彈性力學模擬練習題

1、彈性力學模擬練習題作者: 日期:0、判斷題不留下任1、連續(xù)性假定是指整個物體的體積都被組成這個物體的介質(zhì)所填滿,(V)變 分 量 不定 能滿 足 相 容 方 程。2、如果某一問題中，z zX zy 0,只存在平面應力分量 Xxy,且它們不沿z方向變化，僅為x,y的函數(shù)，此問題是平面應力問題。3、如果某一問題中，z zX zy 0,只存在平面應變分量X, yxy，且它們不沿z方向變化，僅為X , y的函數(shù)，此問題是平面應變問題。4、當物體的形變分量完全確定時，位移分量卻不能完全確定。5、當物體的位移分量完全確定時，形變分量即完全確定。6、在有限單元法中，結(jié)點力是指結(jié)點對單元的作用力。7、在平面三

2、結(jié)點三角形單元的公共邊界上應變和應力均有突變。10、體力作用于物體內(nèi)部的各個質(zhì)點上，所以它屬于內(nèi)力。解答：外力。它是質(zhì)量力。1 1、在彈性力學和材料力學里關(guān)于應力的正負規(guī)定是一樣的。(X)解答：兩者正應力的規(guī)定相同，剪應力的正負號規(guī)定不同。12、當問題可當作平面應力問題來處理時，總有zXZ yz 0。解答:平面應力問題，總有zXZyz 013、當物體可當作平面應變問題來處理時，總有zxzyz 0解答:平面應變問題,總有z Xzyz 0I221 4、已知位移分量函數(shù)u k1 x y，vk2xyk1' k2為常數(shù)，由它們所求得形(X)解答：由連續(xù)可導的位移分量按幾何方程求得的形變分量也一定

3、能滿足相容方程。因為幾何方程和相容方程是等價的。2 2 21 5、形變狀態(tài)x k X y，y ky , xy 2kxy, k 0是不可能存在的。(X)解答:所給形變分量能滿足相容方程，所以該形變分量是可能存在的。16、在y為常數(shù)的直線上，如u 0,則沿該線必有x 02 2 217、應變狀態(tài)x k（x y ）, y ky , xy2kxy，（k0）是不可能存在的。(X)改:所給應變分量滿足相容方程，所以該應變狀態(tài)是可能存在的。18、圖示工字形截面梁，在平衡力偶系的作用下，只在右端局部區(qū)域產(chǎn)生應力。改:對于一些薄壁桿件和薄殼等物體在應用圣維南原理時，必須滿足下述必要條件，即力系作用區(qū)域的尺寸與該區(qū)

4、域物體的最小尺寸相當。在本例中,力系作用區(qū)域的尺寸（是工字形截面高和寬）遠遠大于該區(qū)域物體的最小尺寸（腹板和翼緣的厚度）。1 9、物體變形連續(xù)的充分和必要條件是幾何方程（或應變相容方程)。(X)改：（一）：物體（當是單連體時）；改：（二）:對于多連體，還有位移單值條件。20、對于應力邊界問題，滿足平衡微分方程和應力邊界的應力，必為正確的應力分改:應力還要滿足相容方程，對于多連體，還要看它是否滿足位移單值條件。2 1、在體力是常數(shù)的情況下，應力解答將與彈性常數(shù)無關(guān)。（X ）改:如果彈性體是多連體或有位移邊界，需要通過虎克定理由應力求出應變，再對幾何方程積分求出位移，將其代入位移邊界和位移單值條件

5、，并由此確定待定常數(shù)時，將與彈性常數(shù)有關(guān)。22 、在體力不是常量情況下，引入了應力函數(shù)xy平衡微分方程可以自動滿足。2Xx y2Yyx(X)改：在常體力情況下，Xx,23、在常體力下，引入了應力函數(shù)X2Yy,xy衡 微 分 方 程 可(V)24、某一應力函數(shù)所能解決的問題與坐標系的選擇無關(guān)。改：三次及三次以上的應力函數(shù)所能解答的問題與坐標系的選取有關(guān)。三次或三次以下的多項式總能滿足相容(V)答:相容方程中的每一項都是四階導數(shù)。26、對于純彎曲的細長的梁，由材料力學得到的撓曲線是它的精確解。解:對于純彎曲的細長的梁，材力和彈力得到的撓曲線方程是一樣的。27、對承受端荷載的懸臂梁來說，彈性力學和材

6、料力學得到的應力解答是相同的。解答:端部切向面力必須按拋物線規(guī)律分布于端部否則得到的是圣維南近似解。、填空題1、彈性力學研究彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的 應力、形變和位移。2、在彈性力學中規(guī)定線應變以伸長時為正，縮短時為負與正應力的正負號規(guī)定 相適應。3、在彈性力學中規(guī)定切應變以直角變小時為正，變大時為負，與切應力的正 負號規(guī)定相適應。4、物體受外力以后其內(nèi)部將發(fā)生內(nèi)力，它的集度稱為應力。與物體的形變和 材料強度直接有關(guān)的，是應力在其作用截面的法線方向和切線方向的分量 也就是正應力和切應力。應力及其分量的量綱是 L-1Mt"。5、彈性力學的基本假定為連續(xù)性、

7、完全彈性、均勻性、各向同性。6、平面問題分為平面應力問題和平面應變問題。7、已知一點處的應力分量100 M P a, y 50MPa, xy 1050 MPa則主應力8、1150MPa , 2 0MPa ,已知一點處的應力分量,主應力1 512 MP a,13516 。x 200 M P a,-3 1 2 MPa ,y 0MPa, xy 400MPa，則1 37°5 7。2000 M Pa, y2 2 0 52 M Pa,9、1000 MPa, xy 400 MPa,則主1 - 82° 32。已知一點處的應力分量，應力 1 1052 MP a,10、在彈性力學里分析問題，要

8、考慮靜力學、幾何學和物理學三方面條件，分別 建立三套方程。11、表示應力分量與體力分量之間關(guān)系的方程為平衡微分方程。12、邊界條件表示邊界上位移與約束， 或應力與面力之間的關(guān)系式。 分為位移邊 界條件、應力邊界條件和混合邊界條件。1 3、按應力求解平面問題時常采用逆解法和半逆解法。14、有限單元法首先將連續(xù)體變換成為離散化結(jié)構(gòu)，然后再用結(jié)構(gòu)力學位移法進 行求解。其具體步驟分為單元分析和整體分析兩部分。1 5、每個單元的位移一般總是包含著兩部分:一部分是由本單元的形變引起的, 另一部分是由于其他單元發(fā)生了形變而連帶引起的。16、 每個單元的應變一般總是包含著兩部分：一部分是與該單元中各點的位置坐

9、 標有關(guān)的，是各點不相同的，即所謂變量應變;另一部分是與位置坐標無關(guān)的， 是各點相同的，即所謂常量應變。17、為了能從有限單元法得出正確的解答， 位移模式必須能反映單元的剛體位移 和常量應變，還應當盡可能反映相鄰單元的位移連續(xù)性。1 8、為了使得單元內(nèi)部的位移保持連續(xù)，必須把位移模式取為坐標的單值連續(xù)函 數(shù)，為了使得相鄰單元的位移保持連續(xù)， 就不僅要使它們在公共結(jié)點處具有相 同的位移時，也能在整個公共邊界上具有相同的位移。19、在有限單元法中，單元的形函數(shù)N1在i結(jié)點Ni=1；在其他結(jié)點N1 =O及刀Ni=1。20、 為了提高有限單元法分析的精度，一般可以采用兩種方法:一是將單元的尺 寸減小，

10、以便較好地反映位移和應力變化情況；二是采用包含更高次項的位移 模式,使位移和應力的精度提高。、簡答題1. 試寫出彈性力學平面問題的基本方程，它們揭示的是那些物理量之間的相互關(guān)系應用這些方程時，應注意些什么問題？答：平面問題中的平衡微分方程 ：揭示的是應力分量與體力分量間的相互關(guān)系。應注意兩個微分方程中包含著三個未知函數(shù)bx、b y、T xy =Ty x ,因此,決定應力分量的問題是超靜定的，還必須考慮形變和位移，才能解決問題。平面問題的幾何方程: 位移分量完全確定時, 不能完全確定。4亠必=0,一 -+一 4廠=(X揭示的是形變分量與位移分量間的相互關(guān)系。應注意當物體的 形變量即完全確定。反之

11、，當形變分量完全確定時，位移分量卻附oU已VH£-寶=”今=,= + dx再&X平面問題中的物理方程：揭示的是形變分量與應力分量間的相互關(guān)系。應注意平面應力 問題和平面應變問題物理方程的轉(zhuǎn)換關(guān)系。-肯円-鳳6 +込込尹(b r 十)?試作簡要說明。答：按照邊界條件的不同，彈性力學問題分為位移邊界問題、 混合邊界問題。位移邊界問題是指物體在全部邊界上的位移分量是已知的， 界上坐標的已知函數(shù)。應力邊界問題中，物體在全部邊界上所受的面力是已知的 各點都是坐標的已知函數(shù)。混合邊界問題中，物體的一部分邊界具有已知位移，因而具有位移邊界條件 分邊界則具有應力邊界條件。應力邊界問題和也就是

12、位移的邊界值是邊,即面力分量在邊界上所有；另一部3.彈性體任意一點的應力狀態(tài)由幾個應力分量決定？試將它們寫出。號？答：彈性體任意一點的應力狀態(tài)由6個應力分量決定，它們是：正面上的應力以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。方向為正，沿坐標軸正方向為負。4 .在推導彈性力學基本方程時，采用了那些基本假定？什么是“理想彈性體” 說明。答：答：在推導彈性力學基本方程時，采用了以下基本假定：(1)假定物體是連續(xù)的。(2)假定物體是完全彈性的。(3 )假定物體是均勻的。(4)假定物體是各向同性的。如何確定它們的正負X、y、 z 、 xy、yz、zx。負面上的應力以沿坐標軸負?試舉例2. 按照邊界條件的

13、不同，彈性力學問題分為那幾類邊界問題(5)假定位移和變形是微小的。符合(1) (4)條假定的物體稱為“理想彈性體”。一般混凝土構(gòu)件、一般土質(zhì)地基可近 似視為“理想彈性體”。5 .什么叫平面應力問題 ？什么叫平面應變問題？各舉一個工程中的實例。答:平面應力問題是指很薄的等厚度薄板只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化 的面力，同時體力也平行于板面并且不沿厚度變化。如工程中的深梁以及平板壩的平板支墩就屬于此類。平面應變問題是指很長的柱型體，它的橫截面在柱面上受有平行于橫截面而且不沿長 度變化的面力，同時體力也平行于橫截面而且也不沿長度變化，即內(nèi)在因素和外來作用都不沿長度而變化。6.在彈性力學里分

14、析問題，要從幾方面考慮？各方面反映的是那些變量間的關(guān)系?答:在彈性力學利分析問題， 要從3方面來考慮： 靜力學方面、幾何學方面、物理學方面。平面問題的靜力學方面主要考慮的是應力分量和體力分量之間的關(guān)系也就是平面 題的平衡微分方程。平面問題的幾何學方面主要考慮的是形變分量與位移分量之間關(guān)系，也就是平面問題中的幾何方程。平面問題的物理學方面主要反映的是形變分 量與應力分量之間的關(guān)系，也就是平面問題中的物理方程。按照邊界條件的不同，彈性力學平面問題分為那幾類？試作簡要說明7.答:按照邊界條件的不同，彈性力學平面問題可分為兩類 ：(1)平面應力問題：很薄的等厚度板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度

15、變化的面力。這一類問題可以簡化為平面應力問題。例如深梁在橫向力作用下的受力分析問題。在該種問題中只存在x、 y、 xy yx三個應力分量。這一類問題可以簡化為平面應變問題。 和 重 力 壩 的 受 力 分 析。 該xzzx 0； yzzy0而一般 Z并不等于零。例如擋土問 題(2)平面應變問題：很長的柱形體，在柱面上受有平行于橫截面并且不沿長度變化的面力 而且體力也平行于橫截面且不沿長度變化。墻什么是圣維南原理？其在彈性力學的問題求解中有什么實際意義圣維南原理可表述為：(主矢量相同，對如果把物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力于同一點的主矩也相同)，那麼近處的應力分布將有顯

16、著的改變，但遠處所受的影響可以不 計.彈性力學的問題求解中可利用圣維南原理將面力分布不明確的情況轉(zhuǎn)化為靜力等效但分 布表達明確的情況而將問題解決。還可解決邊界條件不完全滿足的問題的求解。9.什么是平面應力問題？其受力特點如何，試舉例予以說明。答：平面應力問題 是指很薄的等厚度板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力，這一類問題可以簡化為平面應力問題。例如深梁在橫向力作用下的受力分析問題。在該種問題中只存在 X、 y、 xy yx三個應力分量。10 .什么是“差分法”？試寫出基本差分公式。答；所謂差分法，是把基本方程和邊界條件（一般為微分方程）近似地改用差分方程（代數(shù)方 程）來表示，把

17、求解微分方程的問題改換成為求解代數(shù)方程的問題?；静罘止饺缦耭f1 f3X 02h2ff1 f3 2f022X 0hff2 f4y 02h2ff2f 4 2 f 002h211、彈性力學中引用了哪五個基本假定？五個基本假定在建立彈性力學基本 方程時有什么用途:（答出標注的答：彈性力學中主要引用的五個基本假定及各假定用途為 內(nèi)容即可給滿分）1）連續(xù)性假定：引用這一假定后，物體中的應力、應變和位移等物理量就可看成是連續(xù)的因此，建立彈性力學的基本方程時就可以用坐標的連續(xù)函數(shù)來表示他們的變化規(guī)2 ）完全彈性假定：這一假定包含應力與應變成正比的含義,亦即二者呈線性關(guān)系，復合胡克定律從而使物理方程成為線

18、性的方程3 ）均勻性假定：在該假定下所研究的物體內(nèi)部各點的物理性質(zhì)顯然都是相同的。 因此， 反應這些 物理性質(zhì)的 彈性常數(shù)（如彈性模量E 和泊松比 卩等）就不隨位置坐標而變化。4 )各向同性假定：各向同性是指物體的物理性質(zhì)在各個方向上都是相同的也就是說，物體的彈性 常數(shù)也不隨方向變化5)小變形假定：研究物體受力后的平衡問題時，不用考慮物體尺寸的改變，而仍然按照原來的尺寸和形狀進行計算。同時，在研究物體的變形和位移時 ，可以將它們的二次幕或乘積略去不計使得彈性力學的微分方程都簡化為線性微分方程四、分析計算題1、試寫出無體力情況下平面問題的應力分量存在的必要條件，并考慮下列平面 問題的應力分量是否

19、可能在彈性體中存在。(1) x Ax By， y Cx Dy , xy Ex Fy ；2 2 2 2 x A(x y ), y B(x y ), xy Cxy;其中,A, B,C, D,E,F為常數(shù)。解:應力分量存在的必要條件是必須滿足下列條件:(1)在區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程yxyxyx0;(2)在區(qū)域內(nèi)的相容方程0x y 0； (3 )在邊界上y的應力邊界條件l x m yx sm y l xy sf X s-;(4 )對于多連體的位移單值條件。f y sQy2 3Cix23C2xy 2C3xy 0223C2 y C3x 03C13C2C3 x2 Q 3C2 y2 02C3 xy 0由x,y的

20、任意性，得3C1 C3 0Q 3C2 03C2 2C3 0由此解得，Ci Q，6C2QQ,C33、已知應力分量q, xy 0 ,判斷該應力分量是否滿足平衡微分方程和相容方程。解：將已知應力分量y q , xy0，代入平衡微分方程可知,已知應力分量yxyxyxy q， xy0 一般不滿足平衡微分方程，只有體力忽略不計時才滿足。按應力求解平面應力問題的相容方程：22y)審(y x) 2(1)=將已知應力分量q， xy 0代入上式，可知滿足相容方程。按應力求解平面應變問題的相容方程:22尹X廠y）壬（y 12)_2xyx).1 x y將已知應力分量：q， y q， xy 0代入上式，可知滿足相容方程

21、。=-譏4、試寫出平面問題的應變分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的應變分 量是否可能存在。3 2(1) x Axy, y By， xy C Dy ； x Ay2 , y Bx2y， xy Cxy ;(3) x 0, y 0, xy Cxy；其中，A, B , C, D為常數(shù)。解：應變分量存在的必要條件是滿足形變協(xié)調(diào)條件，即222xyxyy2x2x y將以上應變分量代入上面的形變協(xié)調(diào)方程，可知： (1)相容。(2)2A 2By C(1分);這組應力分量若存在，則須滿足：B= 0, 2A =C。(3) 0=C ；這組應力分量若存在，則須滿足：C= 0,則x 0， y 0， xy 0(1分)。

22、5、證明應力函數(shù)by2能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標系中能解決什么問題(體力不計，b 0)。Oh/2h/21/21/2 ,xty解：將應力函數(shù)by2代入相容方程4 424 厶 22x x y可知，所給應力函數(shù)by2能滿足相容方程。由于不計體力，對應的應力分量為2x 2b,y對于圖示的矩形板和坐標系, 左右四個邊上的面力分別為：22I y20 ， xy0xx y上邊，y2,10,m 1,fx(xy ) h 0， f y y 2y)yh 0；2下邊,y10 , m 1 , fx(xy) hy 20，fy(y)0；左邊,xli，1 1，m0，fx (x)X2b，fyxy)10 ；x

23、-2| 右邊，x2，11，m0,fx（r2b,f y ( xy )，當板內(nèi)發(fā)生上述應力時，根據(jù)邊界條件，上下2b?？梢姡舷聝蛇厸]有面力，而左右兩邊分別受有向左和向右的均布面力因此，應力函數(shù)by2能解決矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布壓力（bv0）的問題。6、證明應力函數(shù) axy能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標系中能解決什么問題（體力不計，a 0）。Oh/2h/21l/2l/2yx解：將應力函數(shù)axy代入相容方程444一 24 厶 22x x y可知，所給應力函數(shù)axy能滿足相容方程。由于不計體力，對應的應力分量為22xyx 2 0, y 20 ,yx對于圖示的矩形

24、板和坐標系，當板內(nèi)發(fā)生上述應力時，根據(jù)邊界條件，上下左右四個邊上的面力分別為：上邊,y2，10,m 1,fx(xy)yfy ( y)y ； 0 ；下邊,h,l 0,m 1， fx (2xy ) hy 2a, fyy)y2 0 ；左邊,1,m 0， fx(x)1 0, fy2(xy)右邊,1,m 0, fx (x) lX 20，fyxy )可見，在左右兩邊分別受有向下和向上的均布面力a,而在上下兩邊分別受d4f2(x) 0dx4有向右和向左的均布面力a。因此,應力函數(shù)axy能解決矩形板受均布剪力的問題。7、如圖所示的矩形截面的長堅柱，密度為，在一邊側(cè)面上受均布剪力，試求應力分量。解:根據(jù)結(jié)構(gòu)的特

25、點和受力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓，即設(shè)X 0。由此可知iq將上式對y積分兩次，可得如下應力函數(shù)表達式x,yf1（x）y f2（x）將上式代入應力函數(shù)所應滿足的相容方程則可yd4f1(x) d4f2(x)dx4dx40這是y的線性方程，但相容方程要求它有無數(shù)多的解（全柱內(nèi)的y值都應該滿足它）, 可見它的系數(shù)和自由項都應該等于零，即dx4d4f1(x) 0，這兩個方程要求f1(x) Ax3 Bx2 Cx I，f2(x) Dx3 Ex2 Jx K代入應力函數(shù)表達式，并略去對應力分量無影響的一次項和常數(shù)項后，便得3232y(Ax Bx Cx) Dx Ex對應應力分量為2y(6Ax 2B) 6Dx

26、 2E gy xxy3Ax2 2Bx Cx y以上常數(shù)可以根據(jù)邊界條件確定。 左邊,x 0，l1, m 0,沿y方向無面力，所以有(xy )x 0 C 0右邊，x b,l1，m0,沿y方向的面力為q,所以有2(xy)x b 3Ab 2Bb q上邊，y 0，l 0，m 1,沒有水平面力，這就要求xy在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即b0( xy)y 0dx 0將xy的表達式代入,并考慮到C=0,則有：(3Ax2 2Bx)dx Ax3 Bx2b Ab3 Bb2 00b而0( xy)y 0 0dx 0自然滿足。又由于在這部分邊界上沒有垂直面力，這就要求y在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零

27、，即b0( y)y 0dx 0,b0( y)y oXdX 0將y的表達式代入，則有ob(6Dx 2E)dx 3Dx22Ex0 3Db22Eb 0ob(6Dx 2E)xdx 2Dx3Ex2b 2Db3Eb2 0由此可得A 耳，B q ,C 0,D 0,E b2 b應力分量為y 2q bxxx1 3gy， xy q匚 t 2bbbx x Vy根據(jù)微分方程理論，一定存在某一函數(shù)A（x，y），使得（y= 0）的邊界條件，但按照圣維南原理，在稍雖然上述結(jié)果并不嚴格滿足上端面處 遠離y= 0處這一結(jié)果應是適用的。8、證明:如果體力分量雖然不是常量, 但卻是有勢的力，即體力分量可以表示為fxIfyx是勢函數(shù)

28、，則應力分量亦可用應力函數(shù)表示為,2V,y2，試導出相應的相容方程。x y證明：在體力為有勢力的情況下，按應力求解應力邊界問題時，應力分量yxxy應當滿足平衡微分方程0xy（1分）0還應滿足相容方程2 2fx-（對于平面應力問題）y2 2x y并在邊界上滿足應力邊界條件-（對于平面應變問題）X y（1分）。對于多連體，有時還必須考慮位移單值條件。首先考察平衡微分方程。將其改寫為yxy V y這是一個齊次微分方程組。為了求得通解，xy0x將其中第一個方程改寫為yxyxVx222yyx22同樣，將第二個方程改寫為可見也一定存在某一函數(shù)y V y:B（ x,y），使得yx（1分）由此得因而又一定存在某一函數(shù)x,y,使得yx-,B y x代入以上各式，得應力分量V,xyx y為了使上述應力分量能同量滿足相容方程,應力函數(shù) x,y必須滿足一定的方程，將上述應力分量代入平面應力問題的相容方程，得2x2x2x2x2x2簡寫為（12V將上述應力分量代入平面應變問題的相容方程,2Vxx2簡寫為9、如圖所示三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為，試用純?nèi)蔚膽瘮?shù)求解。m y Ixy y xtan0解：純?nèi)蔚膽?/p>