高考題選編---數(shù)列與不等式

1、高考題選編-數(shù)列與不等式一選擇題1（北京卷）如果-1，a,b,c,-9成等比數(shù)列，那么（A）b=3,ac=9 (B)b=-3,ac=9 (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得ac（1）（9）9，bb9且b與奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，故b3，選B2（湖北卷）在等比數(shù)列an中，a11，a103，則a2a3a4a5a6a7a8a9=A. 81 B. 27 C. D. 243解：因?yàn)閿?shù)列an是等比數(shù)列，且a11，a103，所以a2a3a4a5a6a7a8a9（a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6）（a1a10）43481，故選A3（江西卷）在各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列

2、中，若，則 解：設(shè)公差為d，則an1and，an1and，由可得2an0，解得an2（零解舍去），故2（2n1）4n2，故選A4（遼寧卷） 在等比數(shù)列中,前項(xiàng)和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列,則等于(A) (B) (C) (D)解：因數(shù)列為等比，則，因數(shù)列也是等比數(shù)列，則即，所以，故選擇答案C。5設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若，則（A） （B） （C） （D）解:由等差數(shù)列的求和公式可得且,故選A6（天津卷）已知數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為、，且，設(shè)（），則數(shù)列的前10項(xiàng)和等于A55 B70 C85 D100解：數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為、，且，設(shè)（），則數(shù)列的前10

3、項(xiàng)和等于=， =，選C.7（江蘇卷）設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不恒成立的是（A） （B）（C） （D）解：運(yùn)用排除法，C選項(xiàng)，當(dāng)a-b0時(shí)不成立。8(陜西卷)已知不等式(x+y)( + )9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值為A.2 B.4 C.6 D.8解：不等式(x+y)()9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則9，2或4(舍去)，所以正實(shí)數(shù)a的最小值為4，選B9(陜西卷)已知函數(shù)f(x)=ax2+2ax+4(0a3),若x1x2,x1+x2=1a,則A.f(x1)f(x2) D.f(x1)與f(x2)的大小不能確定解：函數(shù)f(x)=ax2+2ax+4(0a3)，二次函數(shù)

4、的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，0a3， x1+x2=1a(2，1)，x1與x2的中點(diǎn)在(1，)之間，x1x2， x2到對(duì)稱(chēng)軸的距離大于x1到對(duì)稱(chēng)軸的距離， f(x1)0，b0）的值是最大值為12，則的最小值為 A. B. C. D. 4解:不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當(dāng)直線ax+by= z（a0，b0）,過(guò)直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(diǎn)（4,6）時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a0，b0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故選A.22.（2009重慶卷文）已知，則的最小值是A2 B C4 D5解:因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，取“=”號(hào)。 . 23.(20

5、09湖南卷理)已知D是由不等式組，所確定的平面區(qū)域，則圓在區(qū)域D內(nèi)的弧長(zhǎng)為 A B C D解:如圖示，圖中陰影部分所在圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)即為所求，易知圖中兩直線的斜率分別是，所以圓心角即為兩直線的所成夾角，所以，所以，而圓的半徑是2，所以弧長(zhǎng)是，故選B。24.（2009天津卷理）設(shè)若的最小值為 A 8 B 4 C 1 D 解:因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“=”成立，故選擇C.25.（2009天津卷理）,若關(guān)于x 的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，則（A） （B） （C） （D）解:由題得不等式即，它的解應(yīng)在兩根之間，故有，不等式的解集為或。若不等式的解集為，又由得，故，即. . 26.（2009重慶卷理

6、）不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A B. C D解:因?yàn)閷?duì)任意x恒成立，所以.27.（2010遼寧理數(shù)）（6）設(shè)an是有正數(shù)組成的等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和。已知a2a4=1, ,則（A） (B) (C) (D) 解：由a2a4=1可得，因此，又因?yàn)?，?lián)力兩式有，所以q=,所以，故選B。28.（2010江西理數(shù)）5. 等比數(shù)列中，=4，函數(shù)，則（ ）A B. C. D. 解：考慮到求導(dǎo)中，含有x項(xiàng)均取0，則只與函數(shù)的一次項(xiàng)有關(guān)；得：。29.（2010四川理數(shù)）（8）已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)的和為，且，則（A）0 （B） （C） 1 （D）2解：由,且,作差得an22an1,又S22S1a

7、1，即a2a12a1a1 a22a1.故an是公比為2的等比數(shù)列,Sna12a122a12n1a1(2n1)a1則30.（2010天津理數(shù)）（6）已知是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，且，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為（A）或5 （B）或5 （C） （D）解：顯然q1，所以，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列， 前5項(xiàng)和.31.（2010廣東理數(shù)）4. 已知為等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和。若， 且與2的等差中項(xiàng)為，則=A35 B.33 C.31 D.29解：設(shè)的公比為，則由等比數(shù)列的性質(zhì)知，即。由與2的等差中項(xiàng)為知，即 ，即，即32.（2010福建理數(shù)）3設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則當(dāng)取最小值時(shí),n等于

8、A6 B7 C8 D9解：設(shè)該數(shù)列的公差為，則，解得，所以，所以當(dāng)時(shí)，取最小值。33.（2010浙江理數(shù)）（7）若實(shí)數(shù)，滿足不等式組且的最大值為9，則實(shí)數(shù)（A） （B） （C）1 （D）2解：將最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距，將m等價(jià)為斜率的倒數(shù)，數(shù)形結(jié)合可知答案選C.34.（2010四川理數(shù)）（12）設(shè)，則的最小值是（A）2 （B）4 （C） （D）5解： 0224,當(dāng)且僅當(dāng)a5c0,ab1,a(ab)1時(shí)等號(hào)成立. 如取a,b,c滿足條件.35.（2010全國(guó)卷1文數(shù)）（10）設(shè)則（A） （B） (C) (D) 解： a=2=, b=In2=,而,所以ab,c=,而,所以ca, 綜上cab.解析

9、二: a=2=,b=ln2=, ,，c=，ca1的等比數(shù)列，若和是方程的兩根，則 .解：和是方程的兩根，故有：或（舍）。7. （山東文14）函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，則的最小值為 .解:函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)， .或8.（山東文15）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是 .解：構(gòu)造函數(shù)：。由于當(dāng)時(shí)，不等式恒成立。則，即。解得：。9.（山東理16）函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn),若點(diǎn)在直線上,其中,則的最小值為 .解：函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，10.（2009全國(guó)卷理） 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若,則= .解: 是等差數(shù)列,由,得. 11.（2009浙江文）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，成等差數(shù)列類(lèi)比以上結(jié)論有：設(shè)等

10、比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則， ，成等比數(shù)列解:對(duì)于等比數(shù)列，通過(guò)類(lèi)比，有等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則，成等比數(shù)列12.（2009北京理）已知數(shù)列滿足：則 ；= .解:依題意，得，.應(yīng)填1，0.13.（2009江蘇卷）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，令，若數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，則= . 解:有連續(xù)四項(xiàng)在集合，四項(xiàng)成等比數(shù)列，公比為，= -9.14. (2009湖北卷理)已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），若，則m所有可能的取值為 . 解:（1）若為偶數(shù)，則為偶, 故 當(dāng)仍為偶數(shù)時(shí)， 故 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，,故得m=4。（2）若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，故必為偶數(shù)，所以=1可得m=5.15.（2009遼寧卷理）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且則

11、.解:Snna1n(n1)d,S55a110d,S33a13d,6S55S330a160d(15a115d)15a145d15(a13d)15a4,答案16. （2009寧夏海南理）等差數(shù)列前n項(xiàng)和為。已知+-=0，=38,則m= .解:由+-=0得到。17.（2009寧夏海南卷文）等比數(shù)列的公比, 已知=1，則的前4項(xiàng)和= . 解:由得：，即，解得：q2，又=1，所以，。18.（2009重慶卷理）設(shè)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式= . . 解:由條件得且所以數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，則19. (2009山東卷理)不等式的解集為 . 解:原不等式等價(jià)于不等式組或或,不等式組無(wú)解,由得,由得,綜上

12、得,所以原不等式的解集為. 20. (2009山東卷文)某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A,B兩類(lèi)產(chǎn)品,甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類(lèi)產(chǎn)品5件和B類(lèi)產(chǎn)品10件,乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類(lèi)產(chǎn)品6件和B類(lèi)產(chǎn)品20件.已知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)為200元,設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為300元,現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)A類(lèi)產(chǎn)品50件,B類(lèi)產(chǎn)品140件,所需租賃費(fèi)最少為 .元. . 解:設(shè)甲種設(shè)備需要生產(chǎn)天, 乙種設(shè)備需要生產(chǎn)天, 該公司所需租賃費(fèi)為元,則，甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A,B兩類(lèi)產(chǎn)品的情況為下表所示: 則滿足的關(guān)系為 即:, 作出不等式表示的平面區(qū)域, 當(dāng),對(duì)應(yīng)的直線過(guò)兩直線的交點(diǎn)(4,5)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最低為2300元. .

13、21.（2010陜西文數(shù)）11. 觀察下列等式：1323（12）2，132333（123）2，13233343（1234）2，根據(jù)上述規(guī)律，第四個(gè)等式為 .解：第i個(gè)等式左邊為1到i+1的立方和，右邊為1到i+1和的完全平方所以第四個(gè)等式為1323334353（12345）2（或152）.22.（2010遼寧理數(shù)）（16）已知數(shù)列滿足則的最小值為 .解：an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=21+2+(n-1)+33=33+n2-n,所以設(shè)，令，則在上是單調(diào)遞增，在上是遞減的，因?yàn)閚N+,所以當(dāng)n=5或6時(shí)有最小值。又因?yàn)椋淖钚≈禐?3.（2010江蘇卷）8

14、. 函數(shù)y=x2(x0)的圖像在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+1,k為正整數(shù)，a1=16，則a1+a3+a5= .解: 在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線方程為：當(dāng)時(shí)，解得，所以。24.（2010遼寧理數(shù)）（14）已知且，則的取值范圍是 .解：畫(huà)出不等式組表示的可行域，在可行域內(nèi)平移直線z=2x-3y，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)x-y=2與x+y=4的交點(diǎn)A（3，1）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有最小值z(mì)=23-31=3；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)x+y=-1與x-y=3的交點(diǎn)A（1，-2）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有最大值z(mì)=21+32=8.25.（2010安徽文數(shù)）(15)若，則下列不等式對(duì)一切滿足條件的恒成立的是 . (寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào))； ； ； ； 解：令，排除；由，命題正確；，正確；，命題正確。填，.26.（2010安徽理數(shù)）13. 設(shè)滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為8，則的最小值為 .解：不等式表示的區(qū)域是一個(gè)四邊形，4個(gè)頂點(diǎn)是，易見(jiàn)目標(biāo)函數(shù)在取最大值8，所以，所以，在時(shí)是等號(hào)成立。所以的最小值為4.27.（2010湖北理數(shù)）15.設(shè)a0,b0,稱(chēng)為a，b的調(diào)和平均數(shù)。如圖，C為線段AB上的點(diǎn)，且AC=a，CB=b，O為AB中點(diǎn)，以AB