解析幾何常用公式

1、1. AB, A為AB的起點(diǎn)，B為AB的終點(diǎn)。線段AB的長度稱作AB的長度，記作|AB|.數(shù)軸上同向且相等的向量叫做相簣卩勺冋星.。零向量的方向任意。.在數(shù)軸上任意三點(diǎn)A、B、C,向量I>-1AB、BC、AC的坐標(biāo)都具有關(guān)系：AC = AB + BC. .AC = AB +丿"2. 設(shè) Ab 是數(shù)軸上的任一個(gè)向量，則 AB = OB OA = X2 xi, d(A, B)= |AB匸 |x2 xi|.4. . A(xi, yi), B(X2, y2)，則兩點(diǎn) A、B 的距離公式 d(A , B) = " ： X2 xi 2 + y yi 2 若 B 點(diǎn)為原點(diǎn)，則 d(

2、A, B) = d(0, A)= xi + y2;xi + X2yi + y25. A(xi,yi), B(X2, y2)，中點(diǎn), ).A(x, y)關(guān)于 M (a, b)的對稱點(diǎn) B(2xo x, 2yo y).6. 直線傾斜角：:x軸正向與直線向上的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角，規(guī)定，與x軸 平行或重合的直線的傾斜角為0 °7. 直線的位置與斜率、傾斜角的關(guān)系 k = 0時(shí)，傾斜角為0°直線平行于x軸或與x軸重合. k>0時(shí)，直線的傾斜角為銳角，k值增大，直線的傾斜角也增大，此時(shí)直線過第一、三象限. k<0時(shí)，直線的傾斜角為鈍角，k值增大，直線的傾斜角也

3、增大，此時(shí)直線過第二、四象限. 垂直于x軸的直線的斜率不存在，它的傾斜角為 90 °y2 yi8. 若直線I上任意兩點(diǎn)A(xi, yi), B(X2, y2)且xi工X2，則直線I的斜率k =X2 Xi9. 直線方程的五種形式(i) 點(diǎn)斜式:經(jīng)過點(diǎn)P0(X0, y°)的直線有無數(shù)條，可分為兩類：斜率存在時(shí)，直線方程為y yo= k(x xo)；斜率不存在時(shí)，直線方程為 x = xo.斜截式：已知點(diǎn)(0 , b),斜率為k的直線y = kx + b中，截距b可為正數(shù)、零、負(fù)數(shù).y yi x xi(3)兩點(diǎn)式：=(xiMX2, yiMy2)y2 yi X2 xi 截距式：當(dāng)直線

4、過(a,0)和(0 , b)(a工0, b工0)時(shí)，直線方程可以寫為-+ b = i，當(dāng)直線斜 a b率 不存在(a= 0)或斜率為0(b = 0)時(shí)或直線過原點(diǎn)時(shí)，不能用截距式方程表示直線一般式:Ax + By + C = 0 的形式.(A2 B20)i0.(i)已知兩條直線的方程為 li: Aix + Biy + Ci = 0，12： A2X + B2y + C2 = 0.那么Ai Bi li與b相交的條件是：Ai B2 A2Bi m0或(A2B2M0).A2 B2Ai Bi Ci®li與12平行的條件是：AiB2-A2Bi=0且BiC2-B2CiM0或卞b2豐C2(A2B2C2

5、半0).Ai Bi Cili 與 b 重合的條件是：Ai = 2A2，Bi =舊2， Ci =C2(AM 0)或=(A2B2C2工 0).A2 B2 C22)已知兩條直線的方程為li : y = kix + bi，I2: y = k2X + b2.那么 li與l2相交的條件為ki工k2. li與12平行的條件為ki = k2且bi m b2. li與l2重合的條件為ki = k2且bi = b2.ii. 直線 li: Aix + Biy+ Ci = 0 與直線 l2: A2X + B?y+ C2 = 0 垂直？ .直線 li: y = kix + bi 與 l2： y = k2X + b2垂直

6、？.若兩直線中有一條斜率不存在時(shí)，則另一條的斜率為0，即傾斜角分別為90。和0°也滿12. 與直線Ax + By + C = 0平行的直線可表示為 Ax + By+ m = 0(m工C);與直線Ax + By + C= 0垂直的直線可表示為Bx Ay + m = 0,14.點(diǎn) P(xi, yi)到直線 Ax + By + C = 0(A2 + B2工 0)的距離為 d =|Ax i + By i + C|2 + B2應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，若給出的直線方程不是一般式，則應(yīng)先把直線方程化為一般 式，然后再利用公式求解.15.點(diǎn)到幾種特殊直線的距離：點(diǎn)P(xi, yi)到x軸的距離d

7、= |yi|.點(diǎn)P(xi, yi)到y(tǒng)軸的距離d = |xi|.點(diǎn)P(xi, yi)到直線x = a的距離為d = |xi a|.點(diǎn)P(xi, yi)到直線y = b的距離為d = |yi b|.i6 .兩平行直線 li: Ax + By + Ci = 0, 12: Ax + By + C2 = 0, Ci 豐C2,兩條平行線間的距離公式要求：li、12這兩條直線的一般式中x的系數(shù)相等，y的系數(shù)也 必須相等；當(dāng)不相等時(shí)，應(yīng)化成相等的形式，然后求解17. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x a)2+ (y b)2 = r2;18. 點(diǎn)到圓心的距離為 d，圓的半徑為r.則點(diǎn)在圓外？ d>r;點(diǎn)在圓上？ d

8、=r;點(diǎn)在圓內(nèi)？0 < dvr.20. 規(guī)律技巧 圓的幾何性質(zhì)：若直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，過切點(diǎn)與切線垂直線的直線過圓心；若直線與圓相交，圓心、弦的中點(diǎn)及弦的一個(gè)端點(diǎn)組成的三角形 是直角三角形，弦的垂直平分線經(jīng)過圓心. 以 A(xi, yi)、B(X2, y2)為直徑的圓的方程為(x xi)(x X2)+ (y yi)(y y2)= 0.21. 形如Ax 2+ Bxy + Cy2+ Dx + Ey+ F= 0的方程表示圓的等價(jià)條件(1) A = Cm0; x2、y2的系數(shù)相同且不等于零；(2) B= 0 ;不含 xy 項(xiàng).D E(3)(A)2 + £)2-4F

9、A>0，即 D2 + E2 4AF>0.DED2+ E2 4F上十為半徑的圓.23 .圓的一般方程形式為 x2 + y2+ Dx + Ey+ F = 0，配方為(x + )2 + (y + ?)2 =4D E(1) 當(dāng)D2 + E2 4F>0時(shí)，它表示以(一，一)為圓心，D E(2) 當(dāng) D2 + E2 4F= 0 時(shí)，它表示點(diǎn)(一-，p .(3) 當(dāng)D2 + E2 4F<0時(shí)，它不表示任何圖形24.直線與圓的位置關(guān)系(1) 直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2) 直線與圓相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3) 直線與圓相離，沒有公共點(diǎn).25 .直線與圓位置關(guān)系的判定有兩種方法(1)

10、代數(shù)法：通過直線方程與圓的方程所組成的方程組，根據(jù)解的個(gè)數(shù)來判斷.若有兩組 不同的實(shí)數(shù)解，即 40，貝U相交；若有兩組相同的實(shí)數(shù)解，即= 0，則相切；若無實(shí)數(shù)解，即A<0，貝U相離.幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷：當(dāng)dvr時(shí)，直線與圓相交； 當(dāng)d =r時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d>r時(shí)，直線與圓相離.26. 直線與圓相切，切線的求法當(dāng)點(diǎn)(xo, yo)在圓x2 + y2= r2上時(shí)，切線方程為xox + yoy = r2;若點(diǎn)(xo, yo)在圓(x a)2 + (y b)2= r2 上，切線方程為(xo-a)(x a) + (yo- b)(y b)=r2 ；l27.

11、若弦長為I,弦心距為d，半徑為r，則(p2 + d2=r2.28.判斷兩圓的位置關(guān)系幾何法兩圓的位置關(guān)系|CiC2|> ri + r2?相離|Ci C2I = ri + r2?外切|ri 匕|<| CiC2|<ri + r2?相交|CiC2| = |ri r2|?內(nèi)切|CiC2|<| ri r2|?內(nèi)含29 過兩圓交點(diǎn)的直線方程設(shè)圓 Ci: x2 + y2+ Dix + Eiy + Fi = 0,圓 C2: x2 + y2+ D2X + E2y + F2= O.一得(Di D2)x + (Ei E2)y + Fi F2 = O.若圓Ci與C2相交，則為過兩圓交點(diǎn)的弦所在的直線方程.求兩圓的公共弦所在直線方程，就是使表示圓的兩個(gè)方程相減即可得到3i.空間直角坐標(biāo)系中的對稱點(diǎn)點(diǎn)P(x，y，z)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)于xOy平面關(guān)于yOz平面關(guān)于xOz平面關(guān)于原點(diǎn)對稱對稱對稱對稱(x, y, - z)(-x, y, z)(x,- y, z)(-x, - y,- z)32.在空間直角坐標(biāo)系中，由兩點(diǎn) Pi(xi, yi, zi), P2(X2, y2, Z2)間的距離公式到定點(diǎn)(a, b , c)距離等于定長R的點(diǎn)的軌跡方程為(x -