35典型例題分析

1、35 典型例題分析 A AB、繃緊的肥皂薄膜有兩個平行的邊界，線例1 為了演示液體的表3-5-1)。將薄膜分隔成兩部分(如圖d 受到表面張力作AB面張力現(xiàn)象，刺破左邊的膜，線B 薄膜用被拉緊，試求此時線的張力。兩平行邊之間的距離3-5-1圖 肥皂液的表面張力d/2)d，線AB的長度為l(l，為? 系數(shù)為。兩側都解：刺破左邊的膜以后，線會在右邊膜的作用下形狀相應發(fā)生變化(的情況下，線會形成長度為)，不難推測，在ld/2有膜時，線的形狀不確定T C A 1 ?)/x?(l?2d 2的半圓，d/2的兩條直線段和半徑為? ? 、兩處的拉力及各處都垂D3-5-2所示。線在C如圖B D T 直于該弧線的表

2、面張力的共同作用下處于平衡狀態(tài)，3-5-2圖 顯然?fT?2 i?f指各小段所受表面張力式中為在弧線上任取一小段所受的表面張力，i軸，與xr的合力，如圖3-5-2所示，在弧線上取對稱的兩小段，長度均為 ，顯然的夾角均為方?ff?2r 21，)軸方向分力的合力為零(他們垂直x軸方向，而這兩個力的合力必定沿x 這樣?2?ffrcos x21x 所以?d?42f?2rrcos i?dT? 因此 說明 對本題要注意薄膜有上下兩層表面層，都會受到表面張力的作用。、在水平放置的平玻璃板上倒一些水銀，由于重力和表面張力的影響，例2所示。，過圓盤軸線的豎直截面如圖3-5-3(水銀近似呈圓餅形狀側面向外凸出)o

3、計算，已知水銀密度為了計算方便，水銀和玻璃的接觸角可按18033?mN0.49a?m?13.6?kg10當圓餅的半徑很大時，水銀的表面張力系數(shù)，。 ？取一位有效數(shù)字)試估算厚度h的數(shù)值大約是多少(的hx分析：取圓餅側面處寬度為，高為ff 4 1x? 所示。由于重力而產生的水，圖3-5-3面元S ? 但是作用使圓餅外凸。由F銀對側壓力SF，3-5-3圖 在水銀與空氣接觸的表面層中，由于表面張力fF h3 的作用使水銀表面有收縮到盡可能小的趨勢。 h f 2反F上下兩層表面張力的合力的水平分量必與f,f可認S向，且大小相等。兩側表面張力43 為等值反向的。1 2?xS?Fp?gh 12解： ?F?

4、fcos?f 2112?x?cosgh)?1a?x( 2 ?)cos12a(?h?g 3?3m?103?mh410 有,o900由于，B后，如圖3-5-4例3、在連通器的兩端吹出兩個相同的球形肥皂泡A和KK兩泡相對平衡。則依舊打開，K，活栓兩泡內的空氣經管相通，和關閉活栓BA若B泡之間的平衡是穩(wěn)定的。B泡的形狀小于半球，試證明A泡和泡和(1)若A泡的形狀大于半球，泡和BAr 1 K 泡之間的平衡B試證明A泡和r kr泡泡和B(2)若A是不穩(wěn)定的。 K A1B Vrh 0 1 BA 的形狀大于半球，設兩管口的3-5-4圖 3-5-5圖 cm00?r2.B泡和，半徑均為A1cm50?2.r泡分別變

5、化成何種形狀時，兩泡能BA泡和泡的半徑均為。試問當2 再次達到平衡，設空氣因壓縮或膨脹所引起的密度變化可以忽略。A若因擾動使B泡均小于半球，泡半徑應大于管半徑。分析：開始時，A泡泡內氣體泡內壓強變小，這時B泡縮小，則泡半徑增大，表面張力應減小，A泡因擾動稍增大，泡恢復擾動前的形狀，重新達到平衡。對于A過來補充，使A B泡因擾動稍增大或縮小的情形可作同樣分析?；蚺菘s小，則泡半徑變小，表A、B泡形狀相同，均大于半球。因擾動使A若泡增BA泡縮小和泡內壓強變大，使氣體從AA泡到B泡，面張力相應增加，泡的形狀大于半球時，其間的平衡泡和B大后，擾動將持續(xù)發(fā)展?？傊?，當Ar?r泡半A泡縮小到半球形狀時，即當

6、是不穩(wěn)定的。值得注意的是，當A時，12AA泡半徑再度增大，根據(jù)上面的分析，徑最小。若再收縮使形狀小于半球時，泡大于半球，而兩者的半徑相同B泡內的壓強將再度下降。當A泡小于半球， 時，兩泡內的壓強再次相同，這又是一個新的平衡狀態(tài)。 見上面的分析。(1)解：，圖3-5-5A泡小于半球，B泡大于半球，兩者半徑均為r，(2)新的平衡狀態(tài)為 有43?Vr?2 03 h222?rh?r?Vrh?(r?),且 122023 r=3.04cm 解得、在相互平行的石墨晶格上，原子排成正六角形柵格，即“蜂窩結構”例4a 所示，平面上原子間距為如圖1-5-6(a) 10?101.42?，若石墨的密度為mh 3m22

7、70kg碳原(，求兩層平面間的距離。?a3-5-6 圖 ?b12) 子量為 把解：顯然應根據(jù)晶格模型進行研究，3-5-6(b)晶格平面適當平移，使上下層原子正好對齊，這時原子系統(tǒng)可看成如圖3m1石墨中12/6=2那樣，每個原子屬于6個不同晶胞，因此一個晶胞中個原子，2923610?/12?1.1410N?6.02?2.27?10個。晶胞數(shù)是上述原子數(shù)的原子數(shù)是1 的一半，故一個晶胞的體積是1329?m?10V?1?.756 28105.7? 22?20m10239?a325.S?3 晶胞的底面積是 10?m35?10?h?VS3. 誤認為初學者往往把晶胞所包含的原子數(shù)搞錯，說明在晶格模型的計算

8、中，個原子。這里的關鍵是要分析其中每一個原子是哪幾個晶胞石墨晶胞包含了12 個原子。所共有，那么每個晶胞僅只能算其1/n，假定H，高度為R、用圓柱形的杯子做“覆杯”實驗，杯子的半徑為5例開始時杯內水未裝滿，蓋上不發(fā)生形變的硬板后翻轉放手，由于水的重力作用，硬板將略下降，在杯口和平板間形成凹的薄水層，如圖3-5-7所示。假定水對玻p?，大氣壓為mg璃和平板都是完全浸潤的，水的表面張力系數(shù)為，紙板重為0水的密度為，則為了保證“覆杯”實驗成功，裝水時，杯內所留的空氣體積不得超過多少？ ?f? R l? f2解F O l?f F ?ff ：如 d ?f f 圖3-5-8。其中虛線表示)表示板與杯口間水

9、層的大致形狀(為求清晰，圖中比例已被夸大 整體輪廓，實線則劃出其一小片分析其受力，圖3-5-9則是俯視平面圖。，由于完全浸潤，它就等于凹面的直徑，所取出的設內凹的薄水層深度為d l，則它受力如下：水液面寬度為兩個，其大小為硬板)杯沿附著層水對凹面的表面張力，有上()下(f?l?f? l，方向垂直于水平向外。?f和劃出部分相連的凹面其他部分的水對該液面的作用力，方向沿圓周d?f? 2 ，兩力合力大小為切線方向，大小為?l?f2?sin?ff? R2 l?)p(?pd?F其中(液面內外壓力差，其方向水平指向圓心，大小為F0p 。)為內部水壓強p為大氣壓，0 在受力平衡的條件下應有Sp ?l?l)d

10、?l?d?2(p?p 0R2 pS ?R4mg ?d ?R)?2(p?p 得 03-5-10圖 ，平衡時有如果以硬板為研究對象，受力如圖3-5-10mg?S?pSp 0mg?pp? 02?R 即 是水內部的壓強，它應等于杯內氣體壓強加上由水重所引起的壓強，若杯p?p ，則，原來裝水后空氣層厚度為h內氣體壓強為?)hg(p?pH? 這時杯內氣體壓強就等于大氣壓即硬紙板是蓋住杯口的，進行覆杯實驗后，2pp?h?RV“覆杯”放手后，由于硬紙板受重力作用，板下移距，體積0112?)?dV?R(hp，使杯內氣體體積變?yōu)椋瑝簭娋妥優(yōu)?即前述水層厚度)離d2 由玻意耳定律得hp0?p dh? mg時，水層最大厚度把代入可求得板重為2?R4?d 2?R?2mg 由式可得mgmg?2?0?p?(Hd)?h?dghgH?g? 022?RR? 2?pmmH?dH?dm0dH?h? 222?g22RR22R? 將式代入即可得到極限情況下杯內原來的空氣柱厚度，因式子過繁，就不將d值代入了。 說明 當杯子倒轉放手后，如果杯內裝滿水而無空氣，則大氣對平板的向上壓力將遠大于杯內水及平板重，因此平板緊壓杯口，但如果