(精華講義)數(shù)學(xué)人教版高二-選修2-1導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用Word版

1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用復(fù)習(xí)講義1、 知識復(fù)習(xí)：1. 導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)是函數(shù)定義域的一點，如果自變量在處有增量，則函數(shù)值也引起相應(yīng)的增量；比值稱為函數(shù)在點到之間的平均變化率；如果極限存在，則稱函數(shù)在點處可導(dǎo)，并把這個極限叫做在處的導(dǎo)數(shù)。在點處的導(dǎo)數(shù)記作2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：（求函數(shù)在某點處的切線方程）函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線在點處的切線的斜率，也就是說，曲線在點P處的切線的斜率是，切線方程為3基本常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù): （C為常數(shù)） ; ; ; ; .二、導(dǎo)數(shù)的運算1.導(dǎo)數(shù)的四則運算：法則1：兩個函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，即： 法則2：兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)

2、數(shù)乘以第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (為常數(shù))法則3：兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方：。2.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形如的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。法則： .三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（1）設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間可導(dǎo)，如果，則在此區(qū)間上為增函數(shù)；如果，則在此區(qū)間上為減函數(shù)。（2）如果在某區(qū)間內(nèi)恒有，則為常函數(shù)。2函數(shù)的極點與極值：當(dāng)函數(shù)在點處連續(xù)時，如果在附近的左側(cè)0，右側(cè)0，那么是極大值；如果在附近的左側(cè)0，右側(cè)0，那么是極小值.3函數(shù)的最值：一般地，在區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在上必有最大

3、值與最小值。函數(shù)求函數(shù)的一般步驟：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)解出方程的跟在區(qū)間列出的表格，求出極值及的值;比較端點及極值點處的函數(shù)值的大小，從而得出函數(shù)的最值4相關(guān)結(jié)論總結(jié)：可導(dǎo)的奇函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).可導(dǎo)的偶函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).5.定積分（1）概念設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點ax0<x1<<xi1<xi<xnb把區(qū)間a，b等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間xi1，xi上取任一點i（i1，2，n）作和式In(i)x（其中x為小區(qū)間長度），把n即x0時，和式In的極限叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作：，即(i)x。這里，a與b分別叫做積分下

4、限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式基本的積分公式：C；C（mQ， m1）；dxlnC；C；C；sinxC；cosxC（表中C均為常數(shù)）（2）定積分的性質(zhì)（k為常數(shù)）；（其中acb。（3）定積分求曲邊梯形面積由三條直線xa，xb（a<b），x軸及一條曲線yf（x）(f(x)0)圍成的曲邊梯的面積。如果圖形由曲線y1f1(x)，y2f2(x)（不妨設(shè)f1(x)f2(x)0），及直線xa，xb（a<b）圍成，那么所求圖形的面積SS曲邊梯形AMNBS曲邊梯形DMNC。四【典例解析】題型1：導(dǎo)數(shù)的概念例1已知s=，（1）計算

5、t從3秒到3.1秒 、3.001秒 、 3.0001秒.各段內(nèi)平均速度；（2）求t=3秒是瞬時速度解析：（1）指時間改變量；指時間改變量。其余各段時間內(nèi)的平均速度，事先刻在光盤上，待學(xué)生回答完第一時間內(nèi)的平均速度后，即用多媒體出示，讓學(xué)生思考在各段時間內(nèi)的平均速度的變化情況。（2）從（1）可見某段時間內(nèi)的平均速度隨變化而變化，越小，越接近于一個定值，由極限定義可知，這個值就是時，的極限，V=（6+=3g=29.4(米/秒)。例2求函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)。解析：，= 。點評：掌握切的斜率、 瞬時速度，它門都是一種特殊的極限，為學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的定義奠定基礎(chǔ)。題型2：導(dǎo)數(shù)的基本運算例3（1）求的導(dǎo)數(shù)；（2）求的導(dǎo)

6、數(shù)；（3）求的導(dǎo)數(shù)；（4）求y=的導(dǎo)數(shù)；（5）求y的導(dǎo)數(shù)解析：（1）,（2）先化簡,（3）先使用三角公式進行化簡.（4）y=；（5）yxy*（x）x）*（）。點評：（1）求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；（2）有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式，但在求導(dǎo)前利用代數(shù)或三角恒等變形將函數(shù)先化簡，然后進行求導(dǎo)有時可以避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運算量例4寫出由下列函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)： （1）y=cosu,u=1+ （2）y=lnu, u=lnx解析：（1）y=cos(1+)；（2）y=ln(lnx)。點評：通過對y=（3x 2

7、展開求導(dǎo)及按復(fù)合關(guān)系求導(dǎo)，直觀的得到=.給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，題型3：導(dǎo)數(shù)的幾何意義例5（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )A. B.(0,3) C.(1,4) D. 答案 D解析 ,令,解得,故選D（2）已知函數(shù)在R上滿足，則曲線在點處的切線方程是 ( )A. B. C. D. 答案 A解析 由得幾何，即，切線方程，即選A點評：導(dǎo)數(shù)值對應(yīng)函數(shù)在該點處的切線斜率。例6若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是( )yababaoxoxybaoxyoxybA B C D解析 因為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，即在區(qū)間上各點處的斜率是遞增的，由圖易知選A. 注意C中為常數(shù)噢.（2）曲

8、線和在它們交點處的兩條切線與軸所圍成的三角形面積是 。解析：（2）曲線和在它們的交點坐標是(1，1)，兩條切線方程分別是y=x+2和y=2x1，它們與軸所圍成的三角形的面積是。點評：導(dǎo)數(shù)的運算可以和幾何圖形的切線、面積了解在一起，對于較復(fù)雜問題有很好的效果。題型4：借助導(dǎo)數(shù)處理單調(diào)性、極值和最值例7（1）對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f（x），若滿足（x1）³0，則必有（ ）Af（0）f（2）<2f（1） B. f（0）f（2）£2f（1）Cf（0）f（2）³2f（1） D. f（0）f（2）>2f（1）（2）函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則

9、函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點（ ）A1個 B2個 C3個 D 4個（3）已知函數(shù),其中 （1）當(dāng)滿足什么條件時,取得極值?（2）已知,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,試用表示出的取值范圍.解: (1)由已知得,令,得,要取得極值,方程必須有解,所以,即, 此時方程的根為,所以 當(dāng)時,x( ,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)00f (x)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)所以在x 1, x2處分別取得極大值和極小值.當(dāng)時, x( ,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)00f (x)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)所以在x 1, x2處分別取得極大值和極小值.綜上,當(dāng)滿足時, 取得極值.

10、 (2)要使在區(qū)間上單調(diào)遞增,需使在上恒成立.即恒成立, 所以設(shè),令得或(舍去), 當(dāng)時,當(dāng)時,單調(diào)增函數(shù);當(dāng)時,單調(diào)減函數(shù),所以當(dāng)時,取得最大,最大值為.所以當(dāng)時,此時在區(qū)間恒成立,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,當(dāng)時最大,最大值為,所以綜上,當(dāng)時, ; 當(dāng)時, 【命題立意】:本題為三次函數(shù),利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的極值、單調(diào)性和函數(shù)的最值,函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù),則導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上的符號確定,從而轉(zhuǎn)為不等式恒成立,再轉(zhuǎn)為函數(shù)研究最值.運用函數(shù)與方程的思想,化歸思想和分類討論的思想解答問題.例8（1）若曲線存在垂直于軸的切線，則實數(shù)的取值范圍是 .解析 解析 由題意該函數(shù)的定義域，由。因為存在垂直于軸

11、的切線，故此時斜率為，問題轉(zhuǎn)化為范圍內(nèi)導(dǎo)函數(shù)存在零點解法1 （圖像法）再將之轉(zhuǎn)化為與存在交點。當(dāng)不符合題意，當(dāng)時，如圖1，數(shù)形結(jié)合可得顯然沒有交點，當(dāng)如圖2，此時正好有一個交點，故有應(yīng)填或是。解法2 （分離變量法）上述也可等價于方程在內(nèi)有解，顯然可得（2）函數(shù)的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為A. B. 1 C. 2 D. 根據(jù)定積分的幾何意義結(jié)合圖形可得所求的封閉圖形的面積：，故選A.點評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識，以及運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力題型5：導(dǎo)數(shù)綜合題例91、已知二次函數(shù)，若不等式的解集為C.（1）求集合C；（2）若方程在C上有解，求實數(shù)的取

12、值范圍；（3）記在C上的值域為A，若的值域為B，且，求實數(shù)的取值范圍 解（1） 當(dāng)時， 當(dāng)時， 所以集合 （2） ，令則方程為 當(dāng)時， 在上有解，則 當(dāng)時， 在上有解，則 所以，當(dāng)或時，方程在C上有解，且有唯一解。 （3） 當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以函數(shù)的值域， ， ，解得，即 當(dāng)時，任取，10 若， ，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，：又，所以。 20 若，若則須，.于是當(dāng)時，,； 當(dāng)時，,因此函數(shù)在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減. 在達到最小值要使，則，因為，所以使得的無解。 綜上所述：的取值范圍是：點評：該題是導(dǎo)數(shù)與平面向量結(jié)合的綜合題。例103、已知函數(shù)上為增函數(shù). （1）求k的取值范圍； （2）若函數(shù)的圖

13、象有三個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍.解：（1）由題意因為上為增函數(shù)所以上恒成立，即所以當(dāng)k=1時，恒大于0，故上單增，符合題意.所以k的取值范圍為k1.（2）設(shè)令由（1）知k1，當(dāng)k=1時，在R上遞增，顯然不合題意當(dāng)k<1時，的變化情況如下表：xk(k,1)1(1,+)+00+極大極小11分由于圖象有三個不同的交點，即方程也即有三個不同的實根故需即所以解得綜上，所求k的范圍為.點評：該題是數(shù)列知識和導(dǎo)數(shù)結(jié)合到一塊。題型6：導(dǎo)數(shù)實際應(yīng)用題例11請您設(shè)計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當(dāng)帳篷的頂點O到底面中心的距離為多少時

14、，帳篷的體積最大？本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識，以及運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。解析：設(shè)OO1為x m,則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為（單位：m）。于是底面正六邊形的面積為（單位：m2）：。帳篷的體積為（單位：m3）：求導(dǎo)數(shù)，得；令解得x= 2(不合題意，舍去),x=2。當(dāng)1<x<2時，,V(x)為增函數(shù)；當(dāng)2<x<4時，,V(x)為減函數(shù)所以當(dāng)x=2時,V(x)最大。答：當(dāng)OO1為2m時，帳篷的體積最大點評：結(jié)合空間幾何體的體積求最值，理解導(dǎo)數(shù)的工具作用。例12已知某質(zhì)點的運動方程為下圖是其運動軌跡的一部分，若時，恒成立，求d的取值范圍

15、.解： 由圖象可知，處取得極值 則 即 點評：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識，以及不等式的證明，同時考查邏輯推理能力題型7：定積分例13計算下列定積分的值（1）；（2）；（3）；（4）；解析：（1）（2）因為，所以；（3）（4）例14（1）一物體按規(guī)律xbt3作直線運動，式中x為時間t內(nèi)通過的距離，媒質(zhì)的阻力正比于速度的平方試求物體由x0運動到xa時，阻力所作的功。（2）拋物線y=ax2bx在第一象限內(nèi)與直線xy=4相切此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S求使S達到最大值的a、b值，并求Smax解析：（1）物體的速度。媒質(zhì)阻力，其中k為比例常數(shù)，k>0。當(dāng)x=0時，t=0；當(dāng)x=a時，又ds=vdt，故阻力所作的功為：（2）依題設(shè)可知拋物線為凸形，它與x軸的交點的橫坐標分別為x1=0，x2=b/a，所以(1)又直線xy=4與