值域求法--數(shù)形結(jié)合法等

1、本文格式為word版，下載可任意編輯值域求法-數(shù)形結(jié)合法等 函數(shù)值域求法小結(jié) 一、觀看法（依據(jù)函數(shù)圖象、性質(zhì)能較簡單得出值域(最值)的簡潔函數(shù)） 1、求 2 42- + - = x y 的值域。 由肯定值函數(shù)學(xué)問及二次函數(shù)值域的求法易得：) ) ¥ + - Î ¥ + Î - + - = , 2 , , 0 2 4 ) (2y x x g 所以 2、求函數(shù)11 1yx=+ +的值域。 分析：首先由 1 x+ ³ 0，得 1 x+ +1 ³ 1，然后在求其倒數(shù)即得答案。 解： 1 x+ ³ 0 1 x+ +1 ³ 1

2、， 11 1 x+ +£ ， 函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ?法 二、配方法（當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時，可利用配方法求值域） 1、求函數(shù) ) 4 , 0 ( 4 22Î + - - = x x x y 的值域。 設(shè)： ) 0 ) ( ( 4 ) (2³ + - = x f x x x f 配方得： ) 4 , 0 ( 4 ) 2 ( ) (2Î + - - = x x x f 利用二次函數(shù)的相關(guān)學(xué)問得 4 , 0 ) ( Î x f ，從而得出： 2 , 2 - Î y 。 說明：在求解值域(最值)時，遇到分式、根式、對數(shù)式

3、等類型時要留意函數(shù)本身定義域的限制，本題為： 0 ) ( ³ x f 。 2、求函數(shù)3 42- + -=x xe y 的值域。 解答：此題可以看作是ue y = 和 3 42- + - = x x u 兩個函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，對 u 配方可得：1 ) 2 (2+ - - = x u ，得到函數(shù) u 的最大值 1 = u ，再依據(jù)ue y = 得到 y 為增函數(shù)且 0 > y 故函數(shù)3 42- + -=x xe y 的值域?yàn)椋?, 0 ( e yÎ 。 3、若 , 4 2 = + y x 0 , 0 > > y x ，試求 y x lg lg + 的最大值。

4、 本題可看成一象限動點(diǎn) ) , ( y x p 在直線 4 2 = + y x 上滑動時函數(shù) xy y x lg lg lg = + 的最大值。利用兩點(diǎn)(4，0)，(0，2)確定一條直線，作出圖象易得：2 ) 1 ( 2 lg ) 2 4 ( lg lg lg lg ), 2 , 0 ( ), 4 , 0 (2+ - - = - = = + Î Î y y y xy y x y x 而，y=1 時， y x lg lg + 取最大值 2 lg 。 三、反函數(shù)法（分子、分母只含有一次項(xiàng)的函數(shù)，也可用于其它易 反解出自變量的函數(shù)類型） 對于存在反函數(shù)且易于求得其反函數(shù)的函數(shù)，可

5、以利用"原函數(shù)的定義域和值域分別為其反函數(shù)的值域和定義域'這一性質(zhì)，先求出其反函數(shù)，進(jìn)而通過求其反函數(shù)的定義域的方法求原函數(shù)的值域。 1、求函數(shù)12+=xxy 的值域。 由于本題中分子、分母均只含有自變量的一次型，易反解出 x，從而便于求出反函數(shù)。 12+=xxy 反解得yyx-=2即xxy-=2 故函數(shù)的值域?yàn)椋?) , 2 ( ) 2 , ( +¥ -¥ Î u y 。（反函數(shù)的定義域即是原函數(shù)的值域） 2、求函數(shù)11+-=xxeey 的值域。 解答：先證明11xxeey-+= 有反函數(shù)，為此，設(shè)2 1x x < 且 r x x 

6、06;2 1 ,， 0) 1 )( 1 (211112 12 122112 1<+ +-=+-+-= -x xx xxxxxe ee eeeeey y 。 所以 y 為減函數(shù)，存在反函數(shù)。可以求得其反函數(shù)為：xxy-+-=111ln 。此函數(shù)的定義域?yàn)? 1 , 1 (- Î x ，故原函數(shù)的值域?yàn)?) 1 , 1 (- Î y 。 四 、判別式法（分子、分母中含有二次項(xiàng)的函數(shù)類型，此函數(shù)經(jīng)過變形后可以化為0 ) ( ) ( ) (2= + + y c x y b x y a 的形式，再利用判別式加以推斷） 1、求函數(shù)3 27 4 222+ +- +=x xx xy

7、的值域。 由于本題的分子、分母均為關(guān)于 x 的二次形式，因此可以考慮使用判別式法，將原函數(shù)變形為： 7 4 2 3 22 2- + = + + x x y xy y x 整理得： 0 7 3 ) 2 ( 2 ) 2 (2= + + - + - y x y x y 當(dāng) 2 ¹ y時，上式可以看成關(guān)于 x 的二次方程，該方程的 x 范圍應(yīng)當(dāng)滿意 0 3 2 ) (2¹ + + = x x x f 即r xÎ 此時方程有實(shí)根即 0 ³ ， . 2 ,29 0 ) 7 3 )( 2 ( 4 ) 2 ( 22- Î Þ ³ + - -

8、 - = y y y y 留意：判別式法解出值域后肯定要將端點(diǎn)值（本題是29, 2 - = = y y ）代回方程檢驗(yàn)。 將29, 2 - = = y y 分別代入檢驗(yàn)得 2 = y 不符合方程，所以 ) 2 ,29- Î y 。 2、求函數(shù)2 212+ +=x xxy 的值域。 解答：先將此函數(shù)化成隱函數(shù)的形式得： 0 1 2 ) 1 2 (2= - + - + y x y yx ，(1) 這是一個關(guān)于 x 的一元二次方程，原函數(shù)有定義，等價于此方程有解，即方程(1)的判別式0 ) 1 2 ( 4 ) 1 2 (2³ - - - = d y y y ， 解得：2121&#

9、163; £ - y 。 故原函數(shù)的值域?yàn)椋?, 2121- Î y 。 五、換元法（通過簡潔的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹啙嵑瘮?shù)，其題型特征是無理函數(shù)、三角函數(shù)（用三角代換）等） 1、求函數(shù) x x y 4 13 3 2 - + - = 的值域。 由于題中含有 x 4 13 - 不便于計(jì)算，但假如令： x t 4 13 - = 留意 0 ³ t 從而得：) 0 ( 32134132 2³ + -= -= t ttytx 變形得 ) 0 ( 8 ) 1 ( 22³ + + - = t t y 即： 4 , (-¥ Î y 留意：在使

10、用換元法換元時肯定要留意新變量的范圍，否則將會發(fā)生錯誤。 2、已知 ) , ( y x p 是圓 42 2= + y x 上的點(diǎn)，試求 xy y x t 32 2- + = 的值域。 在三角函數(shù)章節(jié)中我們學(xué)過： 1 cos sin2 2= ¶ + ¶ 留意到 42 2= + y x 可變形為：1 )2( )2(2 2= +y x令 , 0 , sin2, cos2Î ¶ ¶ = ¶ =y x2p)則¶ - = ¶ ´ ¶ ´ - = 2 sin 6 4 sin 2 cos 2 3 4

11、t 4 , 0 2 Î ¶ 又 p)即 1 , 1 2 sin - Î ¶ 故 10 , 2 - Î t 3、試求函數(shù) x x x x y cos sin cos sin + + = 的值域。 題中消失 x x sin cos + ，而 x x x x x x cos sin 2 1 ) cos (sin , 1 cos sin2 2 2+ = + = + 由此聯(lián)想到將 x xsin cos 視為一整體，令 2 , 2 cos sin - Î + = x x t 由上面的關(guān)系式易得21cos sin cos sin 2 122-= &

12、#222; + =tx x x x t 故原函數(shù)可變形為： 2 , 2 1 ) 1 (21, 2 ) 1 ( 2 ) 2 , 2 (212 22- Î - + = - + = - Î-+ = t t y t y ttt y q 即 221, 1 + - Î y 六、數(shù)形結(jié)合法（對于一些能夠精確畫出函數(shù)圖像的函數(shù)來說，可以先畫出其函數(shù)圖像，然后利用函數(shù)圖像求其值域） 1、求函數(shù)xxycos 2sin 3-= 的值域。 分析與解：看到該函數(shù)的形式，我們可聯(lián)想到直線中已知兩點(diǎn)求直線的斜率的公式 1 21 2x xy yk-= ，將原函數(shù)視為定點(diǎn)(2，3)到動點(diǎn) ) si

13、n , (cos x x 的斜率，又知動點(diǎn) ) sin , (cos x x 滿意單位圓的方程，從而問題就轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)（2，3）到單位圓連線的斜率問題，作出圖形觀看易得的最值在直線和圓上點(diǎn)的連線和圓相切時取得，從而解得： 33 2 6,33 2 6+ -Î y 2、求函數(shù) 1 3 y x x = - + - 的值域。 分析：此題首先是如何去掉肯定值，將其做成一個分段函數(shù)。 2 4, ( ,1,2, (1,3),2 4, 3, ),x xy xx x- + Î -¥ ìï= Îíï- Î +¥

14、38; 在對應(yīng)的區(qū)間內(nèi)，畫出此函數(shù)的圖像，如圖 1 所示，易得出函數(shù)的值域?yàn)?) , 2 +¥ 。 七、不等式法（能利用幾個重要不等式及推論來求得最值。（如：ab b a ab b a 2 , 22 2³ + ³ + ），利用此法求函數(shù)的值域，要合理地添項(xiàng)和拆項(xiàng)，添項(xiàng)和拆項(xiàng)的原則是要 使最終的乘積結(jié)果中不含自變量 ，同時，利用此法時應(yīng)留意取 = 成立的條件。） 1、當(dāng) 0 > x 時，求函數(shù)248 ) (xx x f + = 的最值，并指出 ) (x f 取最值時 x 的值。 因 為2 244 448 ) (xx xxx x f + + = + = 可 利

15、用 不 等 式33 abc c b a ³ + + 即 ：3244 4 3 ) (xx x x f × × × ³ 所以 12 ) ( ³ x f 當(dāng)且僅當(dāng)244xx = 即 1 = x 時取"='當(dāng) 1 = x 時) (x f 取得最小值 12。 2、雙曲線 12222= -byax的離心率為1e ，雙曲線 12222= -axby的離心率為2e ，則2 1e e + 的最小值是（）。 a 2 2 b4 c2 d 2 依據(jù)雙曲線的離心率公式易得：bb aab ae e2 2 2 22 1+= + ，我們知道 xy

16、y x 2 ³ +圖1y=-2x+4y=2x-4yx4o23 1 所以abb ae e2 22 12+³ + （當(dāng)且僅當(dāng)bb aab a2 2 2 2+=+時取"='）而 ab b a 22 2³ +故 2 22 1³ + e e （當(dāng)且僅當(dāng) b a = 時取"='） 2 2 ) (mi n 2 1= +e e 所以 。 說明：利用均值不等式解題時肯定要留意"一正，二定，三等'三個條件缺一不行。 3、求函數(shù)12+=xxy的值域。 解答： 2 11112³ + + = =+ +x xxx y

17、，當(dāng)且僅當(dāng) 1 = x 時 = 成立。故函數(shù)的值域?yàn)? , 2 +¥ Î y 。 此法可以敏捷運(yùn)用，對于分母為一次多項(xiàng)式的二次分式，當(dāng)然可以運(yùn)用判別式法求得其值域，但是若能變通地運(yùn)用此法，可以省去判別式法中介二次不等式的過程。 4、求函數(shù)12 22+ +=xx xy的值域。 解答：此題可以利用判別式法求解，這里考慮運(yùn)用基本不等式法求解此題，此時關(guān)鍵是在分子中分解出 ) 1 ( + x 項(xiàng)來，可以一般的運(yùn)用待定系數(shù)法完成這一工作，方法是設(shè)：2 2 ) )( 1 (2+ + = + + + x x c b x x ， 將上面等式的左邊綻開，有： ) ( ) 1 (2c b x

18、b x + + + + ， 故而 2 1= + b ， 2 = +c b 。 解得 1 = b ， 1 = c 。 從而原函數(shù)1111 ) 1 )( 1 () 1 (+ + + + + = =x xx xx y ； )當(dāng) 1 - > x 時， 0 1> + x ， 011>+ x，此時 2 ³ y ，等號成立，當(dāng)且僅當(dāng) 0 = x 。 )當(dāng) 1 - < x 時， 0 ) 1 ( > + - x ， 011> -+ x，此時有211) 1 (11) 1 (11 ) 1 )( 1 (- £úûùê

19、35;é+- + - - =+ + =+ + +=xxxxxx xy ， 等號成立，當(dāng)且僅當(dāng) 2 - = x 。 綜上，原函數(shù)的值域?yàn)椋?) , 2 2 , ( +¥ È - -¥ Î y 。 ） 八、部分分式法（分別常數(shù)法）（分式且分子、分母中有相像的項(xiàng)，通過該方法可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為為 ) (x f k y ± = ( 為 k 常數(shù))的形式） 1、求函數(shù)122+ -=x xx xy 的值域。 觀看分子、分母中均含有 x x -2項(xiàng)，可利用部分分式法；則有 43)21(1111 11 22222+ - =+ - + -=+ -=xx x

20、x xx xx xy 不妨令：) 0 ) ( () (1) ( ,43)21( ) (2¹ = + - = x fx fx g x x f 從而 ) ¥ +êëéÎ ,43) (x f 留意：在本題中應(yīng)排解 0 ) ( = x f ，由于 ) (x f 作為分母。所以ççèæúûùÎ43, 0 ) (x g 故 ) 1 ,31êëé -Î y 2、如對于函數(shù)2 31-=xxy ，利用恒等變形，得到：) 2 3 ( 3

21、1312 331) 2 3 (31- =- -=x xxy ， 簡單觀看得出此函數(shù)的值域?yàn)?) , ( ) , (3131+¥ È -¥ Î y 。 留意到分時的分子、分母的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，分別出一個常數(shù)后，再通過觀看或配方等其他方法易得函數(shù)值域。 九、單調(diào)性法（利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域） 1、求函數(shù) ) 4 ( log221x x y - = 的值域。 由于函數(shù)本身是由一個對數(shù)函數(shù)（外層函數(shù)）和二次函數(shù)（內(nèi)層函數(shù)）復(fù)合而成，故可令：) 0 ) ( ( 4 ) (2³ + - = x f x x x f 配方得： ) 4 , 0 ) ( 4 ) 2 ( ) (2（ 所以 Î + - - = x f x x f 由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（同增異減）知： ) , 2 +¥ - Î y 。 當(dāng)函數(shù) f 在 ) , ( b a 上單調(diào)，譬如 f 在 ) , ( b a 上遞增時，自然有函數(shù) f 在 ) , ( b a 上的值域?yàn)? 0 ( ), 0 ( ( - + b f a f (其中 ) ( lim ) 0 ( ), ( lim ) 0 ( x f b f x f a fb x a x- +® ®= - = + ，當(dāng)+&