任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)全面版

1、第3課時(shí)任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)學(xué)可加立化耳標(biāo)明他課程學(xué)習(xí)目標(biāo)1 .理解通過單位圓引入任意角的正弦函數(shù)的意義2 .掌握任意角的正弦函數(shù)、 余弦函數(shù)的定義，能利用角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)寫出正弦函數(shù)值與余弦函數(shù)值.掌握特殊角的正弦、余弦函數(shù)值 .3 .理解并掌握終邊相同的角的正弦、余弦函數(shù)值相等知識(shí)體系梳理在初中由于學(xué)習(xí)的知識(shí)不夠深入和認(rèn)知的差異，為了便于理解銳角三角函數(shù)的概念，我們以銳角為其中一個(gè)角構(gòu)造一個(gè)直角三角形，利用不同邊的比值定義了該銳角的三角函數(shù)(正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)，但這種定義顯然不適應(yīng)任意角的三角函數(shù)的定義，這節(jié)課我們將要探尋任意角的三角函數(shù)的本質(zhì)是什么？并能對(duì)任意

2、角的三角函數(shù)給出一個(gè)科學(xué)合理的定義.知識(shí)導(dǎo)學(xué)h問題1:一般地，在直角坐標(biāo)系中(如圖),對(duì)任意角a ,它的終邊與圓交于點(diǎn)Ra,b),則比值叫b aaRa,b),點(diǎn)P的縱坐作角 a 的,記作:sin a =；比值叫作角 a 的，記作：COS a = ,r=.當(dāng)r=1時(shí),任意角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)Ra,b),我們可以唯一確定點(diǎn)標(biāo)b是 的函數(shù)，稱為 函數(shù)，記作：;點(diǎn)P的橫坐標(biāo) a是 的函數(shù)，稱為余弦函數(shù)，記作：.通常我們用x,y分別表示自變量與因變量，將正弦函數(shù)表示為，正弦函數(shù)值 有時(shí)也叫正弦值；將余弦函數(shù)表示為，余弦函數(shù)值有時(shí)也叫余弦值.問題2:終邊相同的角的正弦函數(shù)值 、余弦函數(shù)值 ，即若3 =

3、“ +2kTt (ke Z), 貝U sin a sin 3 ,cos a cos 3 .問題3:正、余弦函數(shù)值的符號(hào)(1)表格表示象限 三角函數(shù)第一象限第二象限第三象限第四象限sin acos a問題4:周期函數(shù)的有關(guān)概念(1)一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在 常數(shù)T,對(duì)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x值，都有，我們就把f(x)稱為周期函數(shù)，丁稱為這個(gè)函數(shù)的.(2)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù)，為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期.如-2兀，2兀，4兀 等都是它們的周期.其中2兀是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)正周期中最小的一個(gè)，稱基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1 .若sin a <0,cos a >0,則a的終邊(不含端點(diǎn))在

4、().A.第一象限B.第二象限C第三象限D(zhuǎn).第四象限2 .已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)(-6,8)，則cos a的值為().3 344A.- B. C.- D.3 .若點(diǎn)P在角3的終邊上，且|OP|=2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 4 .在時(shí)鐘鐘面上，分針從如圖位置開始順時(shí)針走動(dòng)，當(dāng)分針走過1125。時(shí),求分針針尖到分針起始位置OA的距離(即A到OA勺距離，設(shè)分針長(zhǎng)為r cm).思維徐究與創(chuàng)新導(dǎo)學(xué)區(qū)不議不講技能界林他鬲空卒佳化重點(diǎn)難點(diǎn)探究GL««-判斷正弦、余弦函數(shù)值的符號(hào)判斷下列各式的符號(hào)(1)cos(-345° );(2)sin 175° cos 248°周期

5、函數(shù)的證明已知f (x+2)=-f (x),求證：f(x)是周期函數(shù)，并求出它的一個(gè)周期O利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義求值31已知角”的終邊在直線y=«X上，求COS a口值的值.方衽熊力犯檢方昇掉化思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一sintr |sincr|若角a的終邊落在直線y=-x上，求歸8小+的小的值.應(yīng)和二irir1 Itt若函數(shù)f(x)是以2為周期的奇函數(shù)，且f(?)=1,求f (- 6)的值.應(yīng)用三辟COSff已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn) P(x,-理)(x4),且cos a = 6 x,求sin a +8由江的值.基礎(chǔ)智能檢測(cè)1 .而商等于（）.0 史 1A. ± 2B. 2C.-

6、 2D.22 .已知cos 0 sin 0 <0,那么角。是（）.A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角G第二或第四象限角D.第一或第四象限角3 .求下列式子的值：13sin 2 兀=;(2)cos 405° =.14 .已知函數(shù)f(x)在其定義域上都有f(x+1)=->),求證:f(x)是以2為周期的周期函數(shù).材料畿凳停,規(guī)角步無化全新視角拓展(2011年江西卷)已知角0的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，若P(4,y)是角0終邊上一點(diǎn)，且 sin 。=-'，則 y=.考題變式(我來改編):皿翅”空鸚署甩j星*苒春牝膽吊直離化，單g系栽牝成.電界字化學(xué)習(xí)體騏

7、分享第3課時(shí) 任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義與周期性知識(shí)體系梳理a ( a R)四象限問題1：正弦 余弦 4口 +匕 角a 正弦y=sin a ( a R)角ay=cosy=sin x(xC R» y=cos x(xC R)問題2:相同相同 =問題3:正正負(fù)負(fù)正負(fù)負(fù)正問題4:(1)非零f(x+T)=f(x)周期(2)2kTt (kC Z,k劑 最小正周期基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1 .D . sin a<Q： "在第三、四象限及y軸的負(fù)半軸上，由COS a>0,可知a在第一 及x軸的正半軸上，故a在第四象限.2 . A COS a2tt 12n3 .(-1，/),x=|OP

8、|cos=2x(-2)=-i,y=|0P|sin 號(hào) 力.：點(diǎn) P的坐標(biāo)為(-1依).巡4 .解:1125° =360° X3+45° ,d=rsin 45° =2 r(cm).重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一：【解析】(1):-345。=-360。+15。是第一象限角，：cos(-345° )>0.(2)-/ 175°是第二象限角，248°是第三象限角，sin 175° >0,cos 248° <0,. .sin 175° cos 248° <0.【小結(jié)】熟記正弦、余弦函數(shù)

9、值在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)是解決此類問題的關(guān)鍵，同時(shí)可結(jié)合圖形幫助理解.探究二：【解析】f (x+4)=f (x+2)+2=-f (x+2)=f (x),：f(x)是周期函數(shù)，且4是它的一個(gè)周期.【小結(jié)】一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在非零實(shí)數(shù) T,使得對(duì)任意x都有f(x+T)=f(x)，那么 f(x)就是一個(gè)周期為 T的周期函數(shù)，故解決此類問題的關(guān)鍵是找出周期T,并證明上述等式成立.探究三：【解析】求角a的正、余弦值關(guān)鍵是確定角a的終邊上任一點(diǎn)的坐標(biāo)，所以在角a的終邊上取一點(diǎn) F(4,- 3),則 r=|OP|二 =5.y 3 x 4于是 sin a=-：',cos a ='=：

10、',1 4 5 37所以 cos a-sin«=5 J=15.問題上述解法全面嗎？3結(jié)論角a的終邊在一條直線上時(shí)，要對(duì)角a的終邊為射線y=Kx(x句)還是為射線y=Jx(x>0)進(jìn)行分類討論.于是，正確解答如下：在角a的終邊上取一點(diǎn) P1(4,-3).則 r=|OP1|=-=匚"=5.y 3 x 4于是 sin a = =-：',COs a = =口， 1 37. .cos a - Sina =15.在角a的終邊上取一點(diǎn)%-4,3).則 r二|OP2|=5.y 3 X 4于sin (X = =),cos (X = =-、'，14 5 37cos

11、 a -Sind =_5_3=_1513737綜上，COS a-SiM的值為15或-15.【小結(jié)】在角a的終邊上取點(diǎn)，利用定義求Sin a ,COS a ；(2)若終邊落在直線上，則需分兩種情況討論.思維拓展應(yīng)用sina |sina| sina sina應(yīng)用一：當(dāng)a的終邊落在第二象限時(shí),ld + cosa =-co samosa =0;sina Isincrl since - since sina |sina|當(dāng) a 的終邊落在第四象限時(shí) ,Icosal + cosa ostt + coscr =0 . . |cosn|+cosff =0TT應(yīng)用二：.f(x)是以2為周期的奇函數(shù),117T11

12、1T1 IT ItA f(- 6 )=-f ( 6 )=-f (3x2 u +3)=-f (3)=-1,應(yīng)用三：二 P (x,-M)(x項(xiàng)，.點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r=7j2 + 2.又 COS a = 6 X,COS a =x + 2 = 6 x.x O, x= ±di。，r=2/.當(dāng)XK面時(shí),P點(diǎn)的坐標(biāo)為(*。 & 、后 COSCt M,l °由三角函數(shù)的定義，有sin a =2了 =_ 6 ,since =-&二_/_,COStf 、石#sin a +s'na =_ _ v J=-c ；coscr 675 - #當(dāng)x=-回時(shí)同理,可求得sin a+s

13、i3= 6基礎(chǔ)智能檢測(cè)01. B QsM 120"=| sin 120 |= 2.故選C2. C 若cos 0 >0,sin 9 <0,則6在第四象限;若cos 0 <0,sin 6 >0,則0在第二象限y/213 ntt3. (1)1 (2) 2 (l)sin 2 % =sin +6 x )=sin =1.£(2) cos 405 =cos(45 +360 )=cos 45 二2.11 14.解:f (x+2)=-(# + 1) =- /M=f(x),即 f (x+2)=f(x).：由周期函數(shù)的定義可知：函數(shù)f (x)是以2為周期的周期函數(shù) 全新視

14、角拓展275y y 275-8 r=+ 丁 ="d?,且 sin 0 =- S，所以 sin 0 = =/16 + y = 5，則 y=-8.思維導(dǎo)圖構(gòu)建f (x+T)=f (x)只要我們堅(jiān)持了，就沒有克服不了的困難?；蛟S，為了將來，為了自己的發(fā)展，我們會(huì)把一件事情想得非常透徹，對(duì)自己越來越嚴(yán)，要求越來越高，對(duì)任何機(jī)會(huì)都不曾錯(cuò)過，其目的也只不過是不讓自己隨時(shí)陷入逆境與失去那種面對(duì)困難不曾屈服的精神。但有時(shí)，“千里之行，始于足下。"我們更需要用時(shí)間持久的用心去做一件事情，讓自己其中那小小的淺淺的進(jìn)步，來擊破打破突破自己那本以為可以高枕無憂十分舒適的區(qū)域，強(qiáng)迫逼迫自己一刻不停的

15、馬不停蹄的一直向前走，向前看，向前進(jìn)。所有的未來，都是靠腳步去丈量。沒有走，怎么知道，不可能；沒有去努力，又怎么知道不能實(shí)現(xiàn)？幸福都是奮斗出來的。那不如，生活中、工作中，就讓這“幸福都是奮斗出來的"完完全全徹徹底底的滲入我們的心靈，著心、心平氣和的去體驗(yàn)、去察覺這一種靈魂深處的安詳，側(cè)耳聆聽這僅屬于我們自己生命最原始最動(dòng)人的節(jié)奏。但，這種聆聽，它絕不是僅限于、執(zhí)著于“我”，而是觀察一種生命狀態(tài)能夠擴(kuò)展和超脫到什么程度，也就是那“幸福都是奮斗出來的”深處又會(huì)是如何？生命不止，奮斗不息！又或者，對(duì)于很多優(yōu)秀的人來說，我們奮斗了一輩子，拼搏了一輩子，也只是人家的起點(diǎn)?？墒?，這微不足道的進(jìn)步

16、，對(duì)于我們來說，卻是幸福的，也是知足的，因?yàn)槲覀兦迩宄闹雷约盒枰氖鞘裁?，隱隱約約的感覺到自己的人生正把握在自己手中，并且這一切還是通過我們自己勤勤懇懇努力，去積極爭(zhēng)取的！鋒寶劍鋒從磨礪出，梅花香自苦寒來。”當(dāng)我們坦然接受這人生的終局，或許，這無所皈依的心靈就有了歸宿，這生命中覓尋處那真正的幸福、真正的清香也就從此真正的燦爛了我們的人生。一生有多少屬于我們的時(shí)光？陌上的花，落了又開了，開了又落了。無數(shù)個(gè)歲月就這樣在悄無聲息的時(shí)光里靜靜的流逝。童年的玩伴，曾經(jīng)的天真，只能在夢(mèng)里回味，每回夢(mèng)醒時(shí)分，總是多了很多傷感。不知不覺中，走過了青春年少，走過了人世間風(fēng)風(fēng)雨雨。愛過了，恨過了，哭過了，笑

17、過了，才漸漸明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然規(guī)律。所以，面對(duì)生活中經(jīng)歷的一切順境和逆境都學(xué)會(huì)了坦然承受，面對(duì)突然而至的災(zāi)難多了一份從容和冷靜。這世上沒有什么不能承受的，只要你有足夠的堅(jiān)強(qiáng)！這世上沒有什么不能放下的，只要你有足夠的胸襟！一生有多少屬于我們的時(shí)光？當(dāng)你為今天的落日而感傷流淚的時(shí)候，你也將錯(cuò)過了明日的旭日東升；當(dāng)你為過去的遺憾郁郁寡歡，患得患失的時(shí)候，你也將忽略了沿途美麗的風(fēng)景，淡漠了對(duì)未來美好生活的憧憬。沒有十全十美的生活，沒有一帆風(fēng)順的旅途。波平浪靜的人生太乏味，抑郁憂傷的人生少歡樂，風(fēng)雨過后的彩虹最絢麗，歷經(jīng)磨礪的生命才豐盈而深刻。見過了各樣的人生：有的輕浮，有的

18、踏實(shí)；有的喧嘩，有的落寞；有的激揚(yáng)，有的低回。肉體凡胎的我們之所以苦惱或喜悅，大都是緣于生活里的際遇沉浮，走不出個(gè)人心里的藩籬。也許我們能挺得過物質(zhì)生活的匱乏，卻不能抵擋住內(nèi)心的種種糾結(jié)。其實(shí)幸福和歡樂大多時(shí)候是對(duì)人對(duì)事對(duì)生活的一種態(tài)度，一花一世界，一樹一菩提，就是一粒小小的沙子，也有自己精彩的乾坤。 如果想到我們終有一天會(huì)灰飛煙滅，一切象風(fēng)一樣無影亦無蹤，還去爭(zhēng)個(gè)什么？還去抱怨什么？還要煩惱什么？未曾生我誰是我？生我之時(shí)我是誰？長(zhǎng)大成人方是我，合眼朦朧又是誰？ 一生真的沒有多少時(shí)光，何必要和生活過不去，和自己過不去呢。你在與不在，太陽每天都會(huì)照常升起；你愁與不愁，生活都將要繼續(xù)。時(shí)光不會(huì)因你

19、而停留，你卻會(huì)隨著光陰而老去。有些事情注定會(huì)發(fā)生，有的結(jié)局早已就預(yù)見，那么就改變你可以改變的，適應(yīng)你必須去適應(yīng)的。面對(duì)幸與不幸，換一個(gè)角度，改變一種思維，也許心空就不再布滿陰霾，頭上就是一片蔚藍(lán)的天。一生能有多少屬于我們的時(shí)光，很多事情，很多人已經(jīng)漸漸模糊。而能隨著歲月積淀下來，在心中無法忘卻的，一定是觸動(dòng)心靈，甚至是刻骨銘心的，無論是傷痛是歡愉。人生無論是得意還是失意，都不要錯(cuò)過了清早的晨曦，正午的驕陽，夕陽的絢爛，暮色中的朦朧。經(jīng)歷過很多世態(tài)炎涼之后，你終于能懂得：誰會(huì)在乎你？你又何必要?jiǎng)e人去在乎？生于斯世，赤條條的來，也將身無長(zhǎng)物的離開，你在世上得到的，失去的，最終都會(huì)化作塵埃。原本就不

20、曾帶來什么，所以也談不到失去什么，因此，對(duì)自己經(jīng)歷的幸與不幸都應(yīng)懷有一顆平常心有一顆平常心，面對(duì)人生小小的不如意或是飛來橫禍就能坦然接受，知道人有旦夕禍福，這和命運(yùn)沒什么關(guān)系；有一顆平常心，面對(duì)臺(tái)下的鮮花掌聲和頭上的光環(huán)，身上的浮名都能清醒看待。花不常開，人不常在。再熱鬧華美的舞臺(tái)也有謝幕的時(shí)候；再奢華的宴席，悠揚(yáng)的樂曲，總有曲終人散的時(shí)刻。春去秋來，我們無法讓季節(jié)停留；同樣如同季節(jié)一樣無法挽留的還有我們匆匆的人生。誰會(huì)在乎你？生養(yǎng)我們的父母?？v使我們有千般不是，縱使我們變成了窮光蛋，唯有父母會(huì)依然在乎！為你愁，為你笑，為你牽掛，為你滿足。這風(fēng)云變幻的世界，除了父母，不敢在斷言還會(huì)有誰會(huì)永遠(yuǎn)的

21、在乎你！看慣太多海誓山盟的感情最后星流云散；看過太多翻云覆雨的友情灰飛煙滅。你春風(fēng)得意時(shí)前呼后擁的都來錦上添花；你落寞孤寂時(shí)，曾見幾人焦急趕來為你雪中送炭。其實(shí)，誰會(huì)在乎你？除了父母，只有你自己。父母待你再好，總要有離開的時(shí)日；再恩愛夫妻，有時(shí)也會(huì)勞燕分飛，孩子之于你，就如同你和父母；管鮑貧交，俞伯牙和鐘子期，這樣的肝膽相照，從古至今有幾人？不是把世界想的太悲觀，世事白云蒼狗，要在紛紛擾擾的生活中，懂得愛惜自己。不羨慕如曇花一現(xiàn)的的流星，雖然燦爛，卻是驚鴻一瞥；寧愿做一顆小小的暗淡的星子，即使不能同日月爭(zhēng)輝，也有自己無可取代的位置其實(shí)，也不該讓每個(gè)人都來在乎自己，每個(gè)人的人生都是單行道，世上絕

22、沒有兩片完全相同的樹葉。大家生活得都不容易，都有自己方向。相識(shí)就是緣分吧，在一起的時(shí)候，要多想著能為身邊的人做點(diǎn)什么，而不是想著去得到和索取。與人為善，以直報(bào)怨，我們就會(huì)內(nèi)心多一份寧靜，生活多一份和諧沒有誰會(huì)在乎你的時(shí)候，要學(xué)會(huì)每時(shí)每刻的在乎自己。在不知不覺間，已經(jīng)走到 了人生的分水嶺，回望過去生活的點(diǎn)滴，路也茫茫，心也茫茫。少不更事的年齡，做出了一件件現(xiàn)在想來啼笑皆非的事情：斜陽芳草里，故作深沉地獨(dú)對(duì)晚風(fēng)夕照；風(fēng)蕭蕭兮，渴望成為一代俠客; 一遍遍地唱著羅大佑的童年 ，期待著做那個(gè)高年級(jí)的師兄；一天天地幻想，生活能轟轟烈烈。沒有刀光劍影，沒有死去活來，青春就在渾渾噩噩、懵懵懂懂中悄然滑過。等到

23、發(fā)覺逝去的美好， 年華的可貴，已經(jīng)被無可奈何地推到了滾滾紅塵。從此，青春就一去不回頭。沒有了幻想和沖動(dòng)，日子就像白開水一樣平淡，寂寞地走過一天天，一年年。涉世之初，還有幾分棱角，有幾許豪情。在碰了壁，折了腰之后，終于明白，生活不是童話，世上本沒有白雪公主和青蛙王子，原本是一張白紙似的人生，開始被染上了光怪陸離的色彩。你情愿也罷，被情愿也罷，生存，就要適應(yīng)身不由己，言不由衷的生活。人到中年，突然明白了許多：人生路漫漫，那是說給還不知道什么叫人生的人說的，人生其實(shí)很短暫，百年一瞬間；世事難預(yù)料，是至理名言，這一輩子，你遇見了誰，擦肩而過了誰，誰會(huì)是你真心的良朋益友，誰會(huì)和你牽手相伴一生，都是最初估計(jì)不到的；沒有跨不過去的坎，只有走不出的心。人生天地間，渺小的如螻蟻、草芥，即便是叱咤風(fēng)云的偉人，安息之處亦不過是黃土一抔。糾結(jié)不清的是情感，放不下手