關(guān)于自轉(zhuǎn)變形的討論

1、關(guān)于自轉(zhuǎn)形變的討論機(jī)械工程學(xué)院包裝工程0802班季彩霞摘要：討論紙圈及勻質(zhì)不可壓縮流體因自轉(zhuǎn)引起的形變。分三部分：地球變扁的原因，紙圈和流體自轉(zhuǎn)形變不是橢圓的證明和實(shí)驗(yàn)測量紙圈自轉(zhuǎn)離心率的大小。關(guān)鍵字：自轉(zhuǎn)，紙圈，勻質(zhì)流體，橢圓地球先說說我們想到這個(gè)問題的源頭吧在上初中的時(shí)候，老師說過（可能甚至小學(xué)常識課本上也會寫到），“地球，是個(gè)兩極稍扁，赤道略鼓的球體”，就像行星的運(yùn)行軌道是個(gè)橢圓而不是正圓一樣，絕對的完美總是不穩(wěn)定的，是受不了一點(diǎn)干擾的，這就是宇宙選擇讓地球成為橢球（暫時(shí)先這么稱呼，事實(shí)上不是）形式存在而不是球的原因。那又是什么導(dǎo)致地球成為橢球的呢？毋庸置疑，地球自轉(zhuǎn)肯定是其中最關(guān)鍵的因

2、素。 要證明這一點(diǎn)很容易：準(zhǔn)備一個(gè)紙圈，一根筷子，做成如圖1裝置。用手轉(zhuǎn)動筷子，紙圈就會跟著轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動過程中，紙圈會慢慢變扁。我們的地球也是一樣（雖然我們沒法親手用筷子轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)地球）。其他的因素還有很多。如地球自身的萬有引力；地球的質(zhì)量和體積；陸地和海洋的分布；地質(zhì)構(gòu)造及地球內(nèi)部物質(zhì)的流動等等。甚至地表上每一個(gè)坑坑洼洼都對地表的形狀產(chǎn)生貢獻(xiàn)。可以肯定的是，公轉(zhuǎn)對這個(gè)形變肯定沒有影響。因?yàn)榈厍蛟诶@日公轉(zhuǎn)時(shí)，是處于完全失重狀態(tài)，故太陽引力不會引起地球各小部分間的彈力。（當(dāng)然，這是在地球上不同位置的點(diǎn)受到的太陽引力加速度差值GM/R2小到忽略不計(jì)的前提下）。而且，另一方面，GM/R2<<Gm

3、/r2（其中M是太陽質(zhì)量，R是地日距離，m是地球質(zhì)量，r是地球半徑）也就是說，地球上某小部分收到的太陽引力的影響遠(yuǎn)小于重力對它的影響。（否則它就不會留在地球上，而是飛向太陽了）綜上可知：地球公轉(zhuǎn)對其自轉(zhuǎn)是沒有影響的。非橢圓的證明紙圈：其實(shí)紙圈的自轉(zhuǎn)和地球的自轉(zhuǎn)還是有幾分相似之處的沿著經(jīng)線圈將地球一圈圈的剪開。對于自轉(zhuǎn)而言，每個(gè)經(jīng)線圈都是等效的，我們只需取其一作為研究對象。（如圖2）先大致分析一下其受力及運(yùn)動：我們的手帶動筷子旋轉(zhuǎn)，之前，軸與紙圈之間力的作用帶動紙圈運(yùn)動。等到它們平衡時(shí)，軸與紙圈之間的作用力為0.（在重力不存在的情況下）。即：此時(shí)“紙分子”之間的張力恰好提供紙圈的向心力。那這樣形

4、變穩(wěn)定后的紙圈是否是精確的橢圓呢？我們來分析一下：給紙圈取主視圖，再配上如圖3的直角坐標(biāo)系。以AB段(A(a,0),B(x,y)）整體為研究對象，進(jìn)行受力分析：此時(shí)，紙圈各質(zhì)點(diǎn)只受到張力的作用。A點(diǎn)左端受到向下的張力H，B點(diǎn)右端受到沿切線方向的張力T。內(nèi)力對AB的運(yùn)動不起作用。將T分解，分解至水平和豎直的分量。AB段在作勻速圓周運(yùn)動。故有：T*cos=m2*RT*sin=H兩式一除，得：T*sin/(T*cos)=tan=y'=H/(m2*R)（*）當(dāng)紙圈穩(wěn)定時(shí)，H和是確定的。dm=*ds R=x。（如圖4）mR=其實(shí)就是某一確定x值位置處紙圈的寬度d。（如圖5）由于紙圈是由經(jīng)線圈剪開

5、所得，故d=x*。且各位置都應(yīng)相等。 推出mR=，將其代入（*）式，得： （1）(其中K=H/(2*)這樣，這個(gè)微分方程所確定的函數(shù)的圖像就應(yīng)該是紙圈形變后的形狀。這個(gè)微分方程不好解，但我們可以將橢圓方程代入驗(yàn)證符不符合。結(jié)果是不符合的。也就是說，紙圈的這種形變并非精確的橢圓。用同樣的方法可以算得，圖1的紙圈的形變也不是精確的橢圓。勻質(zhì)流體：要使它能自由形變，對于地球，就必須假定為流體。對于流體，我們知之甚少。但從高中時(shí)做過的那些習(xí)題里，我們總結(jié)出了一個(gè)經(jīng)驗(yàn)：對于流體，“形”的表現(xiàn)形式就是力的表現(xiàn)形式。在回過頭來看看地球：地球要自轉(zhuǎn)，地球上的流體分子就需要向心力。向心力是效果力，效果力一定是由

6、別的性質(zhì)力來提供的。那些流體分子，就只可能受到兩種性質(zhì)力：萬有引力和流體分子之間相互擠壓的彈力。（當(dāng)自轉(zhuǎn)運(yùn)動達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)候是不存在摩擦力的。否則，沿著轉(zhuǎn)動方向的力必定會改變轉(zhuǎn)動速率）（設(shè)流體不可被壓縮）萬有引力有使流體分子靠攏的趨勢，彈力則阻礙他們靠攏。故彈力向外。彈力和萬有引力的合力就是向心力。要知道地球的形狀，我們可以取最外層的流體分子作為研究對象。在某點(diǎn)流體分子所受的彈力一定垂直于地球表面在該點(diǎn)的切面。（因?yàn)閷τ诹黧w，“形”的表現(xiàn)形式就是力的表現(xiàn)形式）根據(jù)彈力垂直于地表可列得方程：（即萬有引力和向心力各自沿截面曲線的切線方向的分量相等）取該“抽象地球”的截面曲線，如圖配上直角坐標(biāo)系。可得

7、： （ 其中=arctany' =)解這個(gè)微分方程同樣不容易。但若要判斷它是否是個(gè)橢圓，同樣的，將橢圓方程代入即可。代入結(jié)果：不符合。也就是說，這個(gè)“抽象地球”也不是橢圓。實(shí)驗(yàn)盡管這些形變都不是精確地橢圓，但主觀上，我們可以把它們近似成橢圓。（如果可能的話，求出這兩個(gè)微分方程地解，再算一下它和 與之等長短軸的橢圓 的偏差。這個(gè)偏差應(yīng)該不會很大）。當(dāng)然，如果求得出微分方程的話，我們就可以用已知量表示出“離心率”，也就可以知道它們自轉(zhuǎn)離心率的影響因素及之間的定量關(guān)系了但我們數(shù)學(xué)功底不夠。于是我們只能采用實(shí)驗(yàn)的方法。對于流體模型的實(shí)驗(yàn)過于復(fù)雜，我們這里只做紙圈的實(shí)驗(yàn)。（由于時(shí)間倉促，之列得如

8、下初擬方案。未進(jìn)行親手實(shí)驗(yàn)）通過移動滑動變阻器，改變電壓大小，從而改變轉(zhuǎn)速，而且可由電壓表數(shù)值算出電動機(jī)轉(zhuǎn)速。電動機(jī)：盡量選電阻較小，轉(zhuǎn)速較慢，變速區(qū)間較大的。（若轉(zhuǎn)速太快可能會把紙圈張破；而且轉(zhuǎn)速快，h值就小，誤差就大）還要便于安插轉(zhuǎn)軸。轉(zhuǎn)軸：轉(zhuǎn)軸底托和轉(zhuǎn)軸粘合在同一平面上，成十字架型。轉(zhuǎn)軸長度適當(dāng)，略長于H。（如圖，H為將轉(zhuǎn)軸倒置時(shí)，紙圈自由下垂，紙圈圓孔恰好不超出轉(zhuǎn)軸頂部的長度）紙圈：取一條長紙條，正中挖去一圓孔，圓孔半徑略大于轉(zhuǎn)軸半徑，令圓孔通過轉(zhuǎn)軸，將AB兩端黏在底托上。成像屏：正中間豎直貼一條刻度尺。屏高略高于轉(zhuǎn)動裝置。實(shí)驗(yàn)在平行光下進(jìn)行。1. 連好電路，取周長為l的紙圈，黏在轉(zhuǎn)軸上，將轉(zhuǎn)軸插至電動機(jī)上。（注意：要保證轉(zhuǎn)軸豎直）2. 打開光源。使光源，轉(zhuǎn)軸，屏尺盡量在同一平面內(nèi)。（即：是轉(zhuǎn)軸的影子與屏尺恰好重合）但屏面與光線的角度（即可調(diào)至145°左右，便于讀數(shù)）3. 打開電動機(jī)，控制轉(zhuǎn)速為。待紙圈穩(wěn)定之后，在屏尺中讀出紙圈底部和頂部的讀數(shù)。4. 關(guān)閉電動機(jī)。將轉(zhuǎn)軸倒置，在連接在電動機(jī)上。打開電動機(jī)，穩(wěn)定后讀出紙圈底部和紙圈頂部的讀數(shù)