著名不等式薈萃

1、著名不等式薈萃在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，不等式知識(shí)占有廣闊的天地，而一個(gè)個(gè)的重要不等式又把這片天地裝點(diǎn)得更加豐富多彩。下面擇要介紹一些著名的不等式。一、平均不等式（均值不等式）設(shè)a1，a2，an是 n個(gè)實(shí)數(shù)，A叫做這n個(gè)實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。當(dāng)這 n個(gè)實(shí)數(shù)非負(fù)時(shí)，G叫做這 n個(gè)非負(fù)數(shù)的幾何平均數(shù)。當(dāng)這 n個(gè)實(shí)數(shù)均為正數(shù)時(shí)，H叫做這 n個(gè)正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)。設(shè)a1，a2，an為 n個(gè)正數(shù)時(shí)，對(duì)如下的平均不等式：HGA當(dāng)且僅當(dāng) a1a2an時(shí)等號(hào)成立。平均不等式AG是一個(gè)重要的不等式，它的應(yīng)用非常廣泛，如求某些函數(shù)的最大值和最小值即是其應(yīng)用之一。設(shè)x1，x2，xn是 n個(gè)正的變數(shù)，則(1)當(dāng)積 x1x2xnP是定值

2、時(shí)，和x1x2xn有最小值，且(x1x2xn)minnn(2)當(dāng)和 x1x2xnS是定值時(shí)，積 x1x2xn有最大值，且(x1x2xn)max()n()n兩者都是當(dāng)且僅當(dāng) n個(gè)變數(shù)彼此相等時(shí)，即 x1x2xn時(shí)，才能取得最大值或最小值。在 AG中，當(dāng)n2，3時(shí)，分別有，平均不等式 AG經(jīng)常用到的幾個(gè)特例是： (a1a2an) ()n2當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí)等號(hào)成立；a12，當(dāng)且僅當(dāng)a11時(shí)等號(hào)成立。二、柯西不等式（柯西許瓦茲不等式或柯西布尼雅可夫斯基不等式）對(duì)任意兩組實(shí)數(shù)a1，a2，an；b1，b2，bn，有(a1b1a2b2anbn)(a12a22an2) (b12b22bn2)其中等號(hào)當(dāng)且

3、僅當(dāng)時(shí)成立?？挛鞑坏仁降膸讉€(gè)特例(以下a1，a2，an；b1，b2，bn均為實(shí)數(shù))是：(1) a12a22an21，b12b22bn21，則a1b1a2b2anbn1(2) a1a2a2a3a3a1a12a22a32(3) (a1a2an)2n(a12a22an2)柯西不等式是又一個(gè)重要不等式，有許多應(yīng)用和推廣。三、閔可夫斯基不等式設(shè) a1，a2，an；b1，b2，bn是兩組正數(shù)，k0，k1，則(1) k1時(shí)，(2) 0k1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立。閔可夫斯基不等式是用某種長(zhǎng)度度量下的三角形不等式，當(dāng)k2，n2時(shí)得平面上的三角形不等式：右圖給出了對(duì)上式的一個(gè)直觀理解。若記(a1，a2)，(b1

4、，b2)，則上式為|四、貝努利不等式(1)設(shè)xi1，i1，2，n，n 2且同號(hào)，則(1x1)(1x2)(1xn)1x1x2xn不等式(1)的一個(gè)重要特例是：(1x)n1nx，x1，x0，nN，n2(2)設(shè)x1，則(i) 當(dāng)01時(shí)，有(1x)1x；(ii) 當(dāng)1或0時(shí)，有 (1x)1x。上兩式當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)等號(hào)成立。五、赫爾德不等式已知aibi(1in)是2n個(gè)正實(shí)數(shù)，p0，q0，pq1，則a1pb1qa2pb2qanpbnq(a1a2an) p(b1b2bn)q上式中若令pq，xi2ai，yi2bi，即為柯西不等式。六、契比雪夫不等式(1)若 a1a2an；b1b2bn，則(a1b1a2b2a

5、nbn)；(2)若 a1a2an；b1b2bn，則(a1b1a2b2anbn)；下面給出一個(gè)n2時(shí)的契比雪夫不等式的直觀理解。如圖，矩形OPAQ中， a1a2， b1b2，顯然陰影部分的矩形的面積之和不小于空白部分的矩形的面積之和，（這可沿圖中線段MN向上翻折比較即知）。于是有(a1a2) (b1b2)2(a1b1a2b2)，也即(a1b1a2b2)七、排序不等式設(shè)有兩組數(shù)a1，a2，an；b1，b2，bn滿足a1a2an；b1b2bn，則有a1bna2bn1anb1a1bk1a2b k2anbkna1b1a2b2anbn，式中的 k1， k2，kn是1，2，n的任意一個(gè)排列，式中的等號(hào)當(dāng)且僅

6、當(dāng) a1a2an或 b1b2bn時(shí)成立。以上排序不等式也可簡(jiǎn)記為：反序和亂序和同序和。這個(gè)不等式在不等式證明中占有重要地位，它使不少困難問(wèn)題迎刃而解。八、含有絕對(duì)值的不等式a，b為復(fù)數(shù)，則|a|b|ab|a|b|左邊的等號(hào)僅當(dāng) a，b的幅角差為時(shí)成立，右邊的等號(hào)僅當(dāng) a，b的幅角相等時(shí)成立，這個(gè)不等式也稱為三角形不等式，其一般形式是|a1a2an|a1| a2|an|絕對(duì)值不等式在實(shí)數(shù)的條件下用得較多。九、琴生不等式設(shè)f(x)是(a，b)內(nèi)的凸函數(shù)，則對(duì)于(a，b)內(nèi)任意的幾個(gè)實(shí)數(shù)x1，x2，xn有f()f(x1)f(x2)f(xn)等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x1x2xn時(shí)取得。琴生不等式是丹麥數(shù)學(xué)家琴生于1905年到1906年間建立的。利用琴生不等式我們可以得到一系列不等式，比如“冪平均不等式”，“加權(quán)的琴生不等式”等等。十、艾爾多斯莫迪爾不等式設(shè)P為ABC內(nèi)部或邊界上一點(diǎn)，P到三邊距離分別為PD，PE，PF，則PAPBPC2(PDPEPF)當(dāng)且僅當(dāng) ABC為正三角形，且P為三