad y ab x) () ( = = + + + + = = + + + + 001221 1 1ad aa z ad y ad ab xaa z aa ad y aa ab x = = + + + += = + + + +0 2 20 4z y xz y xz x z y 6 2 - - = = = = ,12 6 aa z ad z ab z bh + + + + - - = = 12 6 1 aa z ad z ab z bh ab ah

5、 + + + + - - = = + + = = ) (311610 6 11= = - - = = = = = = - - y x z z aa ad ah , , , , 三個(gè)向量共面 與 q16131aa ad ab bh + + + + - - = = 21226131) ( aa ad ab bh bh + + + + - - = = = = 32913132361911 1 12 2= = + + - - - - + + + + = = aa ad aa ab ad ab aa ad ab 故 點(diǎn) b 到平面 aa 1 d 1 d 的距離即 bh 的長(zhǎng)是 故 bd 1 與平面 aa

6、 1 d 1 d 所成角的大小是 。 12基底的敏捷選取 例 3如圖，在棱長(zhǎng)都相等的四周體 abcd 中， e、f 分別是棱 ad、bc 的中點(diǎn)，連接 af、ce。 求異面直線 af 與 ce 所成角的大小 （1988 年上海高考題） 解：設(shè) ab=2ae= , 取基底 ， 則 又 3621212121) ( ) ( aa ad ab bb bc ba bd bd + + + + - - = = + + + + = = = =521= = - - - - = = ) ( aa ad ab153011= = = = bdbhbh d sin1530arcsina ab ae ac , ,ac a

7、e ce ac ab af - - = = + + = = ), (21) ( ) ( ac ae ac ab ce af - - + + = = 21222121a ac ac ab ae ac ae ab - - = = - - - - + + = = ) (a ce af23- - = = = =32- - = = = - - = - - = - = = = + += -qqqaa naa nc de c aa ncde aade c n nzzzz znz y xz y xy xec nde nqq的平面角 為二面角 所成的角 與垂直 與平面 向量垂直的向量 是一個(gè)與平面 則 取其中d

8、 1c 1b 1cdbaa 1ef 19（本小題滿分 12 分） 如圖，在底面是菱形的四棱錐 pabc中，abc=600 ，pa=ac= a ，pb=pd= ,點(diǎn) e 在 pd 上，且 pe:ed=2:1. （i）證明 pa平面 abcd； （ii）求以 ac 為棱，eac 與 dac 為面的二面角 的大小； （）在棱 pc 上是否存在一點(diǎn) f，使 bf/平面 aec？證明你的結(jié)論. （）解法一 以 a 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 ad、ap 分別為 y 軸、z 軸，過(guò) a 點(diǎn)垂直平面 pad 的直線為 x 軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.由題設(shè)條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 14212 2 ) 4 ( 2 3

9、 12 2 2 3 ) 4 ( 1| | | |cos2 2 2 2 2 21 11 1=+ + - + + + + - =fd ecfd ecba 2q). 0 ,21,23( ), 0 ,21,23( ), 0 , 0 , 0 ( a a c a a b a -).31,32, 0 ( ), , 0 , 0 ( ), 0 , , 0 ( a a e a p a dd p b a c e 所以 設(shè)點(diǎn) f 是棱 pc 上的點(diǎn)， 則 令 得 解得 即 時(shí)， 亦即，f 是 pc 的中點(diǎn)時(shí)， 、 、 共面. 又 bf 平面 aec，所以當(dāng) f 是棱 pc 的中點(diǎn)時(shí)，bf/平面aec. 由于 所以 、

10、 、 共面. 又 bf 平面 abc，從而 bf/平面 aec. 19（本小題滿分 12 分）如圖，在直三棱柱 abca 1 b 1 c 1 中，bac=90，ac=ab=a 1 a， e 是 bc 的中點(diǎn). （1）求異面直線 ae 與 a 1 c 所成的角； ). 0 ,21,23( ),31,32, 0 ( a a ac a a ae = =). ,21,23( ), , 0 , 0 ( a a a pc a ap - = =). ,21,23( a a a bp - =, 1 0 ), ,21,23( = a aac a aec a aec a ae.3p) , , ( h a a eg - = 0 ,1 1= c a ec c a eg q. , 0 2 22a h ah a = = -. , 90 ac ep bac = oq ep,51a. 5 tan = = pqpepqe . 二 面 角 a 1 ag e 的 平 面 角 是 . （12 分） 例 5（2021。全國(guó)。理科題）如圖，已知平行六面體 a