二次函數(shù)根的分布(共11頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上二次方程根的分布與二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值歸納1、一元二次方程根的分布情況設(shè)方程的不等兩根為且，相應(yīng)的二次函數(shù)為，方程的根即為二次函數(shù)圖象與軸的交點，它們的分布情況見下面各表（每種情況對應(yīng)的均是充要條件）表一：（兩根與0的大小比較即根的正負(fù)情況）分布情況兩個負(fù)根即兩根都小于0兩個正根即兩根都大于0一正根一負(fù)根即一個根小于0，一個大于0大致圖象（）得出的結(jié)論大致圖象（）得出的結(jié)論綜合結(jié)論（不討論）表二：（兩根與的大小比較）分布情況兩根都小于即兩根都大于即一個根小于，一個大于即大致圖象（）得出的結(jié)論大致圖象（）得出的結(jié)論綜合結(jié)論（不討論）表三：（根在區(qū)間上的分布）分布情況

2、兩根都在內(nèi)兩根有且僅有一根在內(nèi)（圖象有兩種情況，只畫了一種）一根在內(nèi)，另一根在內(nèi)，大致圖象（）得出的結(jié)論或大致圖象（）得出的結(jié)論或綜合結(jié)論（不討論）根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間外，即在區(qū)間兩側(cè)，（圖形分別如下）需滿足的條件是 （1）時，； （2）時，對以上的根的分布表中一些特殊情況作說明：（1）兩根有且僅有一根在內(nèi)有以下特殊情況： 若或，則此時不成立，但對于這種情況是知道了方程有一根為或，可以求出另外一根，然后可以根據(jù)另一根在區(qū)間內(nèi)，從而可以求出參數(shù)的值。如方程在區(qū)間上有一根，因為，所以，另一根為，由得即為所求； 方程有且只有一根，且這個根在區(qū)間內(nèi)，即，此時由可以求出參數(shù)的值，

3、然后再將參數(shù)的值帶入方程，求出相應(yīng)的根，檢驗根是否在給定的區(qū)間內(nèi)，如若不在，舍去相應(yīng)的參數(shù)。如方程有且一根在區(qū)間內(nèi)，求的取值范圍。分析：由即得出；由即得出或，當(dāng)時，根，即滿足題意；當(dāng)時，根，故不滿足題意；綜上分析，得出或根的分布練習(xí)題例1、已知二次方程有一正根和一負(fù)根，求實數(shù)的取值范圍。解：由 即 ，從而得即為所求的范圍。例2、已知方程有兩個不等正實根，求實數(shù)的取值范圍。解：由 或即為所求的范圍。例3、已知二次函數(shù)與軸有兩個交點，一個大于1，一個小于1，求實數(shù)的取值范圍。解：由 即 即為所求的范圍。例4、已知二次方程只有一個正根且這個根小于1，求實數(shù)的取值范圍。解：由題意有方程在區(qū)間上只有一個

4、正根，則 即為所求范圍。（注：對于可能出現(xiàn)的特殊情況方程有且只有一根且這個根在內(nèi)，由計算檢驗，均不復(fù)合題意，計算量稍大）1二次函數(shù)及圖象 設(shè)有一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)，判別式=b2-4ac，當(dāng)0時y=f(x)與x軸有二交點；當(dāng)=0時，y=f(x)與x軸僅有一交點；當(dāng)0時，y=f(x)與x軸無交點當(dāng)0時，設(shè)y=f(x)圖象與x軸兩交點為x1x2一元二次函數(shù)y=f(x)與x軸交點x1，x2就是相應(yīng)一元二次方程f(x)=0的兩根觀察圖象不難知道圖像為觀察圖象不難知道=0，a0, =0，a0當(dāng)0時，y=f(x)圖象與x軸無公共點，其圖象為觀察圖象不難知道a0時,絕對不等式f(x)0解為

5、xRa0時,絕對不等式f(x)0解為xR2討論一元二次方程的根的分布情況時，往往歸結(jié)為不等式（組）的求解問題，其方法有3種：（1）應(yīng)用求根公式；（2）應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系；（3）應(yīng)用二次函數(shù)圖象在進行轉(zhuǎn)化時，應(yīng)保證這種轉(zhuǎn)化的等價性就這三種方法而言，應(yīng)用二次函數(shù)圖象和性質(zhì)應(yīng)是比較簡捷的一種方法設(shè)f（x）=ax2bxc（a0），方程ax2bxx=0的個根為，（），m，n為常數(shù)，且nm，方程根的分布無外乎兩種情況：，同居一區(qū)間時，不但要考慮端點函數(shù)值的符號，還要考慮三、好題解給你 (1)  預(yù)習(xí)題 1. 設(shè)有一元二次函數(shù)y2x2-8x+1試問，當(dāng)x3，4時，隨x變大，y的值變大還是變??？由此y

6、f(x)在3，4上的最大值與最小值分別是什么？解：經(jīng)配方有y2(x-2)2-7 對稱軸x2，區(qū)間3，4在對稱軸右邊，yf(x)在3，4上隨x變大，y的值也變大，因此ymax=f(4)1 yminf(3)-52.設(shè)有一元二次函數(shù)y2x2-4ax+2a2+3試問，此函數(shù)對稱軸是什么？當(dāng)x3，4時，隨x變大，y的值是變大還是變小？與a取值有何關(guān)系？由此，求yf(x)在3，4上的最大值與最小值解：經(jīng)配方有y2(x-a)2+3 對稱軸為x=a當(dāng)a3時，因為區(qū)間3，4在對稱軸的右邊，因此，當(dāng)x3，4時，隨x變大，y的值也變大當(dāng)3a4時，對稱軸x=a在區(qū)間3，4內(nèi)，此時，若3xa，隨x變大，y的值變小，但若

7、ax4，隨x變大，y的值變大當(dāng)4a時，因為區(qū)間3，4在對稱軸的左邊，因此，當(dāng)x3，4時，隨x變大，y的值反而變小根據(jù)上述分析，可知當(dāng)a3時，ymax=f(4)=2a2-16a+35ymin=f(3)2a2-12a+21當(dāng)3a4時，yminf(a)3其中，a3.5時，ymaxf(4)2a2-16a+35a3.5時，ymaxf(3)2a2-12a+21當(dāng)a4時，ymaxf(3)2a2-12a+21yminf(4)2a2-16a+35(1) (2)  基礎(chǔ)題 例1設(shè)有一元二次方程x2+2(m-1)x+(m+2)0試問：(1)m為何值時，有一正根、一負(fù)根(2)m為何值時，有一根大于1、另一根

8、小于1(3)m為何值時，有兩正根(4)m為何值時，有兩負(fù)根(5)m為何值時，僅有一根在1，4內(nèi)？解：(1)設(shè)方程一正根x2，一負(fù)根x1，顯然x1、x20，依違達定理有m+20 m-2 反思回顧：x1、x20條件下，ac0，因此能保證0(2)設(shè)x11，x21，則x1-10，x2-10只要求(x1-1)(x2-1)0，即x1x2-(x1+x2)+10依韋達定理有 (m+2)+2(m-1)+10 (3)若x10，x20，則x1+x20且x1，x20,故應(yīng)滿足條件依韋達定理有(5)由圖象不難知道，方程f(x)0在3，4內(nèi)僅有一實根條件為f(3)·f(4)0，即9+6(m-1)+(m+2)&#

9、183;16+8(m-1)+(m+2)0(7m+1)(9m+10)0 例2. 當(dāng)m為何值時，方程 有兩個負(fù)數(shù)根？解：負(fù)數(shù)根首先是實數(shù)根， ，由根與系數(shù)關(guān)系：要使方程兩實數(shù)根為負(fù)數(shù)，必須且只需兩根之和為負(fù)，兩根之積為正由以上分析，有即 當(dāng) 時，原方程有兩個負(fù)數(shù)根 (3)  應(yīng)用題例1. m取何實數(shù)值時，關(guān)于x的方程x2+（m-2）x5-m=0的兩個實根都大于2？解：設(shè)f（x）=x2+（m-2）x+5-m，如圖原方程兩個實根都大于2所以當(dāng)-5m-4時，方程的兩個實根大于2例2已知關(guān)于x方程：x2-2axa0有兩個實根，且滿足01，2，求實根a的取值范圍解：設(shè)f（x）=x2-2a

10、xa，則方程f（x）=0的兩個根，就是拋物線y=f（x）與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)，如圖01，2的條件是：1，2例3m為何實數(shù)時，關(guān)于x的方程x2+（m-2）x5-m=0的一個實根大于2，另一個實根小于2.解：設(shè)f（x）=x2（m-2）x5-m，如圖，原方程一個實根大于2，另一個實根小于2的充要條件是f（2）0，即42（m-2）5-m0解得m-5所以當(dāng)m-5時，方程的一個實根大于2，另一個實根小于2(2) (4)  提高題例1已知函數(shù) 的圖象都在x軸上方，求實數(shù)k的取值范圍解：（1）當(dāng) ，則所給函數(shù)為二次函數(shù)，圖象滿足：  ，即 解得： （2）當(dāng) 時， 若 ，則 的圖象不可能

11、都在x軸上方， 若 ，則y=3的圖象都在x軸上方 由（1）（2）得： 反思回顧：此題沒有說明所給函數(shù)是二次函數(shù)，所以要分情況討論 例2已知關(guān)于x的方程（m-1）x2-2mxm2+m-6=0有兩個實根，且滿足01，求實數(shù)m的取值范圍解：設(shè)f(x)=x2-2mx+m2m-6，則方程f（x）=0的兩個根，就是拋物線y=f（x）與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)如圖，01的條件是 解得例3已知關(guān)于x的方程3x2-5xa=0的有兩個實根，滿足條件（-2，0），（1，3），求實數(shù)a的取值范圍解：設(shè)f（x）=3x2-5xa，由圖象特征可知方程f（x）=0的兩根，并且（-2，0），（1，3）的 解得-12a0四、課后演

12、武場 1.已知方程(m-1)x2+3x-1=0的兩根都是正數(shù)，則m的取值范圍是（ B ）A B C D 2.方程 x2+(m2-1)x+(m-2)=0的一個根比1大，另一個根比-1小，則m的取值范圍是（ C ）A0m2B-3m1C-2m0D-1m13.已知方程 有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（ C ）A B C D 4已知關(guān)于x的方程3x2+（m-5）x7=0的一個根大于4，而另一個根小于4，求實數(shù)m的取值范圍可知方程f（x）=0的一根大于4，另一根小于4的充要條件是：f（4）0）5已知關(guān)于x的方程x22mx2m3=0的兩個不等實根都在區(qū)間（0，2）內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍征可知方程f（

13、x）=0的兩根都在（0，2）內(nèi)的充要條件是2、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大、最小值問題探討設(shè)，則二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大、最小值有如下的分布情況：即圖象最大、最小值對于開口向下的情況，討論類似。其實無論開口向上還是向下，都只有以下兩種結(jié)論：（1）若，則，；（2）若，則，另外，當(dāng)二次函數(shù)開口向上時，自變量的取值離開對稱軸越遠(yuǎn)，則對應(yīng)的函數(shù)值越大；反過來，當(dāng)二次函數(shù)開口向下時，自變量的取值離開對稱軸軸越遠(yuǎn)，則對應(yīng)的函數(shù)值越小。二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值練習(xí)二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值，討論的情況無非就是從三個方面入手：開口方向、對稱軸以及閉區(qū)間，以下三個例題各代表一種情況。例1、函數(shù)在上有最大值5和最小值2，求的值。解：對稱軸，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)。（1）當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故 ；（2）當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，故 例2、求函數(shù)的最小值。解：對稱軸 （1）當(dāng)時，；（2）當(dāng)時，；（3）當(dāng)時，改：1本題若修改為求函數(shù)的最大值，過程又如何？解：（1）當(dāng)時，；