《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

1、數(shù)學(xué)分析考試大綱1.函數(shù)1.1 掌握實(shí)數(shù)概念及其基本性質(zhì)。掌握實(shí)數(shù)絕對(duì)值的概念和有關(guān)的不等式。1.2 掌握鄰域概念, 掌握確界定理。1.3 掌握函數(shù)的概念及各種表示方法,掌握復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)的概念。1.4 掌握有界函數(shù)與無界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇函數(shù)和偶函數(shù)、周期函數(shù)等概念。1.5 掌握六類基本初等函數(shù)的定義和性質(zhì)。1.6 掌握常用的幾個(gè)非初等函數(shù)，如符號(hào)函數(shù)，狄利克雷函數(shù)等。2. 數(shù)列極限2.1 掌握數(shù)列極限的的定義, 會(huì)使用“語言”證明數(shù)列的極限。2.2 正確理解和掌握收斂數(shù)列的性質(zhì)。2.3 掌握單調(diào)有界原理,致密性定理及Cauchy收斂準(zhǔn)則。3. 函數(shù)極限3.1 掌握函數(shù)極限的和定義。3.2

2、 掌握函數(shù)極限的性質(zhì)。3.3 掌握函數(shù)極限存在的條件, 掌握歸結(jié)原則及柯西準(zhǔn)則。3.4 掌握重要極限 和 及其應(yīng)用。3.5 正確理解和掌握無窮大和無窮小的概念及無窮小的階。4. 函數(shù)的連續(xù)性4.1 掌握連續(xù)函數(shù)的概念, 掌握間斷點(diǎn)及其分類。4.2 掌握連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì),掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。4.3 掌握反函數(shù)的連續(xù)性,掌握函數(shù)的一致連續(xù)性。4.4 掌握初等函數(shù)在其定義域上的連續(xù)性。5. 導(dǎo)數(shù)與微分5.1 掌握導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義。5.2 掌握求導(dǎo)法則,掌握參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則, 掌握高階導(dǎo)數(shù)的求法。 5.3 掌握微分的概念及其幾何意義。5.4 掌握微分的運(yùn)算法則,了解高階微分,了解微

3、分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。6. 微分中值定理及其應(yīng)用 6.1 熟練掌握中值定理的條件、結(jié)論和證明方法。6.2 掌握不定式極限的求法,熟練掌握洛必達(dá)法則及其應(yīng)用。6.3 掌握泰勒公式，掌握用多項(xiàng)式逼近函數(shù)的思想。6.4 會(huì)分析函數(shù)的性態(tài),會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，會(huì)判斷函數(shù)的凸性和拐點(diǎn),會(huì)較完善地作出函數(shù)的圖形。7. 實(shí)數(shù)的完備性7.1 理解區(qū)間套概念，能熟練使用區(qū)間套定理。7.2 掌握聚點(diǎn)概念及各種等價(jià)定義，能熟練使用聚點(diǎn)定理。7.3 理解（開）覆蓋的定義并且會(huì)用集合術(shù)語表達(dá)，體會(huì)如何構(gòu)造開覆蓋并且會(huì)用開覆蓋定理。7.4 知曉實(shí)數(shù)完備性的六種等價(jià)說法及其證明。8. 原函數(shù)與不定積分8.1 掌握原函

4、數(shù)定義及唯一性（不計(jì)常數(shù)）。8.2 掌握不定積分的定義、性質(zhì)。8.3 熟練使用換元公式和分部積分公式。8.4 了解有理函數(shù)不定積分的計(jì)算方法。8.5 了解某些其它類型不定積分的計(jì)算方法。9. 定積分（Riemann積分）9.1 深入理解定積分概念及其產(chǎn)生背景。9.2 熟練掌握可積性的判別準(zhǔn)則及可積函數(shù)類。9.3 熟練掌握定積分的性質(zhì)及積分中值定理。9.4 重點(diǎn)掌握微積分學(xué)基本定理和Newton-Leibniz公式。9.5 熟練使用定積分工具解決幾何、物理和學(xué)科的問題。10. 反常積分10.1 深入理解反常積分概念及其產(chǎn)生背景。10.2 熟練使用反常積分的收斂判別法。11. 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)11.1 深

5、入理解數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及其產(chǎn)生背景。11.2 直觀理解絕對(duì)收斂和條件收斂概念。11.3 熟練使用正項(xiàng)級(jí)數(shù)和一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法。12. 函數(shù)列、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)12.1 深入理解逐點(diǎn)收斂和一致收斂概念，重點(diǎn)在一致收斂。12.2 熟練使用一致收斂的Cauchy準(zhǔn)則及收斂判別法。12.3 掌握一致收斂函數(shù)列（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)）之極限函數(shù)（和函數(shù)）的分析性質(zhì)，即連續(xù)性、可積性、可微性。12.4 能熟練求出一個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域。12.5 熟知冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間上的性質(zhì)(內(nèi)閉一致收斂性、連續(xù)性、逐項(xiàng)可積和逐項(xiàng)可導(dǎo)性）。12.6 掌握將光滑函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)的基本方法。13. 傅里葉（Fouri

6、er）級(jí)數(shù)13.1 深入理解傅里葉級(jí)數(shù)及其產(chǎn)生的物理背景。13.2 會(huì)做一個(gè)可積函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)。13.2 掌握三角函數(shù)系的正交性、Bessel不等式和Riemann-Lebesgue引理。13.4 了解有關(guān)傅里葉級(jí)數(shù)收斂性的一些結(jié)果。14. 多元函數(shù)微分學(xué)14.1掌握平面點(diǎn)集的一些概念: 鄰域、內(nèi)點(diǎn)、界點(diǎn)、聚點(diǎn)、區(qū)域、閉區(qū)域、有界 區(qū)域、無界區(qū)域等。14.2掌握二元函數(shù)和二元函數(shù)極限的定義,弄清二重極限與累次極限的區(qū)別及其 聯(lián)系。14.3 掌握二元連續(xù)函數(shù)的定義以及性質(zhì)。14.4 理解可微性的條件、幾何意義及應(yīng)用。14.5 熟練計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)。14.6 了解方向?qū)?shù)與梯度的定義。14

7、.7 會(huì)運(yùn)用泰勒公式解決極值問題。15. 隱函數(shù)15.1 理解隱函數(shù)的概念及存在性的條件。15.2了解隱函數(shù)組的概念及定理并掌握幾何運(yùn)用。15.3掌握條件極值的求法。16.含參變量的積分16.1 掌握含參量正常積分及反正常積分。16.2 掌握一致收斂的判別法。16.3 理解歐拉積分并會(huì)應(yīng)用。17. 重積分17.1 掌握二重積分的概念，理解二重積分的可積函數(shù)類與性質(zhì)。17.2 掌握二重積分的計(jì)算，掌握二重積分的變量變換和二重積分的應(yīng)用。17.3 掌握三重積分的概念。17.4 掌握三重積分的計(jì)算，掌握三重積分的變量變換和應(yīng)用。18. 曲線積分與曲面積分18.1 正確理解第一型曲線積分和第二型曲線積

8、分的概念。18.2 掌握第一型曲線積分和第二型曲線積分的計(jì)算。18.3 會(huì)運(yùn)用格林公式和積分與路徑無關(guān)的條件解決問題。18.4 正確理解第一型曲面積分和第二型曲面積分的概念。18.5 掌握第一型曲面積分和第二型曲面積分的計(jì)算。18.6 會(huì)運(yùn)用高斯公式和斯托克斯公式。18.7 了解場的概念和各種場。高等代數(shù)考試大綱1. 行列式1.1了解排列的概念及性質(zhì)。1.2 熟練掌握行列式的概念、性質(zhì)。1.3 掌握行列式的計(jì)算方法。1.4 熟悉克拉姆法則。1.5 對(duì)矩陣及矩陣的初等變換有初步的了解。2. 線性方程組2.1 掌握維向量及維向量空間的概念，熟練掌握向量的運(yùn)算。2.2 熟練掌握向量組的線性相關(guān)性，理

9、解向量組的極大無關(guān)組。2.3 深刻理解向量組的秩和矩陣的秩的定義，掌握矩陣秩的計(jì)算方法。2.4 熟練掌握線性方程組的有解判別定理。 2.5 正確理解和掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的概念和計(jì)算方法，熟練掌握線 性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理，會(huì)求解線性方程組。3. 矩陣3.1 了解矩陣概念的一些背景。3.2 熟練掌握矩陣的運(yùn)算及運(yùn)算律。3.3 掌握矩陣乘積的行列式定理，矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關(guān)系。3.4 深入理解矩陣可逆、逆矩陣、伴隨矩陣等概念，掌握方陣可逆的充要條，會(huì) 用件公式法求矩陣的逆矩陣。 3.5 理解分塊矩陣的意義，掌握分塊矩陣的運(yùn)算及性質(zhì)。3.6 正確理解和掌握初等矩陣、初等變換的概念

10、及它們的關(guān)系，熟練掌握利用初等變換方法求矩陣的逆矩陣。3.7 了解分塊乘法的初等變換，會(huì)將矩陣分塊與初等變換結(jié)合進(jìn)行矩陣運(yùn)算。4. 二次型4.1正確理解二次型非退化線性替換的概念，掌握二次型的矩陣表示，掌握矩陣合同的概念與性質(zhì)。4.2 掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法。4.3 深刻理解對(duì)稱矩陣與二次型的關(guān)系，掌握對(duì)稱矩陣的性質(zhì)。4.4 掌握慣性定理，熟練掌握正定二次型的等價(jià)條件。4.5 掌握半正定二次型的等價(jià)條件。5. 線性空間5.1 掌握集合與映射的相關(guān)概念。5.2 熟練掌握線性空間及其基于維數(shù)等相關(guān)概念。5.3 會(huì)求線性空間的基與維數(shù)。5.4 掌握基變換與坐標(biāo)變換的公式，。5.5 熟練掌握線性子

11、空間的概念及其判定方法。5.6 掌握子空間的交與和的定義及性質(zhì)，熟練掌握維數(shù)公式。5.7 深刻理解子空間的直和的概念，掌握判定直和的充要條件。5.8 理解并掌握線性空間同構(gòu)的定義、性質(zhì)及有限維空間同構(gòu)的充要條件。6. 線性變換6.1 理解并掌握線性變換的定義及性質(zhì)。6.2 掌握線性變換的運(yùn)算及運(yùn)算律，理解線性變換的多項(xiàng)式。6.3 掌握線性變換與矩陣的關(guān)系，掌握矩陣相似的概念及性質(zhì)。6.4 理解并掌握矩陣的特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式的概念及性質(zhì)，會(huì)求矩陣的特征值和特征向量，掌握哈密爾頓-凱萊定理。 6.5 掌握線性變換的值域與核的概念及相關(guān)理論。6.6 了解不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關(guān)

12、系。7. 歐幾里得空間7.1 深刻理解并掌握歐幾里得空間的基本概念和理論。7.2 掌握向量的內(nèi)積和向量的度量性質(zhì)。7.3 正確理解正交向量組、標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，掌握施密特正交化方法。7.4 理解并掌握正交變換的概念與等價(jià)條件，掌握正交變換與向量長度、標(biāo)準(zhǔn)正交基以及正交矩陣的關(guān)系。 7.5 理解兩個(gè)子空間正交的概念，掌握正交與直和的關(guān)系。7.6 熟練掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的進(jìn)一步性質(zhì)。8. 多項(xiàng)式8.1 了解多項(xiàng)式的定義與基本運(yùn)算。8.2 掌握多項(xiàng)式整除的概念、性質(zhì)與帶余除法。8.3 掌握最大公因式的概念、存在性與求法,掌握多項(xiàng)式互素的概念與相關(guān)性質(zhì)。8.4 掌握不可約多項(xiàng)式的概念、性質(zhì)。8.5 了解因

13、式分解定理以及復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解定理。8.6 了解重因式的概念以及多項(xiàng)式有重因式的充要條件。8.7 了解多項(xiàng)式函數(shù)的概念、余數(shù)定理、代數(shù)基本定理。8.8 掌握求有理系數(shù)多項(xiàng)式的全部有理根的方法以及Eisenstein判別法。9. 矩陣9.1 了解矩陣的定義、矩陣的初等變換、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形以及矩陣的行列式因子、不變因子等概念，了解矩陣等價(jià)的充要條件,掌握用初等變換將矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法。9.2 掌握矩陣初等因子的概念、求法以及數(shù)字矩陣相似的充要條件。9.3 了解矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形以及有理標(biāo)準(zhǔn)形的概念，掌握矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn) 形的求法，了解矩陣有理標(biāo)準(zhǔn)形的求法。常微分方程考試大

14、綱1. 初等積分法1.1 掌握微分方程與解的基本定義，認(rèn)識(shí)常微分方程課程的整體結(jié)構(gòu)。1.2 掌握分離變量法，會(huì)用該方法求解變量可分離方程。1.3 掌握兩類可轉(zhuǎn)化為可分離變量形式微分方程的解法，重點(diǎn)掌握齊次方程解法。1.4 掌握一階線性常微分方程的解法常數(shù)變易法，會(huì)用該方法求解非齊次方程。1.5 掌握全微分方程及積分因子的基本概念，掌握全微分方程求解法，會(huì)用積分因子法將非全微分方程轉(zhuǎn)化為全微分方程。1.6 掌握參數(shù)法求解一階隱式微分方程，具體會(huì)解 4種形式的一階隱式微分方程。1.7 掌握幾種可降階的高階方程的解法。1.8 介紹一階微分方程應(yīng)用舉例 1.等角軌線；2.在動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用。2. 基本定

15、理2.1 了解微分方程定性理論的發(fā)展背景，掌握微分方程解的幾何意義。2.2 重點(diǎn)掌握解的存在性與唯一性定理，理解定理?xiàng)l件。2.3 掌握可延展解與不可延展解的定義，掌握不可延展解的存在定理和性質(zhì)。2.4 掌握奇解概念及求解奇解的方法。掌握包絡(luò)的概念及求解包絡(luò)的方法。掌握克萊洛方程的類型及求解方法。 2.5 掌握解對(duì)初值的連續(xù)依賴性和解對(duì)初值的可微性。3. 一階線性微分方程組3.1 掌握線性微分方程組的一般理論及微分方程組所有解的代數(shù)結(jié)構(gòu)。3.2 掌握齊線性微分方程組的基解矩陣。3.3 掌握非齊方程組的常數(shù)變易法。3.4 掌握運(yùn)用特征根求解常系數(shù)齊線性微分方程組的基解矩陣。常系數(shù)非齊次線性微分方程

16、組的通解公式。3.5 掌握常系數(shù)齊次線性微分方程組的基解矩陣為。4n階線性微分方程 4.1 掌握n階線性齊次方程的一般理論，包括通解結(jié)構(gòu)、基本解組的概念；掌握非齊次線性微分方程的通解結(jié)構(gòu)，已知齊次方程通解會(huì)運(yùn)用常數(shù)變易法求非齊方程通解。4.2 重點(diǎn)n階常系數(shù)線性齊次方程解法，即運(yùn)用特征方程的特征根求解n階常系數(shù)齊線性方程的通解。4.3 掌握系數(shù)比較法求解n階常系數(shù)線性非齊次方程的運(yùn)算技巧。4.4 理解二階常系數(shù)線性方程與振動(dòng)現(xiàn)象的關(guān)系。4.5 了解拉普拉斯變換。5.常微分方程解的穩(wěn)定性介紹5.1 掌握常微分方程解穩(wěn)定性概念,及穩(wěn)定性的判定方法。5.2 掌握李雅普諾夫第二方法。5.3 了解平面自

17、治系統(tǒng)基本概念，了解某些平面定性理論。復(fù)變函數(shù)考試大綱1. 復(fù)數(shù)及其幾何表示1.1 掌握復(fù)數(shù)及其運(yùn)算，掌握復(fù)數(shù)域概念。1.2 掌握復(fù)數(shù)的幾種表示方法。1.3 掌握復(fù)數(shù)的球極射影、復(fù)球面、無窮大及擴(kuò)充的復(fù)平面等概念。1.4 掌握內(nèi)點(diǎn)、聚點(diǎn)、邊界點(diǎn)、開集、閉集及緊集等復(fù)平面拓?fù)涓拍睢?.5 掌握簡單曲線及光滑曲線概念,掌握若爾當(dāng)定理。2. 復(fù)變函數(shù)2.1 掌握復(fù)變函數(shù)以及復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)、可微和解析等概念。2.2 熟練掌握柯西黎曼條件。2.3 掌握輻角函數(shù),了解多值函數(shù)。2.4 掌握支點(diǎn)概念，掌握指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及三角函數(shù)等初等函數(shù)。3. 復(fù)變函數(shù)的積分 3.1 掌握復(fù)變函數(shù)積分的定

18、義及性質(zhì)。3.2 掌握多邊形區(qū)域周界的積分性質(zhì), 掌握積分與原函數(shù)的關(guān)系。3.3 熟練掌握柯西定理。3.4 熟練掌握柯西公式并會(huì)運(yùn)用該公式進(jìn)行積分計(jì)算。3.5 掌握莫雷拉定理。4. 級(jí)數(shù)4.1 掌握級(jí)數(shù)和數(shù)列的基本性質(zhì),掌握復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和復(fù)數(shù)序列的收斂性及收斂的 條件。4.2 掌握冪級(jí)數(shù)的收斂性，掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的求法。4.3 掌握解析函數(shù)的泰勒展式,掌握解析函數(shù)泰勒展式的唯一性。4.4 掌握解析函數(shù)的零點(diǎn)、零點(diǎn)的階及零點(diǎn)的孤立性。4.5 掌握解析函數(shù)的洛朗展式和洛朗級(jí)數(shù), 掌握洛朗展式的唯一性。4.6 掌握解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn), 掌握孤立奇點(diǎn)的判別方法。4.7 掌握解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)。

19、5. 留數(shù) 5.1 掌握留數(shù)概念及留數(shù)定理,掌握留數(shù)的計(jì)算方法。5.2 掌握留數(shù)在計(jì)算定積分和廣義積分計(jì)算中的應(yīng)用。 6. 保形映射 6.1 掌握單葉解析函數(shù)概念及性質(zhì)。6.2 掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義。6.3 掌握分式線性函數(shù)的概念，掌握分式線性函數(shù)的構(gòu)成。6.4 掌握分式線性函數(shù)的映射性質(zhì)。6.5 掌握兩個(gè)特殊的分式線性函數(shù):把上半平面保形映射成單位圓盤的分式線 性函數(shù)；把單位圓盤保形映射成單位圓盤的分式線性函數(shù)。6.6 了解最大模原理。實(shí)變函數(shù)考試大綱1. 集合與基數(shù)1.1 掌握集合概念及其運(yùn)算:De Morgan公式。1.2 熟練掌握集合基數(shù)概念。1.3 重點(diǎn)掌握可數(shù)集合的性質(zhì)。1.4 了解

20、不可數(shù)無窮集。1.5 掌握鄰域、內(nèi)部、導(dǎo)集、開集、閉集、完備集的概念。1.6 掌握開集、閉集、完備集、Borel集的性質(zhì)及構(gòu)造。2. 測度理論2.1 掌握外測度的定義及其性質(zhì)。2.2 重點(diǎn)掌握測度的定義及其性質(zhì)。2.3 重點(diǎn)掌握一維空間點(diǎn)集的測度：開集的測度，閉集的測度。2.4 了解乘積空間點(diǎn)集的測度。3. 可測函數(shù)3.1 掌握可測函數(shù)的定義及其性質(zhì)。3.2 掌握幾乎處處的概念。3.3 重點(diǎn)掌握Egoroff定理。3.4 重點(diǎn)掌握可測函數(shù)的結(jié)構(gòu)及Lusin定理。3.5 重點(diǎn)掌握依測度收斂。4. 積分理論4.1 掌握非負(fù)可測函數(shù)積分的定義及性質(zhì)。4.2 掌握可測函數(shù)積分的定義及性質(zhì)。4.3 重點(diǎn)

21、掌握Levi定理。4.4 重點(diǎn)掌握Fatou引理。4.5 重點(diǎn)掌握Lebesgue控制收斂定理。4.6 了解Lebesgue有界收斂定理。4.7 了解Fubini定理。4.8 了解不定積分。近世代數(shù)考試大綱1. 基本概念1.1 理解集合的概念，了解元素與集合之間的關(guān)系，以及集合之間的運(yùn)算。1.2 理解映射的概念，能在集合之間建立映射關(guān)系，并判斷兩個(gè)映射是否相同。1.3 掌握代數(shù)運(yùn)算的概念及其滿足的運(yùn)算律，能建立有限集合之間的運(yùn)算表。 1.4 掌握同態(tài)映射和同構(gòu)映射的概念，理解同態(tài)與同態(tài)滿射的關(guān)系，并能判定映 射是否是同態(tài)滿射或是單射，掌握具有同態(tài)滿射的集合之間的聯(lián)系。1.5 理解關(guān)系和等價(jià)關(guān)系的概念，掌握等價(jià)關(guān)系和分類之間的轉(zhuǎn)換定理，和熟練 判定給定的關(guān)系是否是等價(jià)關(guān)系，并熟悉剩余類的基本特性，以便為群、環(huán) 提供典型的范例，能建立整數(shù)間給定的模的剩余類2. 群2.1 熟悉群的定義，理解左、右單位元，左、右逆元的意義，掌握有限群、無限 群、群的階和交換群的概念。2.2 理解群同構(gòu)、同態(tài)的定義，掌握群同態(tài)的有關(guān)性質(zhì)。2.3 掌