高考數(shù)學 數(shù)列專題復習

1、專題一 數(shù)列【知識框架】【知識要點1】一、數(shù)列的概念1. 數(shù)列是按一定順序排列的一列數(shù)，記作a1,a2,a3an,簡記an. 2. 數(shù)列an的第n項an與項數(shù)n的關系若用一個公式an=f(n)給出，則這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式。 3. 如果已知數(shù)列an的第一項（或前幾項），且任何一項an與它的前一項an-1（或前幾項）間的關系可以用一個式子來表示，即an =f（an-1）或an =f（an-1，an-2），那么這個式子叫做數(shù)列an的遞推公式.4. 數(shù)列可以看做定義域為N*（或其子集）的函數(shù)，當自變量由小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值，它的圖像是一群孤立的點。二、數(shù)列的表

2、示方法：列舉法、圖示法、解析法（用通項公式表示）和遞推法（用遞推關系表示）。三、數(shù)列的分類1.  按照數(shù)列的項數(shù)分：有窮數(shù)列、無窮數(shù)列。 2.  按照任何一項的絕對值是否不超過某一正數(shù)分：有界數(shù)列、無界數(shù)列。 3.  從函數(shù)角度考慮分：（考點）遞增數(shù)列：對于任何nN+，均有an+1 > an遞減數(shù)列：對于任何nN+，均有an+1 < an擺動數(shù)列：例如:1，-1，1，-1，1，-1L- 常數(shù)數(shù)列：例如:6，6，6，6，6，6有界數(shù)列：存在正數(shù)M，使an <M, nN+無界數(shù)列：對于任何正數(shù)M,總有項an,使得|an|>M

3、S1 (n=1)Sn-Sn-1 (n2)四、an與Sn的關系：（考點）1. Sn = a1+a2+a3+an=2. an=【例題1】已知數(shù)列an是遞增數(shù)列,其通項公式為an=n2+n（n=1，2，3） ,則實數(shù)的取值范圍。解析：數(shù)列an的通項公式為an=n2+n（n=1，2，3） 數(shù)列是遞增數(shù)列an+1-an=(n+1)2+(n+1)- n2-n =2n+1+>0 恒成立2n+1+的最小值是3+3+>0 >-3 實數(shù)的取值范圍是（-3，+）【例題2】數(shù)列an的通項公式為an=3n2-28n,則數(shù)列各項中最小項是（ B ）A第項   B第項 

4、60; C第項   D第項解析1：an=f(n)= 3n2-28n，f(n)是一元二次函數(shù)，其圖像開口向上，有最低點，最低點是由于nN+，故取n=4和n=5代入，得到a4=-64，a5=-65，故選擇Banan-1anan+1 3n2-28n3(n-1)2-28(n-1)3n2-28n3(n+1)2-28(n+1) 解析2：設an為數(shù)列的最小項，則有 代入化簡得到解得： 故n=5【練習1】在數(shù)列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x的值為（    ）-2 (n=1)2n-5 (n2)A10   

5、0;   B11      C12        D13【練習2】數(shù)列an的前n項和Sn=n2-4n+1，則anan=【知識要點2等差數(shù)列】1.定義：如果數(shù)列an從第二項起每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫等差數(shù)列的公差。即an-an-1=d（nN+，且n2），或者an+1-an=d（nN+）2. 通項公式：an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d(公式的變形) an=an+b 其中a=d，b= a1-d3

6、.前n項和公式： (公式的變形) Sn=An2+Bn 其中A= B=4. 性質：（1）公式變形（2）如果A=,那么A叫做a和b的等差中項.（3）若為等差數(shù)列，且有k+l=m+n, 則（4）若為等差數(shù)列則是等差數(shù)列，其中p,q均為常數(shù)（5）若為等差數(shù)列，則（k,m）組成公差為md的等差數(shù)列.（6）若分別為的前n項，前2m項，前3m項的和，則,成等差數(shù)列.（7）若設等差數(shù)列，則是等差數(shù)列，其首項與首項相同，公差是公差的（7）非零等差數(shù)列奇數(shù)項與偶數(shù)項的性質若項數(shù)為2n,則S偶-S奇=nd，若項數(shù)為2n-1,則S偶=(n-1)an，S奇=nan， 5. 判斷：定義法：an+1-an=d（nN+） &

7、#160; 中項法： 2an+1=an+ an+2 +=Û 為等差數(shù)列。  通項公式法：an=an+b（a,b為常數(shù)）Û前n項和公式法：Sn=An2+Bn（A,B為常數(shù)）Û【例題1】已知是公差為1的等差數(shù)列，為的前項和，若，則（ B ） （A） （B） （C） （D）解析： d=1 S8=8a1+28 S4=4a1+6 S8=4 S4 a1=0.5 an=a1+(n-1)d a10=【例題2】在等差數(shù)列中，若，則= 10 .解析：因為是等差數(shù)列，所以，即，所以，故應填入【知識要點3等比數(shù)列】1. 定義：如果一個數(shù)列從第二項起

8、，每一項與它的前一項的比等于同一個不為零的常熟，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常熟叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，及2. 通項公式：na1 (q=1) 或 (q1)如果等比數(shù)列的公比為q，那么它的通項公式為.3. 前n項和公式：設等比數(shù)列的公比為q，其前n項和=4. 性質：（1）等比數(shù)列滿足或時，是遞增數(shù)列；滿足或時，是遞減數(shù)列.當q=1時，為常數(shù)數(shù)列；當q<0時，為擺動數(shù)列，且所有奇數(shù)項與同號，所有偶數(shù)項與異號.（2）對于正整數(shù)m,n,p,q,若m+n=p+q,則在等比數(shù)列中，的關系為:（3）若,為等比數(shù)列（項數(shù)相同），則(0),仍是等比數(shù)列.（4）如果a,G,b成等比數(shù)列，那

9、么G叫做a與b的等比中項，且G=±ab。不是任何兩數(shù)都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個等比中項?！纠}1】已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，則數(shù)列的前項和等于 .解析：由題意解得：a1=1，a4=8， q=2，那么【例題2】數(shù)列中為的前n項和，若，則6.解析：an+1=2an數(shù)列是等比數(shù)列，q=2 Sn=126其中a1=2 n=6【知識要點4】（大題）一、考點1：求an：1.歸納法（由特殊到一般即找規(guī)律）由于歸納法求解通項的題目一般在選擇填空常見，較少出現(xiàn)在大題中。2. 利用Sn與an的關系求通項公式由Sn求an時，要分n=1和n2兩種情況討論，然后驗證兩種情況能否用統(tǒng)一的式

10、子表示。若不能，則分段表示.3. 由遞推關系求數(shù)列的通項公式【累加法、累乘法、待定系數(shù)法、階差法（逐差法）、迭代法、對數(shù)變換法、倒數(shù)變換法、換元法（目的是去遞推關系式中出現(xiàn)的根號）、數(shù)學歸納法、不動點法（遞推式是一個數(shù)列通項的分式表達式）、特征根法】1.累加法：若已知且則，即.2.累乘法：若已知且則 ,即3.換元法：若已知且且p）則令,可得（其中）為等比數(shù)列，其中可用待定系數(shù)法求出.【例題1】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。（累加法）解：由得則所以數(shù)列的通項公式為?！纠}2】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。（累乘法）解：因為，所以，則，故所以數(shù)列的通項公式為二、考點2：求Sn：1.公式法：直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求解2.倒序相加法：在數(shù)列中，與首末兩端等“距離”的兩項和相等或可構成能求和的新數(shù)列，可用倒序相加法求此數(shù)列的前n項和。（此法在實際解體過程中并不常用，例子：等差數(shù)列前n項和公式推導）3.錯位相減法：在數(shù)列中，是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，可用錯位相減法求此數(shù)列的前n項和. 4.裂項相消法：把數(shù)列的每一項拆成兩項之差，求和時有些部分可以相互抵消，從而達到求和的目的.5.分組轉化求和法：若一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列組成，則求和時可用分組轉化法分別求和再相加減。即把復雜的通項公式求和的任務轉化為簡單的等差和等比的求和。6.并