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文檔簡介

1、柯莫哥洛夫與斯米爾諾夫檢驗一、柯莫哥洛夫檢驗設總體 X 的分布函數(shù)為,是 x 的連續(xù)函數(shù)。是來自 X 的樣本。設要檢驗的原假設是:這里要保證是一個已知的特定的連續(xù)分布函數(shù),且不含任何未知參數(shù)。要進行假設檢驗首先要構造檢驗統(tǒng)計量,這里構造檢驗統(tǒng)計量的思路是從樣本經(jīng)驗分布入手。定義樣本的經(jīng)驗分布函數(shù),這里的表示為:其中的為如下的示性函數(shù):這里要指出,時相互獨立同分布與的隨機變量。證明如下:于是有服從退化分布。又由于,所以,是的無偏估計。再由,Bernoulli大數(shù)定律于是,是的相合估計.在由中心極限定理可以知道:對于固定的X,在n較大的時候有漸進正態(tài)分布進一步有:通過以上的推導,我們似乎找到了一個

2、合適的檢驗統(tǒng)計量,它的分布是已知的,如果越大則越傾向于拒絕原假設。但是這里的分布的收斂性是對逐點收斂的,而不是一致收斂,因此并不適合用于構造檢驗統(tǒng)計量。我們還需進一步的處理樣本。在這里需要介紹格里文科定理:對于任給的自然數(shù)n,設是取自總體分布函數(shù)一組樣布觀察指標,為其經(jīng)驗分布函數(shù),記則有:這里的幾乎處處以概率1趨于0,但是我們還需要進一步的探討其精確或者漸進分布。我們可以獲得如下定理:TH1:設是連續(xù)的分布函數(shù), y為任意實數(shù),在原假設為真時:這里的定理獲得的分布是精確的分布,并且不要求的具體形式,只要求是連續(xù)分布函數(shù),因此該定理的分布函數(shù)與的形式無關,至于樣本量有關。顯然,最大距離越大,越傾

3、向于拒絕原假設,故檢驗的拒絕域應有形式。對于給定的顯著性水平(0<<1),有定理給出的精確分布定出分布的上側分位數(shù),使得:。其中,但是,當n>100時,利用上面的定理計算的分位數(shù)已非常繁瑣,這時可以用柯爾莫哥洛夫對給出的漸進分布計算拒絕域。TH2:設理論分布是連續(xù)分布函數(shù),且不含任何未知參數(shù),則在原假設為真且n趨于無窮時:(*)該定理給出了最大距離的漸進分布。由于對原假設做出做檢驗時的拒絕域任為,故對給定的顯著性水平(0<<1),可用定理給出的上側分位數(shù),使:或其中,二、斯米爾諾夫檢驗斯米爾諾夫檢驗主要用于檢驗兩個總體的真分布是否相同.其檢驗的思想方法與柯莫哥洛夫檢驗類似。設是來自具有連續(xù)分布函數(shù)的總體X中的樣本,設是來自具有連續(xù)分布函數(shù)的總體 Y 中的樣本,且假定兩個樣本相互獨立。欲檢驗假設::vs :構造檢驗統(tǒng)計量為:其中和分別是這兩個樣本所對應的經(jīng)驗分布函數(shù)。當不真時,統(tǒng)計量有偏大的趨勢??梢垣@得如下定理:TH1:如果,且為連續(xù)函數(shù),則有:其中x為任意實數(shù), .TH2:如果定理TH1所述條件成立,則有其中K(x)由式(*)定義由定理1可見,統(tǒng)計量的精確分布不依賴于總體的真分布函數(shù),以上兩個定理提供了比較兩個總體的分布函數(shù)的方法。對于給

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