專題14,極坐標與參數(shù)方程、不等式選講（理科專用）（講）（原卷版）

1、本文格式為word版，下載可任意編輯專題14,極坐標與參數(shù)方程、不等式選講（理科專用）（講）（原卷版） 題 專題 14 極坐標與參數(shù)方程、不等式選講 1【2021 年高考全國卷理數(shù)】在直角坐標系 xoy 中，曲線 c 的參數(shù)方程為2221141txttytì -=ïï+íï=ï+ î，（t 為參數(shù)）以坐 標 原 點 o 為 極 點 ， x 軸 的 正 半 軸 為 極 軸 建 立 極 坐 標 系 ， 直 線 l 的 極 坐 標 方 程 為2 cos 3 sin 11 0 r q r q + + = （1）求 c 和 l 的直角

2、坐標方程；（2）求 c 上的點到 l 距離的最小值 2 【2021年高考江蘇卷數(shù)學】在極坐標系中，已知兩點3, , 2,4 2a bp p æ ö æ öç ÷ ç ÷è ø è ø，直線l的方程為sin 34r qp æ ö+ =ç ÷è ø （1）求a，b兩點間的距離；（2）求點b到直線l的距離 3【2021 年高考全國卷文】已知 a，b，c 為正數(shù)，且滿意 abc=1證明： （1）2 2 21 1 1a b c

3、a b c+ + £ + + ；（2）3 3 3( ) ( ) ( ) 24 a b b c c a + + + ³ + + 4【2021 年高考全國卷理數(shù)】在極坐標系中，o 為極點，點0 0 0( , )( 0) m r q r > 在曲線 : 4sin c r q = 上，直線 l 過點 (4,0) a 且與 om 垂直，垂足為 p （1）當0 =3qp時，求0r 及 l 的極坐標方程； （2）當 m 在 c 上運動且 p 在線段 om 上時，求 p 點軌跡的極坐標方程 5. 【2021 年理數(shù)全國卷 ii】設函數(shù) （1）當 時，求不等式 的解集；（2）若 ，求

4、的取值范圍 一、考向分析： 二、考向講解 考查內容 解 題 技 巧 極坐標與 參數(shù)方程 (1)在將直角坐標化為極坐標求極角 時，易忽視推斷點所在的象限(即角 的終邊的位置) (2)在極坐標系下，點的極坐標不惟一性易忽視 留意極坐標(，)(，2k)，(，2k)(kz)表示同一點的坐標 (3)確定極坐標方程時要留意極坐標系的四要素：極點、極軸、長度單位、角度單位及其正方向，四者缺一不行 (4)討論曲線的極坐標方程往往要與直角坐標方程進行相互轉化當條件涉及"角度'和"到定點距離'時，引入極坐標系將會給問題的解決帶來很大的便利 （5）已知直線 l 經(jīng)過點 m 0 (

5、x 0 ，y 0 )，傾斜角為 ，點 m(x，y)為 l 上任意一點，則直線 l 的參數(shù)方程為î ïíïì xx 0 tcos，yy 0 tsin(t 為參數(shù))。 a.若 m 1 ，m 2 是直線 l 上的兩個點，對應的參數(shù)分別為 t 1 ，t 2 ，則|m 0 m 1|m 0 m 2|t 1 t 2 |，|m 1 m 2|t 2 t 1 | t 2 t 12 4t 1 t 2 。 b若線段 m 1 m 2 的中點為 m 3 ，點 m 1 ，m 2 ，m 3 對應的參數(shù)分別為 t 1 ，t 2 ，t 3 ，則 t 3 t1 t 22。 c若直線

6、 l 上的線段 m 1 m 2 的中點為 m 0 (x 0 ，y 0 )，則 t 1 t 2 0，t 1 t 2 0。 提示：在使用直線參數(shù)方程的幾何意義時，要留意參數(shù)前面的系數(shù)應當是該直線傾斜角的正余弦值，否則參數(shù)不具備該幾何含義。 不等式證明 的基本方法 1.肯定值不等式的求解方法 (1)|ax+b|c,|ax+b|c(c0)型不等式的解法:|ax+b|c-cax+bc, |ax+b|cax+bc 或 ax+b-c,然后依據(jù) a,b 的取值求解即可. (2)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法: 利用肯定值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)數(shù)形結合思想;

7、 利用"零點分段法'求解,體現(xiàn)分類爭論思想. a.令每個肯定值符號的代數(shù)式為零，并求出相應的根； b.將這些根按從小到大排列，把實數(shù)集分為若干個區(qū)間； c.由所分區(qū)間去掉肯定值符號得若干個不等式，解這些不等式，求出解集； d.取各個不等式解集的并集就是原不等式的解集 通過構建函數(shù),利用函數(shù)圖象求解,體現(xiàn)函數(shù)與方程思想. 2.解決肯定值不等式的參數(shù)范圍問題常用以下兩種方法: (1)將參數(shù)分類爭論,將其轉化為分段函數(shù)解決; (2)借助于肯定值的幾何意義,先求出含參數(shù)的肯定值表達式的最值或取值范圍,再依據(jù)題目要求,求解參數(shù)的取值范圍. 由于|xa|xb|與|xa|xb|分別表示數(shù)軸

8、上與 x 對應的點到a，b 對應的點的距離之和與距離之差，因此對形如|xa|xb|c(c0)或|xa|xb|c(c0)的不等式，利用肯定值的幾何意義求解更直觀 (3)應熟記以下轉化:f(x)a 恒成立f(x)min a;f(x)a 恒成立f(x) max a;f(x)a 有解f(x)max a;f(x)a 有解f(x) min a;f(x)a 無解f(x) max a;f(x)a 無解f(x) min a. 3.肯定值不等式的綜合應用 a討論含有肯定值的函數(shù)問題時，依據(jù)肯定值的定義，分類爭論去掉肯定值符號， 考查肯定值不等式的證明： 【例】已知 0 a > ， 0 b> ，3 32

9、 a b + = ，證明：(1)5 5( )( ) 4 a b a b + + ；(2) 2 a b + 【例】已知 a ， b ， c ， d 為實數(shù)，且2 24 a b + = ，2 216 c d + = ，證明： 8 ac bd + 【例】設 , , a b c 均為正數(shù)，且 1 a b c + + = ，證明：（）13ab bc ca + + £ ；（）2 2 21a b cb c a+ + ³ 考查肯定值不等式的解法： 將原函數(shù)轉化為分段函數(shù)，然后利用數(shù)形結合解決問題，這是常用的思想方法 bf(x)a 恒成立f(x) max a. f(x)a 恒成立f(x) m

10、in a. 4.利用綜合法證明不等式時，應留意對已證不等式的使用，常用的不等式有： (1)a 2 0；(2)|a|0； （3）a 2 b 2 2ab；它的變形形式又有(ab) 2 4ab， a2 b 22 èæøöab22 等； (4) ab2 ab(a0，b0)，它的變形形式又有 a 1a 2(a0)，ba ab 2(ab0)， ba ab 2(ab0)等 5.分析法證明不等式的留意事項：用分析法證明不等式時，不要把"逆求'錯誤地作為"逆推'，分析法的過程僅需要尋求充分條件即可，而不是充要條件，也就是說，分析法的思維

11、是逆向思維，因此在證題時，應正確使用"要證'、"只需證'這樣的連接"關鍵詞' 6、證明肯定值不等式|a|b|ab|a|b|.主要的三種方法： （1）利用肯定值的定義去掉肯定值符號，轉化為一般不等式再證明 （2）利用三角不等式|a|b|ab|a|b|進行證明 （3）轉化為函數(shù)問題，數(shù)形結合進行證明 7、當 x 的系數(shù)相等或相反時，可以利用肯定值不等式求解析式形如 ( ) f x x a x b = + + + 的函數(shù)的最小值，以及解析式形如 ( ) f x x a x b = + - + 的函數(shù)的最小值和最大值，否則去肯定號，利用分段函數(shù)的圖

12、象求最值利用柯西不等式求最值時，要留意其公式的特征，以消失定值為目標 【例】設 xÎr ，解不等式 | |+|2 1|2 x x- 考查不等式恒成立問題： 【例】已知函數(shù) f(x)|x1|x2|。 (1)求不等式 f(x)1 的解集。 (2)若不等式 f(x)x 2 xm 的解集非空，求 m 的取值范圍。 【例】已知函數(shù) ( ) ( ) 1, 2 f x x g x t x = - = - . （1）解關于 x 的不等式 ( ) 2 1 f x x > + . （2）若不等式 ( ) ( ) f x g x ³ 對任意的 x r Î 恒成立，求 t 的取值范

13、圍. 考查柯西不等式： 【例】已知 x，y，z 均為實數(shù)，若 xyz1，求證： 3x1 3y2 3z33 3。 【例】已知 a，b，c，d 為實數(shù)，且 a 2 b 2 4，c 2 d 2 16，證明：acbd8。 【例】已知|x2|6x|k 恒成立，求實數(shù) k 的最大值。 考查最值問題： 【例】設函數(shù) ( ) |2 1| | 1| f x x x = + + - (1)畫出 ( ) y f x = 的圖像；(2)當 0, ) xÎ +¥ 時， ( ) f x ax b + ，求 a b + 的最小值 【例】若 x ， y ， z 為實數(shù)，且 2 2 6 x y z + +

14、= ，求2 2 2x y z + + 的最小值 考查參數(shù)范圍問題： 【例】已知函數(shù)2( ) 4 f x x ax = - + + ， ( ) | 1| | 1| g x x x = + + - (1)當 1 a= 時，求不等式 ( ) ( ) f x g x 的解集； (2)若不等式 ( ) ( ) f x g x 的解集包含 1,1 - ，求 a 的取值范圍 【例】已知函數(shù) ( ) | 1| | 2| f x x x = + - - (1)求不等式 ( ) 1 f x 的解集； (2)若不等式2( ) f x x x m - + 的解集非空，求 m 的取值范圍 考查極坐標方程： 【例】【四川

15、省綿陽市 2021 屆高三診斷】在平面直角坐標系 xoy 中，曲線 c 的參數(shù)方程是 （為參數(shù)）以坐標原點o為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線l的極坐標方程為： （1）求曲線 c 的極坐標方程； （2）設直線 與直線 l 交于點 m，與曲線 c 交于 p，q 兩點，已知omopoq）10，求 t 的值. 【例】在直角坐標系 xoy 中，以坐標原點為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線1c 的極坐標方程為 cos 4 r q = . （1）m 為曲線1c 上的動點，點 p 在線段 om 上，且滿意 | | | | 16 om op × = ,求點 p 的軌跡2c 的極

16、坐標方程； （2）設點 a 的極坐標為 (2, )3p，點 b 在曲線2c 上，求 oab 面積的最大值. 考查參數(shù)方程： 【例】在直角坐標系 xoy 中，曲線 c 的參數(shù)方程為3cos ,sin ,xyqq= ìí=î（ 為參數(shù)），直線 l 的參數(shù)方程為 4 ,1 ,x a tty t= + ìí= -î（ 為參數(shù)） . （1）若 a=1，求 c 與 l 的交點坐標；（2）若 c 上的點到 l 的距離的最大值為 17 ，求 a. 考查參數(shù)方程與極坐標互化： 【例】【河南省開封市 2021 屆高三模擬考試】在直角坐標系 xoy 中，直

17、線 l 的參數(shù)方程是1x ty t= +ìíî（t 為參數(shù)），曲線 c 的參數(shù)方程是2 2cos2sinxyjj= + ìí=î（ j 為參數(shù)），以 o 為極點， x 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系 （1）求直線 l 和曲線 c 的極坐標方程； （2）已知射線1op q a = ： （其中02a < < ）與曲線 c 交于 o p ， 兩點，射線22oq q a = + ： 與直線 l 交于 q 點，若 opq d 的面積為 1，求 a 的值和弦長 op 【例】將圓2 21 x y + = 上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?4

18、倍，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?3 倍，得曲線 c ，以坐標原點為極點， x 軸的非負軸分別交于 , a b 半軸為極軸建立極坐標系，直線 l 的極坐標方程為： sin 3 24pr qæ ö+ =ç ÷è ø，且直線 l 在直角坐標系中與 , x y 軸分別交于 , a b 兩點. （1）寫出曲線 c 的參數(shù)方程，直線 l 的一般方程； （2）問在曲線 c 上是否存在點 p ，使得 abp 的面積 3abps = ，若存在，求出點 p 的坐標，若不存在，請說明理由. 【例】已知在直角坐標系 xoy 中，直線 l 的參數(shù)方程為îíì=- =t yt x33，（ t 為參數(shù)），以坐標原點為 極點， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 c 的極坐標方程為 0 3 cos 42= + - q r r （）求直線 l 的一般方程和曲線 c 的直角坐標方程； （）設點 p 是曲線 c 上的一個動點，求它到直線 l 的距離 d 的取值范圍 肯定值不等式的解法 在解決有關肯定值不等式的問題時，充分利用肯定值不等式的幾何意義解決問題能有效避開分類討 論不全面的問題。若用零點