高二數學高考復習：導數的應用人教實驗版（B）知識精講

1、用心 愛心 專心高二數學高二數學高考復習：導數的應用高考復習：導數的應用人教實驗版（人教實驗版（B B）【本講教育信息本講教育信息】一. 教學內容：高考復習：導數的應用二. 教學目的：通過高考或模擬題實例探究導數在高考中的應用三. 知識分析：【考點綜述】有關導數的內容，在 2000 年開始的新課程試卷命題時，其考試要求都是很基本的，以后逐漸加深，考查的基本原則是重點考查導數的概念和計算，力求結合應用問題，不過多地涉及理論探討和嚴格的邏輯證明，而近幾年高考試題的設計，特別是 2007 年試題更突出凡函數大題必與導數結合這一特征。本部分的要求一般有三個層次：第一層次是主要考查導數的概念，求導的公式

2、和求導法則；第二層次是導數的簡單應用，包括求函數的極值、單調區(qū)間、證明函數的增減性等；第三層次是綜合考查，包括解決應用問題，將導數內容和傳統(tǒng)內容中有關不等式和函數的單調性等有機地結合在一起，設計綜合題，通過將新課程內容和傳統(tǒng)內容相結合，加強了能力考查力度，使試題具有更廣泛的實際意義，更體現了導數作為工具分析和解決一些函數性質問題的方法，這類問題用傳統(tǒng)教材是無法解決的?！纠}探究】【例 1】 （2003 年煙臺統(tǒng)考）已知函數 f（x）x33ax23（a2）x1 既有極大值又有極小值，則實數 a 的取值范圍是 ?？疾槟康模嚎疾閷档倪\算及利用導數知識求函數的極值等基本知識和分析問題、解決問題的能力

3、。解析：解析：f（x）3x26ax3a6，令 f（x）0，則 x22axa20 又f（x）既有極大值又有極小值 f（x）0 必有兩解，即4a24a80 解得 a1 或 a2。探究：本題通過求函數的導數，將函數問題轉化為一元二次方程來探究，充分體現了函數與方程相互轉化的解題思想與解題策略。【例 2】設函數 f（x）ax32bx2cx4d（a、b、c、dR）的圖象關于原點對稱，且x1 時，f（x）取得極小值。32（1）求 a、b、c、d 的值；（2）當 x1，1時，圖象上是否存在兩點，使得過此兩點的切線互相垂直？試證明你的結論；（3）若 x1，x21，1時，求證：|f（x1）f（x2）|。34考查

4、目的：本題主要考查導數的幾何意義、導數的基本性質和應用、絕對值不等式以及綜合推理能力。解析：解析：（1）函數 f（x）的圖象關于原點對稱，對任意實數 x，都有 f(x)用心 愛心 專心f（x） ax32bx2cx4dax32bx2cx4d，即 bx22d0 恒成立。b0，d0，即 f（x）ax3cx f（x）3ax2c。x1 時，f（x）取得極小值 f（1）0 且 f（1），3232即 3ac0 且 ac 解得 a，c13231（2）證明：當 x1，1時，圖象上不存在這樣的兩點使結論成立，假設圖象上存在兩點 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，使得過這兩點的切線互相垂直，則由 f（x）x2

5、1，知兩點處的切線斜率分別為 k1x121，k2x221，且（x121） （x221）1 （*）x1、x21，1， x1210，x2210（x121） （x221）0，這與（*）相矛盾，故假設不成立（3）證明：f（x）x21，由 f（x）0，得 x1當 x（，1）或（1，）時，f（x）0; 當 x（1，1）時，f（x）0f（x）在1，1上是減函數，且 fmax（x）f（1），fmin（x）f（1）3232在1，1上，|f（x）|32于是 x1，x21，1時，|f（x1）f（x2）|f（x1）|f（x2）|323234故 x1，x21，1時，|f（x1）f（x2）|34探究：若 x0點是 yf（

6、x）的極值點，則 f（x0）0，反之不一定成立；在討論存在性問題時常用反證法；利用導數得到 yf（x）在1，1上遞減是解第（3）問的關鍵【例 3】已知平面向量（，1） （，） a3b2123（1）證明；ab（2）若存在不同時為零的實數 k 和 t，使（t23），kt，xaby abx，試求函數關系式 kf（t） ；y （3）據（2）的結論，討論關于 t 的方程 f（t）k0 的解的情況考查目的：本題考查向量的性質與計算、函數的導數與函數的圖象、函數的圖象與方程根的個數間的關系以及綜合應用能力。解析：解析：（1）（1）0 a b 32123ab（2），0 即（t23）（kt）0 xy x y a

7、bab整理后得ktk（t23） （t23）02aa b 2b0，4，1，a b 2a2b用心 愛心 專心上式化為4kt（t23）0，即 kt（t23）41（3）討論方程t（t23）k0 的解的情況，可以看作曲線 f（t） t（t23）4141與直線 yk 的交點個數于是 f（t） （t21） t（t1） （t1） 4143令 f（t）0，解得 t11，t21當 t 變化時，f（t） 、f（t）的變化情況如下表：t（，1）1（1，1）1（1，）f（t）00f（t）極大值極小值當 t1 時，f（t）有極大值，f（t）極大值21當 t1 時，f（t）有極小值，f（t）極小值21函數 f（t）t（t2

8、3）的圖象如下圖所示，可觀察出：41 （1）當 k或 k時，方程 f（t）k0 有且只有一解；2121（2）當 k或 k時，方程 f（t）k0 有兩解；2121（3）當k時，方程 f（t）k0 有三解2121探究：導數的應用為函數的作圖提供了新途徑?！纠?4】 （2004全國卷22）已知函數 f（x）ln（1x）x，g（x）xlnx（1）求函數 f（x）的最大值；（2）設 0ab，證明：0g（a）g（b）2g（）（ba）ln22ba考查目的：本題主要考查導數的基本性質和應用，對數函數性質和平均值不等式知識以及綜合推理論證的能力。解析：解析：（1）函數 f（x）的定義域為（1，） ，f（x）1x

9、11令 f（x）0，解得 x0當1x0 時，f（x）0; 當 x0 時， f（x）0用心 愛心 專心又 f（0）0，故當且僅當 x0 時，f（x）取得最大值，最大值為 0（2）證法一：g（a）g（b）2g（）2baalnablnb（ab）ln2baaln22lnabbabab由（1）結論知 ln（1x）x0（x1，且 x0）由題設 0ab，得0, 1022baabab 因此，2lnln(1)22ababaabaa 2lnln(1)22babababbb 22lnln022abbaabababab 又，22aababb222lnlnlnln()2ababbababbaababbab2ln()ln

10、2bbaab綜上 0( )( )2 ()()ln22abg ag bgba證法二：( )ln ,( )ln1g xxx g xx設則),2xa(g2)x(g)a (g)x(f.2xalnxln )2xa(g 2)x(g)x(f當 0 xa 時，因此 f(x)在內為減函數；0)x(f(0, )a當 xa 時，因此 f(x)在上為增函數0)x(f( ,)a 從而，當 xa 時，f（x）有極小值 f（a） 即0)b(f, ab, 0)a (f0( )( )2 ()2abg ag bg設，則2ln)ax()x(f)x(g)xaln(xln2ln2xalnxlnxg當 x0 時，因此 g(x)在上為減函

11、數。0)x(g), 0( , 0)b(g, ab, 0)a (g即，綜上，原不等式得證。( )( )2 ()()ln22abg ag bgba【例 5】設函數，其中。2( )ln(1)f xxbx0b （I）當時，判斷函數在定義域上的單調性；21b ( )f x（II）求函數的極值點；( )f x（III）證明對任意的正整數，不等式都成立。n23111ln(1)nnn用心 愛心 專心解：解：（I）由題意知，f(x)的定義域為，1, 222( )211bxxbfxxxx設，其圖象的對稱軸為2( )22g xxxb), 1(21x，min11( )()22g xgb 當時，12b min1( )0

12、2g xb 即在上恒成立。2( )220g xxxb1, 當時，), 1(x. 0)x(f當時，函數在定義域上單調遞增。12b ( )f x1, （II）由（I）得：當時，函數無極值點，12b ( )f x時，0 有兩個相同的解12b 212()2( )1xfxx,21x時，)21, 1(x( )0,fx 時，1,2x ( )0,fx 時，函數在上無極值點。12b ( )f x1, 當時，有兩個不同解，。12b ( )0fx 111 22bx 21122bx 時，0b 111 212bx 211 212bx 即), 1(x), 1(x21時，隨 x 的變化情況如下表：0b )x(f)x(f、x

13、)x, 1(22x),x(2)x(f0)x(f 極小值 由此表可知：時，f(x)有惟一極小值點；0b 21122bx 當時，102b, 12b211x112,1,x x 此時，隨 x 的變化情況如下表：)x(f)x(f、x)x, 1(11x)x,x(212x),x(2)x(f00)x(f 極大值 極小值 用心 愛心 專心由此表可知：時，f(x)有一個極大值點和一個極小值點102b2b211x1；21122bx 綜上所述，時，f(x)有惟一極小值點；0b 2b211x時，f(x)有一個極大值點和一個極小值點；21b02b211x2b211x時，f(x)無極值點。21b （III）當時，函數1b

14、2( )ln(1).f xxx令函數332( )( )ln(1),h xxf xxxx則.1x) 1x(x31x1x2x3)x(h232當時，所以函數 h(x)在上單調遞增，), 0 x, 0)x(h), 0 又, 0)0(h時，恒有即恒成立，), 0(x, 0)0(h)x(h) 1xln(xx23故當時，有，0,x23ln(1)xxx對任意正整數，取則有，n), 0(n1x23111ln(1)nnn所以結論成立。【模擬試題模擬試題】一、選擇題1. 函數，則等于 （ ）332cosyxxxy A. B. 2236sinxxx22312sin3xxx C. D. 22316sin3xxx2231

15、6sin3xxx2. 設，則（0）為 （ ）( )|1 |f xxxf A. 0 B. 1 C. 1 D. 不存在3. 已知曲線，這三條曲線與 x1 的交點分別為23123,2sinyxyxyxA、B、C，又設 k1、k2、k3分別為經過 A、B、C 且分別與這三條曲線相切的直線的斜率，則（ ） A. k1k2k3 B. k3k2k1 C. k1k3k2 D. k3k1k24. 已知 a0，函數在上是單調增函數，則 a 的最大值是（ 3( )f xxax1,)） A. 0 B. 1 C. 2 D. 35. 已知（m 為常數） ，在2，2上有最大值 3，那么此函數在32( )26f xxxm2，

16、2上的最小值為（ ）用心 愛心 專心A. 37 B. 29 C. 5 D. 116. （2004 年浙江高考）設是函數的導函數，的圖象如圖所示，則( )fx( )f x( )yfx的圖象最有可能的是（ ）( )yf x 二、填空題7. 曲線與曲線在交點處的切線的夾角為 。21yxyx8. 已知且，則的取值范圍是( )sin2 ,f xxx xR(1)(2 )0fafaa_。三、解答題9. 已知曲線，求與 C1、C2均相切的直線 l 的方程。2212:(2)CyxCyx 與10. 函數，過曲線上的點的切線方程為32( )f xxaxbxc( )yf x(1,( )Pf xy3x1（1）若時有極值

17、，求的表達式；( )2yf xx 在( )f x（2）在（1）的條件下，求在3，1上的最大值；( )yf x（3）若函數在區(qū)間2，1上單調遞增，求 b 的取值范圍。( )yf x11. 某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量 y（微克）與時間 t（小時）之間近似滿足如圖所示的曲線。（1）寫出服藥后 y 與 t 之間的函數關系式 yf（t） ；（2）據進一步測定：每毫升血液中含藥量不少于 0.25 微克時，治療疾病有效。求服藥一次治療疾病有效的時間？當 t5 時，第二次服藥，問 t時，藥效是否持續(xù)？15,516用心 愛心 專心用心 愛心 專心【試

18、題答案試題答案】1、D 2、B 3、D 4、 D 5、A 6、C7、90 8、 （，1）9、解答：由得，由 ，得；2yx2yx 2(2)yx 2(2)yx 設直線 l 與的切點為的切點為2yx211(,),(2)P x yyx 與22(,)Q xy根據已知條件2112221212112(2)22(2)2yxyxxxyyxxx 整理得121212(2)(2)yyxxxx由得1220 xx即，代入與聯(lián)立可解得 x10 或 x12120yy21yy 當 x10 時，x22；當 x12 時，x20直線 l 過（0，0） 、 （2，0）兩點，或直線過（2，4） 、 （0，4）兩點，因此所求直線方程為 y

19、0 或 y4x4。10、解：（1）由求導數得過32( )f xxaxbxc2( )32fxxaxb上點的切線方程為：( )yf x(1,(1)Pf，(1)(1)(1),(1)(32)(1)yffxyabcab x即而過上，的切線方程為( )yf x(1,(1)Pf31yx故 即 32321ababc203ababc在 x2 時有極值，故0 ( )yf x( 2)f 412ab 由式聯(lián)立解得，2,4,5abc 32( )245f xxxx（2）22( )32344(32)(2)fxxaxbxxxxx 32) 22( 2, )3232( ,13( )fx00( )f x極大極小，32( )( 2)( 2)2( 2)4( 2)513f xf 極大，在3，1上的最大值為 13。3(1)12 14 154f ( )f x（3）