圓錐曲線軌跡方程經(jīng)典例題

1、(x 1)2 y2 =1上運動，求AB的中點M的軌跡。一、軌跡為圓的例題：1、必修2課本P124B組2:長為2a的線段的兩個端點在 x軸和y軸上移動，求線段 AB的中點M的軌跡方程:1必修2課本P124B組：已知M與兩個定點(0,0)，A( 3,0)的距離之比為一，求點M的軌跡方程；(一般地：必修2課2本P144B組2:已知點M( x, y)與兩個定點 MM 2的距離之比為一個常數(shù)m ；討論點M( x, y)的軌跡方程(分 m =1，與m = 1進行討論)2、必修2課本P122例5:線段 AB的端點 B的坐標(biāo)是(4,3)，端點(2013新課標(biāo)2卷文20)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知圓P在x

2、軸上截得線段長為2 2，在y軸上截得線段長為 2 3。(1)求圓心的P的軌跡方程;若P點到直線心的距離為-，求圓P的方程。2如圖所示，已知 P(4, 0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足/ APB=90°,求 矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.解：設(shè)AB的中點為R,坐標(biāo)為(x,y),則在Rt ABP中，AR|=|PR|.又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理：在 Rt OAR 中,|AR|2=|AO|2 |ORf=36(x2+y2)又|AR|=|PR|= . (x -4)2 y2 所以有(x4)2+y2=36 (x2+y2),即x2+y2 4x 10=0因此點R在一

3、個圓上，而當(dāng) R在此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運動 設(shè) Q(x,y) , R(X1,y” ,因為 R 是 PQ 的中點，所以 X1= X 4, y y °,代入方程 x2+y2 4x 10=0,得 2 2(寧)2 (子)2 一410=0整理得：x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點A(0,3)，直線l:y=2x-4 設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l 上. (1)若圓心C也在直 線y =x -1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點M，使MA =2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.(2013陜西卷理20)已知動圓過定點 A(4,0)，

4、且在y軸上截得弦 MN的長為8.(1) 求動圓圓心的軌跡C的方程；(2) 已知點B(-1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線丨與軌跡C交于不同的兩點 P,Q ,若x軸是.PBQ的角平分線，證明 直線l過定點。二、橢圓類型：3、定義法：（選修2-1P50第3題）點M（x,y）與定點F（2, 0）的距離和它到定直線 X=8的距離之比為，求點M2的軌跡方程.（圓錐曲線第二定義）討論：當(dāng)這個比例常數(shù)不是小于1,而是大于1，或等于1是的情形呢？（對應(yīng)雙曲線，拋物線）4、圓錐曲線第一定義：（選修2-1P50第2題）一個動圓與圓2 2 2 2x y 6x 5二0外切，同時與圓 x - y -6x -91二0內(nèi)切，求

5、 動圓的圓心軌跡方程。295、圓錐曲線第一定義：點M（ xo,yo）圓R（x+1） + y =9上的一個動點，點F?（1,0）為定點。線段MF2的垂直平分線與 MF1相交于點Q（x,y）,求點Q的軌跡方程;（注意點F2 （ 1,0）在圓內(nèi)）MQF26、其他形式：（選修2-1P50例3）設(shè)點A,B的坐標(biāo)分別是（-5,0），（ 5,0），直線AM,BM 相交于點M，且他們的斜4率的乘積為，求點M的軌跡方程：（是一個橢圓）94（討論當(dāng)他們的斜率的乘積為4時可以得到雙曲線）9（2013新課標(biāo)1卷20）已知圓M : （x 1）2 y1,圓N : （x-1）2 y2 =9，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，

6、圓心P的軌跡為曲線C。（ 1）求C的方程；（2）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，丨與曲線C交于A,B兩點，當(dāng)圓P的半徑最長時，求 AB（2013陜西卷文20）已知動點M （x, y）到直線l : x = 4的距離是它到點 N（1,0）的 距離的2倍。（1）求動點M的軌跡C的方程（2）過點P（0,3）的直線m與軌跡C交于 代B兩點，若A是PB的中點，求直線 m的斜率。三、雙曲線類型：2 2&圓錐曲線第一定義：點M(Xo,y°)圓Fi (x 1) y=1上的一個動點，點F2(1,0)為定點。線段MF2的垂直平分線與MFi相交于點Q(x,y),求點Q的軌跡方程;(注意點F2 (1

7、,0)在圓外)165定義法：(選修2-1P59例5)點M( x, y)與定點F(5，0)的距離和它到定直線 X的距離之比為，求點M的軌跡方54程(圓錐曲線第二定義)四、拋物線類型：10、定義法：(選修2-1 )點M( X, y)與定點F(2，0)的距離和它到定直線 x = -2的距離相等，求 點M的軌跡方程。(或：點M( x, y )與定點F(2, 0)的距離比它到定直線 X = -3的距離小1,求點M的軌跡方程。)(2013陜西卷文20)已知動點M(x,y)到直線l :x =4的距離是它到點 N(1,0)的距離的2倍。 (1)求動點M的軌 跡C的方程(2)過點P(0,3)的直線m與軌跡C交于

8、A,B兩點，若A是PB的中點，求直線 m的斜率已知三點0(0,0)，A(-2,1)，B(2,1)，曲線C上任意一點M(x,y)滿足|MA MB| = OM (OA OB) 2。(1)求曲線C的方程；)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的點均在C2： (x-5) 2 + y2=9夕卜，且對 G上任意一點M , M到直線x= - 2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值(I)求曲線C1的方程；(湖北)設(shè)A是單位圓x2+y2=1上的任意一點，i是過點A與x軸垂直的直線，D是直線i與x軸的交點，點M在直線I上，且滿足丨DM| =m| DA|( m>0,且m 1)。當(dāng)點A在圓上運動時，記點 M的軌跡

9、為曲線 G(I )求曲線C的方程，判斷曲線 C為何種圓錐曲線，并求焦點坐標(biāo)；2 2常數(shù))，動圓點，C1與C0相(遼寧)如圖，橢圓C0 :牛=1(a b - 0 , a, b為 a bC1: x2 - y2二孑,b : t: a。點A, A分別為C0的左，右頂交于A, B, C, D四點。(i)求直線AA與直線 AB交點M的軌跡方程(四川)如圖，動點 M到兩定點A(_1,0)、B(2,0)構(gòu)成：MAB，且.MBA = 2. MAB，設(shè)動點M的軌跡為C。(I)求軌跡C的方程；(n)設(shè)直線-2x m與y軸交于點P ,與軌跡C相交于點Q、R，且| PQ | ：| PR |,求If巴的取值范圍。|PQ|

10、i.()已知橢圓的焦點是Fi、F2, P是橢圓上的一個動點，如果延長的軌跡是()2.( )設(shè)交點的軌跡方程為(2,B.橢圓 C.雙曲線的一支2 2Ai、A2是橢圓 =i的長軸兩個端點，942 2A x y 丿A.i94A.圓Pi、FiP到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么動點QD.拋物線P2是垂直于A1A2的弦的端點，則直線AiPi與A2P22丿xB.i942 2x yC.i942D.I92xi4C是直線I上的三點，且|AB|=|BC|=6,O O '切直線I于點A,又過B、C作O O '異于I P,求點P的軌跡方程二、填空題aai3.( ) ABC 中，A 為動點，B、C 為

11、定點，B(- ,0),C(,0)，且滿足條件 si nC si nB= si nA,則動點 A 的222軌跡方程為.4. ()高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距i0 m ,如果把兩旗桿底部的坐標(biāo)分別確定為A(-5, 0)、B(5, 0)，則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點的軌跡方程是 .三、解答題5. ()已知 A、B、的兩切線，設(shè)這兩切線交于點2 x6.()雙曲線一2a2與=i的實軸為AiA2,點P是雙曲線上的一個動點，引AiQ丄AiP, A2Q丄A2P, AiQ與bA2Q的交點為Q,求Q點的軌跡方程.228.()已知橢圓 % -y2 =i(a>b> 0),點P為其

12、上一點，F(xiàn)i、F2為橢圓的焦點，/ FiPF2的外角平分線為I, a b點F2關(guān)于I的對稱點為 Q, F2Q交I于點R.(1)當(dāng)P點在橢圓上運動時，求 R形成的軌跡方程;設(shè)點R形成的曲線為C,直線I : y=k(x+辺a)與曲線C相交于A、B兩點，當(dāng) AOB的面積取得最大值時，求、1解析： |PFi|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,. |PFi|+|PF2|=|PFi|+|PQ|=2a,即|FiQ|=2a,.動點 Q 到定點 Fi 的距離等于定長2a故動點Q的軌跡是圓2. 解析：設(shè)交點 P(x,y) ,Ai (-3,0),A2(3,0), Pi(xo,yo),P2(xo,yo) I,

13、 Ai、Pi、p 共線，0A2、P2、P 共線，x-x0 x 十 32 2 2 2 y y°y解得xo=9,y,代入得勺 如1,即 D 1x滄 x3x x949411、3.解析：由 sinC sinB=_!_sinA,得 c b= a,二應(yīng)為雙曲線一支,22且實軸長為-,故方程為216x216y2"3a2答案：16x216y2 廿a、a23a244.解析：設(shè)P(x,y),依題意有5一/5廠y23，化簡得P點軌跡方程為4x2+4y2 85x+100=0. (x-5)2 y2答案：4x2+4y2 85x+100=0三、5.解：設(shè)過B、C異于I的兩切線分別切O O'于D、

14、E兩點，兩切線交于點P.由切線的性質(zhì)知：|BA|=|BD|,|PD|=|PE|,|CA|=|CE 故 |PB|+|PC|=|BD|+|PD |+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18 >6=|BC|,故由橢圓定義知，點 P的軌跡是以B、C為兩焦點的橢圓，以I所在的直線為2 2x yx軸，以bc的中點為原點，建立坐標(biāo)系，可求得動點p的軌跡方程為=1(丫工0)81726. 解：設(shè) P(X0,y°) (xm 土 a),Q(x,y). A1( a,0),A2(a,0).yy。由條件丿x +a x0 +ayx a x°

15、ax°得:=x( x(=二 a)y0 =-a2而點 P(x0,y0)在雙曲線上， b2x。2 a2y02=a2b2.2 2222 x a 22 2即 b ( x ) a () =a by化簡得Q點的軌跡方程為：a2x2 b2y2=a4(xz± a).8.解：(1廠點F2關(guān)于l的對稱點為Q,連接PQ,/ F2PR=Z QPR, |F2R|=|QR|, |PQ|=|PF2|又因為I為/ F1PF2外角的平分線，故點 FP、Q在同一直線上，設(shè)存在R(x°,y0),Q(X1,y”,F1( C,0),F2(C,0).222|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF

16、2|=2a,則(x什c) +y1 =(2a).x0又*y。得 X1=2x° c,y1=2y0. (2x0)2+(2y0)2=(2a)2, x°2+y02=a2.故R的軌跡方程為：x2+y2=a2(yM 0)1 a2如右圖， Saob= |OA|2 |OB|2 sinAOB=sinAOB當(dāng)/ AOB=90。時，Saaob最大值為 丄a22此時弦心距|OC|= I辰k I .+k2在 Rt AOC 中，/ AOC=45專題一：求曲線的軌跡方程課前自主練習(xí)：1如圖1, .ABC中，已知B(-2,0) , C(2,0)，點A在x軸上方運動，且tanB - tan C =2，則頂點A

17、 的軌跡方程是_2.如圖2,若圓C :則G的軌跡方程是2 2(x 1) y =36上的動點M與點B(1,0)連線BM的垂直平分線交CM于點G ,22y =1上運動， AOP的平分線交AP于Q，則Q的軌跡方3. 如圖3,已知點A(3,0)，點P在圓x程是.4. 與雙曲線x2 -2y22有共同的漸近線，5. 如圖4,垂直于y軸的直線與y軸及拋物線y2=2(x-1)分別交于點A、P，點B在y軸上，且點A滿足| AB | =2 |OA |，則線段PB的中點Q的軌跡方程是 .且經(jīng)過點(2, -2)的雙曲線方程為幾種常見求軌跡方程的方法：1.直接法：由題設(shè)所給(或通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出)的動點所滿足

18、的幾何條件列出等式，再用 坐標(biāo)代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法.直接法求軌跡方程的一般步驟： 建系設(shè)點列式代換化簡檢驗；【例11 (1 )求和定圓x2 y2 =R2的圓周的距離等于 R的動點P的軌跡方程；(2)過點A(a,0)作圓O ： x2 y R2 (a R 0)的割線，求割線被圓 O截得弦的中點的軌跡.解: (1)設(shè)動點 P(x,y)，則有 |OP | =2R或 |OP | = 0 .即 x2 y4R2 或 x2 y0 .故所求動點P的軌跡方程為x2 y2 =4R2或x2 y2 = 0 .(2)設(shè)弦的中點為 M (x,y)，連結(jié) OM，則 OM AM . v kOM kAM

19、 - -1，-= -1，化簡得：(X _空)2 y2 = (-)2x x -a22其軌跡是以O(shè)A為直徑的圓在圓O內(nèi)的一段弧(不含端點)【例21已知直角坐標(biāo)平面上一點Q(2,0)和圓C : x2 y2 =1，動點M到圓C的切線長等于圓C的半徑與| MQ |的和.求動點 M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線. 解：如圖，設(shè) MN切圓C于N，又圓的半徑|ON|=1， |OM |2 = | NM |2 |ON |2 = |NM |2 1， |MN | |OM |2 -1，由已知 |MN | =| MQ | 1 .設(shè) M (x,y)， 則 x2 y2 -1 二(X -2)2 y2 1， 2x -3 = .

20、 (x -2)2，即 3x2y28x 5 = 0 (x 一彳).可化為 9(x 4)2 3y2 = 1 (x _).23245故所求的軌跡是以點(，0)為中心，實軸在 x軸上的雙曲線的右支，頂點為(，0)，如圖.33【例4】已知定圓 A的半徑為r，定點B與圓A的圓心A的距離為m (m 2r).又一動圓P過定點B，即為所求軌跡方程它是一條拋物線.4 .待定系數(shù)法：當(dāng)動點的軌跡是確定的某種曲線時，設(shè)出這種曲線的方程，然后列方程，求出所設(shè)的 參數(shù)，進而求出方程如求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求.【例7】若拋物線y2 =4x和以坐標(biāo)軸為對稱軸、實軸在 y軸上的雙曲線僅有兩個公共點，又

21、直線 y =2x 被雙曲線截得的線段長等于 2.5，求此雙曲線方程.且與定圓A相切求動圓圓心 P的軌跡方程. 解：以AB所在的直線為x軸， 當(dāng)動圓P與定圓A外切時， 由雙曲線的定義知動圓圓心 支).顯然，c = m，又a22 2mr故 b = c a :4以AB的中點為原點建立坐標(biāo)系，如圖.|PA| _|PB| = r ;當(dāng)動圓P與定圓A外切時，|PB|_|PA| =r .P的軌跡應(yīng)是以 A、B為兩焦點的雙曲線(外切時為右支，內(nèi)切時為左 r2，所以所求的點P軌跡方程是:2x2 2 2r m - rT 42y =1.3 動點轉(zhuǎn)移法:若動點P(x,y)隨已知曲線上的點 Q(x0,y0)的變動而變動

22、，且Xq、y0可用x、y表示,則將Q點坐標(biāo)表達(dá)式代入已知曲線方程，即得點 P的軌跡方程.這種方法稱為動點轉(zhuǎn)移法(或代換法或相關(guān)點法)A(3,1)、B為拋物線y2 =x上任意一點，點 P在線段AB的中點，當(dāng)B點在拋物 線上變動時，求點解：設(shè)點P(x, y)，且設(shè)點【例5】已知定點P的軌跡方程.B(Xq, yo)，則有 乂二 Xq1 點P是線段AB的中點由中點坐標(biāo)公式得:Xq+3x ='yo2+1，y =/ 2Xoyo：23將此式代入-xo，1 中，并整理得：(2y-1)2=2x-2 ,2 2解：設(shè)所求雙曲線方程為芯-二=1，將y2=4x代入整理得：a2x24b2xa2b2=o .a b拋

23、物線和雙曲線僅有兩個公共點，根據(jù)它們的對稱性，這兩個點的橫坐標(biāo)應(yīng)相等，因此方程 a2x24b2x a2b2應(yīng)有等根= 16b44a3b2 = o , 即卩 a2 = 2b 2務(wù)=1 得：(4b2 -a2)x2 -a2b2 =0 . b2由y =2x和篤a由弦長公式得:2 石 a2= 2b_ a .由 2以 2a b 4b5.參數(shù)法：當(dāng)動點P的坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系不易建立時，可適當(dāng)?shù)剡x取中間變量即 a2b2 =4b22得：a2 =2, b1 雙曲線的方程是 -ay22 11 2t,并用t表示動點P的坐標(biāo)x、y，從而動點軌跡的參數(shù)方程的軌跡的普通方程，但要注意方程的等價性，即有:幣)消去參數(shù)t

24、，便可得到動點P的 t的范圍確定出x、y的范圍.【例8】拋物線x2 =4y的焦點為F ,過點(0, -1)作直線交拋物線于不同兩點A、B，以AF、BF為鄰邊作平行四邊形FARB，求頂點R的軌跡方程.解：設(shè) R(x, y), AB : y 1 = kx , AB 中點為 M (怡，y0) , A(%, y1),x2 -4kx 4=0 .' =16(k2 -1) 0 , x1 x 4k , x x2 = 4 .2 2y1 y2 2 = k(X1 X2) = 4k , y14k -2 .M(2k,2k2 -1) , F(0,1) , M 為 AB 中點， x = 4k , y = 4k2 -

25、3 .消 k 得：x2 = 4(y 3)( y 1).鞏固練習(xí)：1.平面上和兩相交的定圓(半徑不等)同時相外切的動圓圓心的軌為()(A )橢圓的一部分(B)橢圓(C)雙曲線的一部分(D)雙曲線2已知動點M與定點F(2,0)的距離比動點 M到y(tǒng)軸的距離大2，則動點M的軌跡()(A)拋物線(B)拋物線的一部分(C)拋物線和一射線(D)拋物線和一直線3. 已知定直線l和I外一點A，過A與I相切的圓的圓心軌跡是()(A)拋物線(B)雙曲線(C)橢圓(D)直線4. 一動圓與兩圓x2 y2 =1和x2 y2 - 8x *12 = 0都外切，則動圓圓心軌跡為()(A )圓(B)橢圓(C)雙曲線的一支(D)拋

26、物線5已知橢圓的焦點是 F1、F2、P是橢圓上的一個動點如果延長F1P到Q ,使得| PQ H I PF21，那么動點Q的軌跡是()6.7.(A )圓已知點A(-2,0)、(A )圓2 28.9.(B)橢圓B(3,0)，動點(B)橢圓與圓x - y -4x=0外切，又與(A) y = 8x(C) y =8x(x 0)2過拋物線y =2x的焦點作直線與此拋物線相交于兩點2 2(a ) y =2x -1(B) y = -2x 1(C)雙曲線的一支(D)拋物線IP(x, y)滿足PA，PB = x2，則點P的軌跡是()(C)雙曲線(D)拋物線y軸相切的圓的圓心的軌跡方程是(2(B) y =8x (x

27、 0)和 y = 02(D) y =8x (x 0)和 y =0 ( x ： 0)P、Q ,則線段2PQ中點的軌跡方程為(2(D) y = -2x 2(C) y =2x-2過點P(x,y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于 A、B兩點，點Q與點P關(guān)于y軸對稱, O為坐標(biāo)原點，若(A) 3x23y22(C) 3x2 -3y22BP =2PA，且 OQ AB =1，則點=1 (x 0, y 0)=1 (x 0, y 0)10已知兩點 M (-2,0)、N(2,0)點P(x, y)的軌跡方程為(a ) y2 =8x2 2(B)(D)P的軌跡方程是(23 23x y23 22x 3y2=1 (