高三高考平面向量題型總結(jié),經(jīng)典

1、平面向量一、平面向量的基本概念：1.向量：既有大小又有方向的量叫做_.我們這里的向量是自由向量，即不改變大小和方向可以平行移動(dòng)。向量可以用_來表示.向量的符號(hào)表示_.2.向量的長度：向量的大小也是向量的長度（或_），記作_.3.零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作_.4.單位向量：_.5.平行向量和共線向量：如果向量的基線平行或重合，則向量平行或共線；兩個(gè)非零向量方向相同或相反.記作_規(guī)定：_.注意：理解好共線（平行）向量。6. 相等向量：_.例：下列說法正確的是_有向線段就是向量，向量就是有向線段；則；若，則A，B，C，D四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；所有的單位向量都相等；二、向量的線性運(yùn)算

2、：（一）向量的加法：1.向量的加法的運(yùn)算法則：_、_和_.（1）向量求和的三角形法則：適用于任何兩個(gè)向量的加法，不共線向量或共線向量；模長之間的不等式關(guān)系_；“首是首，尾是尾，首尾相連”例1.已知AB=8，AC=5，則BC的取值范圍_例2.化簡下列向量（1） （2）（2）平行四邊形法則：適用不共線的兩個(gè)向量，當(dāng)兩個(gè)向量是同一始點(diǎn)時(shí)，用平行四邊形法則；是以，為鄰邊的平行四邊形的一條對(duì)角線，如圖：例1.（09 山東）設(shè)P是三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則A. B. C. D. 例2.（13四川）在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O， ，則. （3）多邊形法則2.向量的加法運(yùn)算律：交換律與

3、結(jié)合律（二）向量的減法：減法是加法的逆運(yùn)算，A. （終點(diǎn)向量減始點(diǎn)向量）在平行四邊形中，已知以、為鄰邊的平行四邊形中，分別為平行四邊形的兩條對(duì)角線，當(dāng)時(shí)，此時(shí)平行四邊形是矩形。例1.已知，且，則=_例2.設(shè)點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在線段BC外，BC=16，則向量的加減運(yùn)算：例1.（08遼寧）已知、是平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)，直線上有一點(diǎn)，滿足+2=0，則=_A.2- B.+2 C. D. +例2.(15課標(biāo)全國I）設(shè)D是三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則_A. B.C. D.例3.（12全國）在中，邊上的高為,=a, =b,ab=0, ,則=_例4.（10全國）在中，點(diǎn)在邊上，平分，若=a, =b,，則=_例

4、5.在中，設(shè)為邊的中點(diǎn), 為邊的中點(diǎn),若=+，則+=_例6.（15北京理）在中，點(diǎn)滿足，若，則例7.（13江蘇）設(shè)、分別是的邊、上的點(diǎn)，若，若=+(,為實(shí)數(shù))，則+=_例8.（12東北四市一摸）在中，設(shè)為邊的中點(diǎn)，內(nèi)角的對(duì)邊，若+=0，則的形狀為_(三）實(shí)數(shù)與向量的積：1.定義：實(shí)數(shù)與非零向量的乘積是一個(gè)向量，它的長度是_.它的方向是_.當(dāng)時(shí)，_2.數(shù)乘向量的幾何意義是把向量同方向或反方向擴(kuò)大或縮小。3.運(yùn)算律：設(shè)、是任意向量，是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)與向量的積適合以下運(yùn)算：4.向量共線的判斷：（平行向量的基本定理）如果，則；若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得.若、是兩個(gè)不共線的非零向量，則它們共線的充要條件是

5、存在兩個(gè)均不是零的實(shí)數(shù)，使_.若，不共線，則在有意義的前提下，例1.（15課標(biāo)全國II）設(shè)向量若、是兩個(gè)不平行的向量，向量與平行，則例2.（09湖南）對(duì)于非零向量“”是“”的_A充分不必要條件 B. 必要不充分條件C充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件例3.（12四川）設(shè)a，b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使成立的充分條件是Aab Bab Ca2b Dab且|a|b|5. 單位向量給定一個(gè)向量，與同方向且長度為1的向量叫做的單位向量，即_重要結(jié)論：已知，為定點(diǎn)，為平面內(nèi)任意一點(diǎn).+=0_.若=+，則為_若=+（+），則點(diǎn)的軌跡_.若=+_,則點(diǎn)的軌跡通過的內(nèi)心若_,則點(diǎn)的軌跡是的外心若_,

6、則點(diǎn)的軌跡是的垂心例1.（10湖北）在中，點(diǎn)滿足+=0，若存在實(shí)數(shù)，使得+=，則=_.例2.在中，重心為G，若，則例3.在中，重心為G，若，則三、平面向量的基本定理(一）平面向量基本定理內(nèi)容：如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使_,其中、是一組基底，記作_._叫做向量關(guān)于基底的分解式。平面向量基本定理是向量正交分解的依據(jù)，是向量坐標(biāo)運(yùn)算的基礎(chǔ)。注意：只要是不共線的兩個(gè)向量都可以作為基底，因?yàn)榱阆蛄颗c任一向量都平行，所以零向量一定不能作為基底；基底不唯一；任一向量可以由一組基底來表示，但表示方法是唯一的。例1.（14福建）在下列向量組中，可以把向

7、量表示出來的是_A. B. C. D. 例2.（09安徽）在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，BC的中點(diǎn)，若 ，則（2） 平面向量基本定理與向量共線條件的綜合應(yīng)用設(shè)是直線上兩點(diǎn)，是直線外一點(diǎn)，對(duì)于直線上任意一點(diǎn)，存在，使_成立.反之，滿足上式的點(diǎn)在直線上.特別地，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，則_.例1.已知、是平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)，線段的延長線上有一點(diǎn)，滿足3+=0則=_A.3-2 B.2+3 C. D. +例2.數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若平面上的三個(gè)不共線的向量、滿足=+，且三點(diǎn)共線，則例3.已知向量不共線，且=，若三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)應(yīng)滿足的條件_A. B. C. D. 例4.（07江西）如圖，在中，設(shè)

8、為邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交直線、于不同兩點(diǎn).若=，=，則+=_的最大值為_例5.在中，設(shè)為邊的任意點(diǎn)，為中點(diǎn)，=+，則+=_.例6.在中，設(shè)為邊的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，=+，則+=_.NMOCBAABMDGNCA例7.如圖，在中，設(shè)為邊的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，過任作一條直線分別交、于兩點(diǎn)，若=，=，試問是否為定值？四、平面向量的正交分解與向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：（一）向量的正交分解與向量的直角坐標(biāo)1.向量的垂直：如果兩個(gè)向量的基線互相垂直，那么這兩個(gè)向量互相垂直；2.向量的正交分解：如果基底的兩個(gè)基向量互相垂直，則稱這個(gè)基底為正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解。3.在平面直角坐標(biāo)系下，分別取與x軸，y軸方

9、向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，對(duì)于平面內(nèi)任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y，使得.有序數(shù)對(duì)叫做的坐標(biāo)，記作注意：（1）每一個(gè)向量都可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)來表示，向量有代數(shù)法和幾何法兩種表示。（2）符號(hào)有了雙重的意義，既可以表示固定的點(diǎn)，又可以表示向量；平面向量的坐標(biāo)只與始點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，只有點(diǎn)始點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)才與終點(diǎn)的坐標(biāo)相等。（二）向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.若，則.2.若，則=_|=_3.若，則4.若，,則有_.5.三角形ABC的重心坐標(biāo)公式為_五、平面向量的數(shù)量積：1.平面向量數(shù)量積的定義向量的夾角已知兩個(gè)非零向量，過點(diǎn)作，則_),叫作向量的夾角.當(dāng)_時(shí)，與垂直，記作_.當(dāng)_時(shí)，與平行或共線

10、.注意：理解什么是兩向量的夾角？以及兩向量夾角的范圍。向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則把_叫做向量的數(shù)量積（內(nèi)積），記作_.規(guī)定=0向量數(shù)量積的幾何意義_.2.向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則_當(dāng)同向時(shí)，.當(dāng)反向時(shí)，特別地，3.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：注意：向量的數(shù)量積無_律，無_律.4.數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算若，則若，則若，則的充要條件為_，則的充要條件為_求角問題：若非零向量，是的夾角，則注意：向量有幾何法和坐標(biāo)法兩種表示，它的運(yùn)算也有兩種方式即基于幾何表示的幾何法和基于坐標(biāo)表示的代數(shù)法.典型例題（一）向量數(shù)量積的幾何運(yùn)算，注意兩個(gè)向量的夾角，利

11、用平面向量的基本定理選好基底例1.對(duì)任意向量，下列關(guān)系式中不恒成立的是_A. B. C. D.例2.已知向量，滿足，則向量的夾角為_例3.（11江西）已知，則的夾角為_例4.（13全國）已知兩個(gè)單位向量，的夾角為，若則例5.（13江西）設(shè)、為單位向量，與的夾角為，若，則向量在方向的射影為_例6.已知向量，滿足，則例7.(14課標(biāo)全國）已知A，B，C為圓O上的三點(diǎn)，若，則與的夾角為_例8.（10湖南）在直角三角形中，則=_例9.（15湖北）已知向量，則例10.如圖，在平行四邊形ABCD中，APBD，垂足為P，且AP 3，則 例11.在三角形中，為邊的三等分點(diǎn)，則=_例12.（12天津）已知三角形

12、為等邊三角形，點(diǎn)滿足=，=（1-），若=，則例13.（13山東）已知向量與夾角，=+，且=0則實(shí)數(shù)的值_例14.（13天津）在平行四邊形中，為邊的中點(diǎn)，若=1，則的長為_例15.已知夾角為，在三角形中，為邊的中點(diǎn)，則例16. AD與BE分別是的中線，若AD=BE=1，的夾角為，則=_例17.(15四川）設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，AB=6，AD=4，若M，N滿足，則例18.（12浙江）在三角形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則=_例19.（09陜西）設(shè)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，滿足=2,則（+）=_例20. 設(shè)是三角形的外心，則（-）=_例21.在三角形中，已知，點(diǎn)是的垂直平分線上任一點(diǎn)，則=_例22.已知是三角

13、形的外心，若，則=_例23.若三角形內(nèi)接于以為圓心，1為半徑的圓，3+4+5=0,則=_例24.已知非零向量，在上有極值，則的取值范圍為_例25.（10全國）已知圓的半徑為1，為該圓的兩條切線，為切點(diǎn)，則的最小值為_典型例題（二）：對(duì)于有明顯的直角關(guān)系的向量問題-建立平面直角坐標(biāo)系(與線性規(guī)劃問題聯(lián)系),向量的幾何法與代數(shù)法的轉(zhuǎn)化例1.（13湖北）已知點(diǎn)A（1，1），B（1,2）C（2，1），D（3,4），則向量在方向上的投影為_例2.（12重慶）設(shè)，向量，則例3.已知點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，設(shè)為在上的投影，則的取值范圍_例4.（13福建）在四邊形中，=（1,2）， =（-4,2），則四

14、邊形的面積為_例5.（09湖南）如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板在一起，若=+，則=_,=_例6.已知，點(diǎn)在內(nèi)，=0,若=+，則例7.（09天津）若等邊三角形的邊長為，平面上一點(diǎn)，滿足=+,則=_.例8.（11天津）已知直角梯形中，是腰上的動(dòng)點(diǎn)，則|+3|的最小值為_例9.(12江蘇)如圖，在矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，若，則=_例10.在直角三角形中，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則例11.（13全國）已知正方形的邊長為2，為的中點(diǎn)，則=_例12.（13重慶）在平面上，若，則的取值范圍是_例13.（12北京）已知正方形的邊長為1，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則=_的最大值為_例14.平面上三個(gè)向量、

15、，滿足=0則的最大值為_例15.已知三角形中，點(diǎn)是內(nèi)部或邊界上一動(dòng)點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，則的最大值為_例16.（15福建）已知，若點(diǎn)P是三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值為_例17.（09全國）設(shè)是a,b,c單位向量，ab=0,則(a-c) (b-c)的最小值為_例18.（13湖南）已知a,b是單位向量，ab=0，若向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的取值范圍_例19.（11遼寧）若a,b,c單位向量，ab=0, (a-c) (b-c)，則|a+b-c|的最大值為_例20.（11全國）設(shè)向量a,b,c，滿足|a|=|b|=1, ab=,則|c|的最大值為_例21.（14安徽）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知a,b是單位向量，ab=0，若Q點(diǎn)滿足,曲線，區(qū)域，若為兩段分離的曲線，則_A. B. C. D.典型例題（三）：注意數(shù)量積與三角形面積、余弦定理、正弦定理的聯(lián)系與三角函數(shù)的聯(lián)系，與均值不等式的聯(lián)系例1.（10遼寧）平面上三點(diǎn)不共線，設(shè)，則的面積等于_A. B. C. D. 例2.在中，則例3.（11浙江）若平面向量，以向量為鄰邊