【W(wǎng)ORD格式論文原稿】泊松過程在保險(xiǎn)收益問題中的應(yīng)用

1、免費(fèi)查閱標(biāo)準(zhǔn)與論文：泊松過程在保險(xiǎn)收益問題中的應(yīng)用李冰玉，包研科（遼寧工程技術(shù)大學(xué)理學(xué)院，遼寧阜新 123000）摘要：眾所周知，保險(xiǎn)業(yè)在我國(guó)還處于發(fā)展階段，各種體系還不是很完善。同時(shí)，我們應(yīng)該意識(shí)到保險(xiǎn)業(yè)的發(fā)展趨勢(shì)，它將成為人民生活的重要保障。養(yǎng)老保險(xiǎn)又是保險(xiǎn)業(yè)的重要組成 部分，與人們的生活有著密切的聯(lián)系。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題的研究對(duì)象是服從泊松過程的問題。針 對(duì)這一問題給出了檢驗(yàn)泊松過程的方法，通過對(duì)歷史數(shù)據(jù)的分析可以檢驗(yàn)一個(gè)問題是否是泊 松過程的。對(duì)于服從泊松過程的問題中養(yǎng)老保險(xiǎn)這一熱點(diǎn)問題進(jìn)行討論，討論保險(xiǎn)公司在養(yǎng) 老保險(xiǎn)中的收益問題。通過對(duì)復(fù)合泊松過程可加性的討論，得出了保險(xiǎn)收益問題的求法。

2、 關(guān)鍵詞： 泊松過程；養(yǎng)老保險(xiǎn)；可加性；保險(xiǎn)收益中圖分類號(hào)：OApplication of Poisson Process in Insurance EarningsLI Bingyu, BAO Yanke(Liaoning Technical University, College of Science ,Fuxin, Liaoning123000)Abstract: As we all know, the insurance industry in China is still in development stage, a variety of system is not perfect

3、. At the same time, we should be aware of the insurance industry trends, it willbecome an important guarantee of people's lives. Pension is an important part of the insurance industry,and people's lives are closely linked with it. Pension issues is poisson process problem. To solve this prob

4、lem, it gives a way to test poisson process, the analysis of historical data one can test whether the problem is the poisson process.To discuss poisson process of pension issue, this hot topic, it discusses the insurance company's earnings in the pension issue. Through the discussion of compound

5、 poisson process additive property, the solution of insurable interest problem is obtained.Key words: poisson process; old-age insurance; additive property; insurable interest引言本文首先探討泊松過程問題中的養(yǎng)老保險(xiǎn)問題，討論保險(xiǎn)公司在養(yǎng)老保險(xiǎn)中的收益問 題。然后通過對(duì)復(fù)合泊松過程可加性的討論，進(jìn)一步討論保險(xiǎn)收益問題的求法。正如我們看到的，保險(xiǎn)業(yè)在我國(guó)還處于發(fā)展階段，各種體系還有待進(jìn)一步完善。同時(shí)， 我們應(yīng)該意識(shí)到保險(xiǎn)業(yè)的

6、發(fā)展趨勢(shì)，它將成為人民生活的重要保障。養(yǎng)老保險(xiǎn)又是保險(xiǎn)業(yè)的 重要組成部分，與人們的生活有著密切的聯(lián)系。養(yǎng)老保險(xiǎn)對(duì)于保險(xiǎn)公司來說是一種比較穩(wěn)定 且有效的融資手段，可以為保險(xiǎn)公司帶來豐厚的收益。對(duì)于個(gè)體投資者，養(yǎng)老保險(xiǎn)是一種穩(wěn) 定的投資方式，可以帶給投資人相對(duì)穩(wěn)定的收益，是一種理想的投資方式。在社會(huì)發(fā)展的大 環(huán)境下考慮，養(yǎng)老保險(xiǎn)可以達(dá)到雙贏，是一種健康的經(jīng)濟(jì)運(yùn)營(yíng)方式。它將對(duì)國(guó)家經(jīng)濟(jì)的發(fā)展 起到促進(jìn)作用，并且它將成為社會(huì)穩(wěn)定的重要保證。定義 11 計(jì)數(shù)過程N(yùn) (t ) , t ³ 0 稱為強(qiáng)度（或速率）l 的齊次 Poisson 過程，如果它滿足下 列條件：- 5 -（1） P( N0=

7、0) = 1；作者簡(jiǎn)介：李冰玉（1986），女，學(xué)生，系統(tǒng)控制理論與應(yīng)用. E-mail: libingyujiayou（2）具獨(dú)立增量；（3 ）對(duì)任意 0 £ s < t ，增量 Ns ,t = Nt + N s 具有參數(shù) l (t - s ) 的 Poisson 分布，即P ( Ns ,t = k ) =l (t - s )k !ke- l (t -s ), k = 0,1, 2,.i定義 21設(shè)N (t ) , t ³ 0 是強(qiáng)度為 l 的（齊次）Poisson 過程，Y , i = 1, 2,. 是一列獨(dú)立同N (t )分布的 隨機(jī) 變量， 并且 與 N (t

8、 ) , t ³ 0 獨(dú)立 。對(duì) t ³ 0, 令 X (t ) = å Yi ，則 稱過 程i =1X (t ) , t ³ 0 為復(fù)合 Poisson 過程。1 保險(xiǎn)公司在養(yǎng)老保險(xiǎn)中的收益問題對(duì)于一個(gè)問題是否服從泊松分布我們可以通過如下方法進(jìn)行檢驗(yàn)： 檢驗(yàn)原理2：由參考文獻(xiàn)3知，一個(gè)事件流到達(dá)過程是泊松過程充分必要條件是其到達(dá)間隔 時(shí)間序列為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且服從指數(shù)分布。即檢驗(yàn)一個(gè)事件流到達(dá)過程可以改 為檢驗(yàn)其到達(dá)間隔是否獨(dú)立同服從同一指數(shù)分布。方法：設(shè)開始觀察時(shí)刻為時(shí)間 0.第 i 個(gè)事件到達(dá)（出現(xiàn)）時(shí)刻記為 ti , i = 1,2,.

9、, n,其中 n 要求充分大，一般大于 100，令Ti = ti - ti -1 , i = 1,2,., n, t0 = 0. 對(duì)于假設(shè) H 0 : 所觀 察的事件流到達(dá)過程為泊松過程， H1 : 否則。當(dāng) H 0 成立時(shí)，T1 , T2 ,., Tn 相互獨(dú)立同服從 相同指數(shù)分布。這樣可以將T1 , T2 ,., Tn 看成總體T G(1, l ) 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。于是上述假 設(shè)就可以為 H 0¢ : T 服從指數(shù)分布（即假設(shè)T 的分布函數(shù)為指數(shù)分布函數(shù) F0 ( x) ）；H1¢ : T 不 服從指數(shù)分布。這樣就可以用皮爾遜（Pearson） c 2擬合檢驗(yàn) 法檢驗(yàn)

10、H 0¢ . 具體方法是 記 c1 , c 2 ,., c n 為 T1 , T2 ,., Tn 的觀察值，將 包 含c1 , c 2 ,., c n 的某個(gè)區(qū)間 (t 0 ,t m ) 分成 m 組，即把 (t 0 ,t m ) 分成 m 個(gè)不相交的小區(qū)間(t,t), j = 1,2,., m, 一般取 m » 1.87(n - 1)0.4 . 用 v 表示 c , c,., c落入第 j 個(gè)小區(qū)間j -1jvj12n的個(gè)數(shù)（頻數(shù)），記 f =j , 稱 f 為樣本落入第 j 個(gè)小區(qū)間的頻數(shù)， j = 1,2,., m. 當(dāng) H ¢ 成jnj0n立時(shí)，l =1

11、, c = 1 å c ,即l = n .計(jì)算概率ic n i =1t np = Pt£ T < t= F (t)- F (t), j = 1,2,., m, 稱 np 為樣本 T , T ,.,T落入第jj -1j0j0j -1j12nj 個(gè)小區(qū)間的理論頻數(shù)。當(dāng) H 0¢ 成立時(shí)理論頻數(shù) np j 與實(shí)際頻數(shù) v j 相差應(yīng)很小，從而2m (våj- np j )應(yīng)很小，否則不能認(rèn)為 H ¢ 成立，故 H ¢ （即 H ）的拒絕域 為j =1ïì míånp jjj(v - np )2n

12、pïü> C ý000j =1j其中 C 由犯第 1 類錯(cuò)誤的概率a 來確定。a 是根據(jù)實(shí)際事先給定的很小的正數(shù)（如 0.1，0.05，0.01 等）。當(dāng)a 給定后，用類似于“第 5 次擲出幾點(diǎn)”中的方1-a法4可確 C 為 c 2(m - 2). 即 H 0¢ 的拒絕域?yàn)?#239;ì m (vj2> cíå- np j )21-a)ý(m -2 üï 。j =1np j通過對(duì)眾多參考文獻(xiàn)5- 10的閱讀，我們將作如下假設(shè)： 本文假設(shè)保險(xiǎn)公司向保險(xiǎn)人的總支付金額是一個(gè)復(fù)合 pois

13、son 過程11，即把個(gè)體參保的到來 看作一個(gè) poisson 序列，每個(gè)階段的個(gè)體收益額看作一個(gè)隨機(jī)變量，即得如下定義：本文定義： 稱下面的過程 U (t ) , t ³ 0 為連續(xù)時(shí)間的養(yǎng)老保險(xiǎn)泊松盈余過程， U (t ) = u + ct - X (t ), t ³ 0 ，其中：（1）u 為初始盈余， u ³ 0 ；（2）總支付金額X (t ), t ³ 0為復(fù)合泊松過程，泊松參數(shù)為 l ，個(gè)體收益額變量為Y : F ( x ) ；（3） c 為單位時(shí)間內(nèi)的平均收入額。2. 復(fù)合泊松過程的可加性定 理1設(shè)N1 (t ) , t ³ 0,N

14、2 (t ) , t ³ 0均 為 齊 次 泊 松 過 程 ， 且N1 (t ) , t ³ 0,N2 (t ) , t ³ 0 相互獨(dú)立，令 N (t ) = N1 (t ) + N2 (t ) ，則N (t ) , t ³ 0 仍為 一個(gè)齊次泊松過程。證明：設(shè)N1 (t ) , t ³ 0,N2 (t ) , t ³ 0 分別服從參數(shù)為 l1 , l2 的泊松過程。Q N1 (t ) , t ³ 0,N2 (t ) , t ³ 0 均為齊次泊松過程 P( N10= 0) = 1， P( N20 = 0) = 1

15、又Q N1 (t ) , t ³ 0,N2 (t ) , t ³ 0 相互獨(dú)立 P( N (0) = N1 (0) + N2 (0) = 0) = 1由已知，顯然N (t ) , t ³ 0 具獨(dú)立增量Q N1 (t ) , t ³ 0,N2 (t ) , t ³ 0 均為齊次泊松過程對(duì)任意 0 £ s < t ，P ( N1 (s, t ) = k ) =()l (t - s )ùûk !l (t - s )ke- l (t -s )k- l (t -s ), k = 0,1, 2,.P N2 (s, t

16、) = k=e, k = 0,1, 2,.k !對(duì)任意 0 £ s < t ，P ( N (s, t ) = N1 (s, t) + N2 (s, t ) = k )= P ( N1 (s, t ) = 0) × P ( N2 (s, t ) = k ) + . + P ( N1 (s, t ) = k ) × P ( N2 (s, t ) = 0)k(l + l) × (t - s )-(l +l )×(t -s )=1 2k !e1 2, k = 0,1, 2,.根據(jù)定義 1 可得：N (t ) , t ³ 0 為齊次泊松過

17、程定理 2 設(shè) X1 (t ) , t ³ 0,X 2 (t ) , t ³ 0 均 為 復(fù)合泊 松 過程的 ，N2 (t )N1 (t )X1 (t ) = å Y1i ，i =1X 2 (t ) = å Y2ii =1，且N1 (t ) , t ³ 0,N2 (t ) , t ³ 0相互獨(dú)立，Y1i , i = 1, 2, .,Y2i , i = 1, 2, . 相互獨(dú)立，令 X (t ) = X1 (t ) + X 2 (t ) ，則 X (t ) , t ³ 0 仍 為一個(gè)復(fù)合泊松過程。證明：Q X1 (t ) ,

18、t ³ 0,X 2 (t ) , t ³ 0 均為復(fù)合泊松過程 N1 (t ) , t ³ 0,N2 (t ) , t ³ 0 均為齊次泊松過程由定理 1 令 N (t ) = N1 (t ) + N2 (t ) ，則N (t ) , t ³ 0 為齊次泊松過程Q Y1i , i = 1, 2, .,Y2i , i = 1, 2, . 相互獨(dú)立，且分別是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量令Yi = Y1i + Y2i , i = 1, 2,. ，則Yi , i = 1, 2, . 是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量N1 (t )+ N2 (t )根據(jù)定義 2 可得：

19、 X (t ) =åi =1Y1i + Y2i 為一個(gè)復(fù)合泊松過程令Y1i = 0, i = N1 (t ) + 1,.,Y2i = 0, i = N2 (t ) + 1, . ， 則X (t ) , t ³ 0 為一個(gè)復(fù)合泊松過程3. 保險(xiǎn)公司在保險(xiǎn)中的收益問題U (t ) , t ³ 0本文定理：下面的過程 U (t ) = u + ct - X (t ), t ³ 0（1）u 為初始盈余， u ³ 0 ；。，其中：為連續(xù)時(shí)間的保險(xiǎn)泊松盈余過程 ，（2）總支付金額X (t ), t ³ 0為復(fù)合泊松過程，泊松參數(shù)為 l ，個(gè)體收益額變量為；Y : F ( x )（3） c 為單位時(shí)間內(nèi)的平均收入額。證明：根據(jù)本文定義，設(shè)各項(xiàng)保險(xiǎn)總支付金額。X i (t ) , t ³ 0, i = 1,., n均為復(fù)合泊松過程，泊松參數(shù)為 li ，個(gè)體收益額變量為Yi :Fi ( x ) , i = 1,., n重復(fù)利用定理 2 可得：4. 結(jié)束語nX (t ) = å X i (t ), t ³ 0, i = 1,.ni=1為復(fù)合泊松過程，定理得證。隨機(jī)過程在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用很多，本文只是就復(fù)合泊松問題進(jìn)