2014春季高一 第12講 圓的初步 教師版 尖子班

1、 講12第 圓的初步 滿分晉級(jí) 級(jí)3解析幾何 橢圓初步 級(jí)解析幾何2 圓的初步 級(jí)解析幾何1 直線方程六大考點(diǎn) 新課標(biāo)剖析 當(dāng)前145分 圓的方程在近五年北京卷（理）考查 形勢(shì)要求層次 具體要求 內(nèi)容C A B 掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般 高考 程方程 要求 掌握直線與圓的位置關(guān)系，會(huì)求圓的切線方程、弦長(zhǎng) 直線與圓的位置關(guān)系 等有關(guān)直線與圓的問(wèn)題 兩圓的位置關(guān)系掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系，會(huì)求圓的公共弦方程 2012年（新課標(biāo)） 年2008 2009年 北京 高考 解讀第2題 5分 題第7 分14題19 5分第 知識(shí)切片 小時(shí)小時(shí)，所以本講建議講2【教師備案】因

2、為直線方程建議講了4 圓的方程12.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1：考點(diǎn) 知識(shí)點(diǎn)睛 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1.222 為半徑的圓的方程：以點(diǎn)為圓心， r)a)?(y?b(x?)ba，C(r 222 圓心在原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ryx? 我們知道，平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓，【教師備案】 y ? 為圓心，定點(diǎn)是圓心，定長(zhǎng)是圓的半徑現(xiàn)在我們來(lái)求以 ，aCbM?yx，M在為半徑的圓的方程設(shè)上的任意一點(diǎn)點(diǎn)是CrMC CM?r也就是說(shuō)，如果點(diǎn)在上的條件是上，則CCM x rCM?CM?r上由兩點(diǎn)間的距，則點(diǎn)，反之，如果在CM 22?r?yx?a?b? 離公式，所說(shuō)條件可轉(zhuǎn)化為方程表示： y22?2 x?ar?

3、y?b?顯然，兩邊平方，得上任意一C )x, yP(?y，xr適合方程點(diǎn)的坐標(biāo)；如果平面上一點(diǎn)的坐標(biāo)MMO?x CM?yrx，則點(diǎn)在適合方程，可得上因此方程CM ?aCb，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的方程，叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)r方程特別地，如果圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，這時(shí)，圓的標(biāo)0?0，b?a222ryx?準(zhǔn)方程就是 22?2，ab?bax?y?r ，半徑為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心它體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)，r圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直接給出了圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)，突出了確定一個(gè)圓的基本要素，因此， 有利于畫出圖形 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中共有三個(gè)待定系數(shù)，只要確定出這三個(gè)量的值，圓的方程即被 rb，a，確定因此確定圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立的條件，其

4、中圓心是圓的定位條件，半徑是圓的 定形條件 22? 方程：t?x?a?by? 時(shí)，表示圓心為的圓； 當(dāng)，半徑為，Cbat0t?時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)當(dāng)； ，Cba0?t當(dāng)時(shí)，不表示任何圖形 0?t 2. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 22?2，圓心圓的標(biāo)準(zhǔn)方程， ，半徑r?y?a?bx，Abar22?2yxM， 在圓上，則若點(diǎn)；ry?a?b?x?000022?2 在圓外，則；若點(diǎn)yx，Mr?y?x?ab?000022?2 ；反之，也成立在圓內(nèi)，則若點(diǎn)yx，Mrx?ab?y?0000【教師備案】判斷點(diǎn)與圓的位置的方法是由兩點(diǎn)間的距離公式，求出該點(diǎn)到圓心的距離，再與圓的半 徑比較大小即可? ，半徑長(zhǎng)等于的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

5、，并判斷點(diǎn)，是例：寫出圓心為7?35，MA?2，515M?，?12 否在這個(gè)圓上，若不在這個(gè)圓上，是在圓內(nèi)還是在圓外？22?253?y?x?2的，半徑長(zhǎng)等于心為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是把【解析】 圓7A?2，3，M?55122?25?7?5?23?在的坐標(biāo)適合圓的方程，坐標(biāo)代入上述方程中，有即點(diǎn)可知點(diǎn)MM11?22? ，的坐標(biāo)代入上述方程中，把有這個(gè)圓上；25?4?5?1?313?5?21?M?5，2 不在這個(gè)圓上，而在這個(gè)圓內(nèi)可知點(diǎn)M2 3. 確定圓的方法要求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程必須求出圓心和半徑確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的主要方法是待定系數(shù)法，即列出 的方程組，一般步驟為：r，a，b22?2 ；根據(jù)題意，設(shè)所求的

6、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程r?x?ab?y 根據(jù)已知條件，建立關(guān)于的方程組；ra，b， 的值，并把它們代入所設(shè)的圓的方程中，就得到所求圓的方程解方程組，求出r，ba 【教師備案】特殊位置的圓的方程條件 方程形式 過(guò)原點(diǎn)?22?2222 0?a?bx?a?a?ybb 圓心在軸上x2?220r?ar?y?x y 軸上圓心在?2?222 0?rbrx?y? 軸上且過(guò)原點(diǎn)圓心在x2?220?aax?a?y 圓心在軸上且過(guò)原點(diǎn)y2?220?ybb?bx 與軸相切x22?20?b?xab?y?b? y 軸相切與22?20?xa?yb?aa? ?22?2 0ay?b?x?aab? 與兩坐標(biāo)軸都相切 經(jīng)典精講 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

7、【例1】 寫出下列各圓的方程? ；經(jīng)過(guò)點(diǎn)，圓心為2，?6，32? 經(jīng)過(guò)點(diǎn)為直徑，且以線段，16，BA?4，?5AB 【解析】 22? 所求圓的方程為41y?2x?2? 22? 所求圓的方程為29?yx?1?3 的交點(diǎn)為圓心，且與軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【備選】求以兩直線，4y:x?y?5?l:2x?lx2122? 所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【解析】4?y?x?3?2 圓的一般方程考點(diǎn)2： 知識(shí)點(diǎn)睛 圓的一般方程12222 ），（0?Dx?Ey?y?Fx?0?D4?EF22 和說(shuō)明：項(xiàng)的系數(shù)相等且都不為零；yx 這樣的二次項(xiàng)沒(méi)有xyED1? 22 表示以為圓心，為半徑的圓?,?F?ED4? 222? 22

8、是否表示圓例：二元二次方程0?y4?2x?32xy?322 和的系數(shù)不相等，方程不表示圓【解析】 yx 22?222222 展開，得【教師備案】將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，ry?b?x?a0?r?b?y2?ax?2by?a?x?22?0Ey?Fx?y，?Dx? 由此可見，圓的方程具有如下形式： 其中為常數(shù)F，D，E? 那么，形如的方程是否都表示圓呢？221DE?2222F?x?y?D?E4 配方，得，將方程0F?x?yDx?Ey? 422? 與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程比較，可知：DE1? ?2222? 時(shí)，方程為圓心，表示以當(dāng)為半徑?，0DE?F?4?FD?E?4? 222?的圓； ED?22?只有一個(gè)解，表示一個(gè)點(diǎn)

9、時(shí)，方程當(dāng)； ?，0D?F?4?E? 22?22無(wú)實(shí)數(shù)解，它不表示任何圖形 當(dāng)時(shí)，方程?0?4EF?D 22表示一個(gè)圓的方程，則的取值范圍是（ 例：若） 0m?x?xy?y?m111A B C D 2?m?mm?m 222【解析】 A 2 如何選用圓的方程 圓的方程有標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，求哪一種都需要三個(gè)獨(dú)立條件，都要用到待定系數(shù)法，但要靈活選用圓的方程的形式，以便簡(jiǎn)化計(jì)算 一般來(lái)說(shuō)如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑來(lái)列方程的問(wèn)題一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用待定系數(shù)法求出； r，b，a如果已知條件和圓心或半徑都無(wú)直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再利用待定系數(shù)法求出常數(shù)

10、F，E，D ?且圓心在、例：求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)軸上的圓的方程； y23AB?1，4，求過(guò)三點(diǎn)，的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑和圓心坐標(biāo) 2)，?C(44)A(1，?1)，B(12?2 圓的方程是【解析】10y?1x? 22 所求圓的方程為0?3yx?y2?7x? 3725? 半徑，圓心，?r? 222? 【教師備案】老師可以配合知識(shí)點(diǎn)睛中的例子先講圓的一般方程以及一般方程表示圓的條件，然后讓學(xué)生做例2以及相應(yīng)班次的學(xué)案；最后再根據(jù)知識(shí)點(diǎn)睛中的例子講如何選用圓的方程，然后再做例3和相應(yīng)班次的學(xué)案 經(jīng)典精講 22 方程表示圓的條件【例2】0?F?y?Dx?xEy 判斷下列方程是否表示圓，若是，求出圓心和半徑

11、122 ；0?y?xx 4?220a?2ax?x?y0 ；220?y1?2xay? ； 的值為多少？ 【追問(wèn)】若表示圓，則當(dāng)圓的面積最小時(shí)， a2220?20xx?y16 220m?y?5?ymx?4?x2 解法一：【解析】 211?20y?x? 表示一個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)為；0，? 22?2?22 0?aa?x?a?ya?a，r?0 ；表示圓，圓心，半徑 2?222ar?1a，0?aa?xy?1? ；，半徑表示圓，圓心 【追問(wèn)】當(dāng)時(shí)，圓的面積取最小值 0?a2?222 ，不表示任何圖形0?10?x?1016?y1 ?2時(shí)表示圓，圓心為 或，半徑為1?5m?4m，m1?21?m?m 41 當(dāng)時(shí)，方程不表

12、示圓 1m 4 2m22 ）【備選】若直線經(jīng)過(guò)圓的圓心，則等于（ 0x?5y?3?0?y?mx?2y?1xm 4 或 D C或 A B 16?16160160 A【解析】 求圓的一般方程 【例3】已知三邊所在直線方程，求此三 0?28?0yCA:xBC:x?2y?0?:x?6ABCAB角形外接圓的方程 ?求過(guò)原點(diǎn)及 且在軸上截得的線段長(zhǎng)為的圓的方程1，A13x 【解析】 2122 030?x?x4?yy? 2 2222所求圓的方程為或 0y?y?03xx?yx?y?3x5 12.2直線（圓）與圓的位置關(guān)系 考點(diǎn)3：直線與圓的位置關(guān)系 知識(shí)點(diǎn)睛 直線與圓的位置關(guān)系：1 直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)

13、； 直線與圓相切，有一個(gè)公共點(diǎn)； 直線與圓相離，沒(méi)有公共點(diǎn) 直線與圓的位置關(guān)系的判定有兩種方法：222 的位置關(guān)系，代數(shù)法：判斷直線和圓0?Ey?Fx?y?Dx0?By?C?Ax0C?Ax?By?22 （或（或）可將消去），得y0?mx?nxp?0?p?ny?myx?220?EyF?x?yDx? 當(dāng)時(shí)，直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；0? 時(shí)，直線與圓相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)0? 時(shí)，直線與圓相離，無(wú)公共點(diǎn)當(dāng)0?22?2離距直線的，和何法：已知直線圓可用圓心到 幾r?x?ab?y0C?AxBy? CBb?Aa?與的大小關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系 ?dr22BA? 時(shí)，直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)

14、 rd? 當(dāng)時(shí)，直線與圓相切，有一個(gè)公共點(diǎn)； r?d 當(dāng)時(shí)，直線與圓相離，無(wú)公共點(diǎn)； rd?<教師備案>一般的，判定直線與圓的位置關(guān)系都用幾何法，代數(shù)法在圓錐曲線才會(huì)常用。 例：判斷下列直線與圓的位置關(guān)系 2?2 圓：；，直線：4y?x2?0?4y?43x?Cl22? ，直線圓：；9?12?yx?Cl03?x?y?22? 圓：，直線：25y?x?52?Cl08?x?y?2 【解析】 相切圓與直線Cl 相交圓與直線Cl 圓與直線相離Cl 經(jīng)典精講 22 為何值時(shí)，當(dāng)【鋪墊】已知圓的方程是，直線2?y?xbb?x?y 圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)； 圓與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)； 圓與直線沒(méi)有公共點(diǎn)

15、 b ? 到直線的距離【解析】 圓心，圓的半徑00O，2r?db?xy2 時(shí)，直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；2?b?2 或時(shí)，直線與圓有一個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)2?b?2b 時(shí)，直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn) 當(dāng)或2?b?2?b 判斷直線與圓的位置關(guān)系 【例4】?220P，48?yx這條直線與，定點(diǎn)已知圓問(wèn)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，P 已知圓：相切，相交，相離 【解析】 時(shí)，直線與圓相切當(dāng)1?k? 當(dāng)時(shí)，直線與圓相交1?k?1? 或 時(shí)，直線與圓相離1?k1?k 圓的切線問(wèn)題：4考點(diǎn) 知識(shí)點(diǎn)睛 1圓的切線的性質(zhì) 切點(diǎn)與圓心的連線與切線垂直； 圓心到切線的距離恰為半徑； r 過(guò)圓外一點(diǎn)一定有兩條切線，而過(guò)圓上一點(diǎn)

16、有且只有一條切線 2求圓的切線的一般方法對(duì)于過(guò)已知圓上的一點(diǎn)求切線，可利用切線的性質(zhì)；切點(diǎn)與圓心的連線與切線垂直求得切線的斜 率，從而用點(diǎn)斜式求得切線的方程?2222 上時(shí)，切線方程為在圓；當(dāng)點(diǎn)yx，rxxx?yyy?r?000022?22 若點(diǎn)上，則切線方程為在圓yx，ry?by?xa?bx?a?r?by?x?a?0000然后用>由切點(diǎn)與圓心的連線與切線垂直，可以得到切線的斜率（注意斜率不存在的情況），<教師備案 點(diǎn)斜式求方程即可。?，因?yàn)榕c 點(diǎn)在圓外，則設(shè)切線方程為，變成一般式xy?xk?yx，y?0kx?kx?y?y?000000，注意若此方程只有一個(gè)實(shí)根，則還有一條斜率圓相

17、切，利用圓心到直線距離等于半徑，解出k 不存在的直線，務(wù)必要補(bǔ)上 經(jīng)典精講 】求圓的切線方程 【例522 求由下列條件確定的圓的切線方程：4yx? 03，Q ；切線斜率為；經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)13，P1?22?12，P? ，的切線，點(diǎn)、已知圓，過(guò)點(diǎn)作圓2?2yC:x?1?CPPBPA 、為切點(diǎn)求所在直線的方程和的長(zhǎng)度PAPBPA、BAPA 【解析】 0y?4?3x? 0?6?2x?5y 0?22yx? 所求切線的方程分別是和0?y?15x?y?1?07xPBPA、 ?PA 22 2?2，31M4y?x?1?求過(guò)點(diǎn)，且與圓 的方程相切的直線l 或的方程是 【解析】直線0?4x3?y13?3?xl 考點(diǎn)5

18、：弦長(zhǎng)問(wèn)題 知識(shí)點(diǎn)睛 直線與圓相交被圓截得的弦長(zhǎng)的計(jì)算方法： 1將直線的方程與圓的方程聯(lián)立，解得兩交點(diǎn)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求弦長(zhǎng)；2m?22rd?，即由半徑長(zhǎng)、弦心距、半徑組成的勾，半徑為，則有2設(shè)弦長(zhǎng)為，弦心距為drm? 2? 股關(guān)系 在求解弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，一般不求交點(diǎn)坐標(biāo)，而通常用由半徑長(zhǎng)、弦心距、半徑組成的勾股關(guān)系 22 兩點(diǎn)，則_例：直線與圓相交于?AB8yx?BA2y?5?0，x? 【解析】32 經(jīng)典精講 】 弦長(zhǎng)問(wèn)題【例6 3?2225yx? ，求此弦所在直線的方程直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)被圓截得的弦長(zhǎng)為?，P?38? 2?3?22?3，P?25y?x? 相交，求出弦長(zhǎng)的最小值以及此時(shí)的直線方

19、程的直線與圓【追問(wèn)】若過(guò)點(diǎn)? 2? 【解析】或所求直線方程為0?y?153x?40?x?3 45 0x?4?15?2y 55?225?【追問(wèn)】所求直線方程為最短弦長(zhǎng)為4 ? 224，P?6 【備選】自點(diǎn)，則這條割線所在直線的方程引割線，所得弦長(zhǎng)為向圓20?yx?26 是_ 或【解析】 0?26?7x17y02?yx? 圓與圓的位置關(guān)系6考點(diǎn)： 知識(shí)點(diǎn)睛 圓與圓的位置關(guān)系： 如圖，平面上兩圓的位置關(guān)系有五種，可以從兩圓的圓心距與兩圓半徑的數(shù)量關(guān)系來(lái)判斷rrr1r1r1r11rr2rr2222CddCCCCdCCdCCCd1211221212兩圓內(nèi)切兩圓相交兩圓外切兩圓內(nèi)含兩圓外離 的關(guān)系進(jìn)行判斷

20、：幾何法：判斷圓與圓的位置關(guān)系可以利用兩圓圓心距與兩圓的半徑drr，21 ； 外離 rr?d?21 ； 外切 r?dr21 ；相交r?r?d?r?r?2121 ；內(nèi)切r?d?r21 內(nèi)含r?d?r?021代數(shù)法：兩圓的位置關(guān)系也可以利用兩圓方程所構(gòu)成的方程組的解判斷：當(dāng)方程組無(wú)解時(shí)，兩圓外離或者內(nèi)含；當(dāng)方程組只有一解時(shí)，兩圓外切或者內(nèi)切；當(dāng)方程組有兩解時(shí)，兩圓相交由于“代數(shù)法”計(jì)算量大，運(yùn)用不方便，所以一般情況下利用“幾何法”來(lái)判斷兩圓的位置關(guān)系 例：判斷下列兩個(gè)圓的位置關(guān)系 2222 ；?6xy?0C:xC:x，?yy?8?12?0?122222 ?2x?4y?yy?2?6?0?0，C:Cx

21、x?y12【解析】 兩圓外切 兩圓相交 經(jīng)典精講 【例7】 判斷圓與圓的位置關(guān)系 222222，為何值時(shí)，圓已知圓02?C:x?ymxC:3?y?2mx4y?m?50?mx?2y?m21 與圓圓：外離；外切；相交；內(nèi)切；內(nèi)含CC21 【解析】或； 5?m?m?2 或； 5m?m?2? 或； 2m?1?2?5?m? 或； 12?m?m? 1m?2? ?2222yx，Mr?y?xyx?r:lxy 已知圓，定點(diǎn)，有如下兩組論斷：，直線的方程為C0000第組 第組 ?點(diǎn)在圓內(nèi)且不為圓心， 直線與圓相切， aCClMM?點(diǎn)在圓上， 直線與圓相交， bCClM?點(diǎn)在圓外； 直線與圓相離 cCClM以第組論

22、斷作為條件， 第組論斷作為結(jié)論，寫出所有可能成立的命題_ ? ，【解析】21ac?b3，?2r?d， 設(shè)圓心到直線的距離為，則d 22y?x002r?222?d?r，直線與圓相離；在圓內(nèi)且不為圓心，則若點(diǎn)， yxM，r?yx 000022yx?002r?222?rd?，直線與圓相切；在圓上，則，若點(diǎn) yxM，rx?y? 000022yx?002r?222?d?ry，Mx，直線與圓相交， 在圓外，則若點(diǎn)ry?x? 000022yx?00 實(shí)戰(zhàn)演練 ） 演練1】以點(diǎn)為圓心，且與軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（【4)?5,A(x2222 AB 16?5)(x?(y?4)(?16y?(x?5)4)2222 D C25?(y?4)?25y?4)x(?5)?(x5)( A【解析】 222 ）的取值范圍是（【演練2】若方程 表示圓，則0?ax?y?ax?2ay2a1a222 DC