北師大版初三二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)及練習(xí)

1、二次函數(shù)知識(shí)回顧一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)，而可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2 是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)例1（基礎(chǔ)）.二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ） A（-1，8） B.（1，8） C（-1，2） D（1，-4）習(xí)題精練1、二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示，反比例函數(shù)y 與正比例函數(shù)y（bc）x在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（ ）2、若二次函數(shù)配方后為則、的值分別為（ ）A .0 5

2、 B .0. 1 C.-4. 5 D.-4. 13、圖（1）是一個(gè)橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂（拱橋洞的最高點(diǎn)）離水面2m，水面寬4m如圖（2）建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的關(guān)系式是（） A B C D圖（1） 圖（2）4、已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為（ ）A BC D5. 若，則由表格中信息可知與之間的函數(shù)關(guān)系式是（）6、巴人廣場(chǎng)中心標(biāo)志性建筑處有高低不同的各種噴泉，其中一支高為1米的噴水管噴水最大高度為3米，此時(shí)噴水水平距離為 米，在如圖4所示的坐標(biāo)系中，這支噴泉滿足的函數(shù)關(guān)系式是（ ）A） （B）（C） （D）二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基

3、本形式：的性質(zhì)：a 的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值向下軸時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值2. 的性質(zhì)：上加下減。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值向下軸時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值3. 的性質(zhì)：左加右減。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值向下X=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值4. 的性質(zhì)：的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向

4、上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值向下X=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值三、二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟：方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減” 方法二：沿軸平移:向上（下）平移個(gè)單位，變成（或）沿軸平移：向左（右）平移個(gè)單位，變成（或）考點(diǎn)1.二次函數(shù)的平移小試牛刀例2 已知，在同一直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)的圖像交于點(diǎn)（1）求、的值；（2）求二次

5、函數(shù)圖像的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo). 例3 把拋物線y=3x2向上平移2個(gè)單位，得到的拋物線是（ ）A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x2+2 D.y=3x2-2專題練習(xí)一1.對(duì)于拋物線y=x2+x，下列說(shuō)法正確的是（ ）A.開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，3） B.開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，3）C.開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，3） D.開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，3）2.若拋物線y=x2-2x+c與y軸的交點(diǎn)為（0，-3），則下列說(shuō)法不正確的是（ ）A.拋物線開口向上B.拋物線的對(duì)稱軸是x=1C.當(dāng)x=1時(shí)，y的最大值為-4D.拋物線與x軸交點(diǎn)為（-1，0），（3，0）圖23.將二

6、次函數(shù)y=x2的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是_.4.小明從圖2所示的二次函數(shù)的圖象中，觀察得出了下面五條信息：；，你認(rèn)為其中正確信息的個(gè)數(shù)有_.（填序號(hào)）考點(diǎn)2.根據(jù)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)確定二次函數(shù)表達(dá)式1.若已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，則可用一般式：y=ax2+bx+c（a0）；2.若已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或最大（?。┲导皰佄锞€上另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則可用頂點(diǎn)式：y=a（x-h）2+k（a0）；3.若已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)及另一個(gè)點(diǎn)，則可用交點(diǎn)式：y=a（x-x1）（x-x2）（a0）.例2 已知拋物線的圖象以A（-1，4）為頂點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)B（2，-5）

7、，求該拋物線的表達(dá)式.例3 已知一拋物線與x軸的交點(diǎn)是A（-2，0）、B（1，0），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（2，8）.（1）求該拋物線的解析式；（2）求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).專項(xiàng)練習(xí)二1.由于世界金融危機(jī)的不斷蔓延，世界經(jīng)濟(jì)受到嚴(yán)重沖擊.為了盤活資金，減少損失，某電器商場(chǎng)決定對(duì)某種電視機(jī)連續(xù)進(jìn)行兩次降價(jià).若設(shè)平均每次降價(jià)的百分率是x，降價(jià)后的價(jià)格為y元，原價(jià)為a元，則y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為（ ）圖2A.y=2a（x-1） B.y=2a（1-x） C.y=a（1-x2） D.y=a（1-x）22.如圖2，在平而直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸，點(diǎn)B在x軸正半

8、軸，與y軸交于點(diǎn)C，且tanACO=，CO=BO，AB=3，則這條拋物線的函數(shù)解析式是 3.對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線與y軸交于點(diǎn)（0，-2），且x=1時(shí)，y=3；x=-1時(shí)y=1，求此拋物線的關(guān)系式.4.推理運(yùn)算：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，（1）求此二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）求此二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）填空：把二次函數(shù)的圖象沿坐標(biāo)軸方向最少平移 個(gè)單位，使得該圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)四、二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過(guò)配方可以得到前者，即，其中五、二次函數(shù)圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描

9、點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，（若與軸沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).六、二次函數(shù)的性質(zhì) 1. 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，有最小值 2. 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。划?dāng)時(shí)，有最大值七、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式：（，為常數(shù)，）；2. 頂點(diǎn)式：（，為常數(shù)，）；3. 兩根式：（，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式

10、都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化. 圖2專項(xiàng)練習(xí)三1.拋物線y=kx2-7x-7的圖象和x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是_.2.已知二次函數(shù)的部分圖象如圖2所示，則關(guān)于的一元二次方程的解為 圖33.已知函數(shù)的圖象如圖3所示，那么關(guān)于的方程 的根的情況是（ ）A.無(wú)實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)同號(hào)不等實(shí)數(shù)根4. 二次函數(shù)的圖象如圖4所示，根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題：（1）寫出方程的兩個(gè)根（2）寫出不等式的解集（3）寫出隨的增大而減小的自變量的取值范圍（4

11、）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍八、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱 二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá) 1. 關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 2. 關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 3. 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是； 4. 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°） 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是 5. 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是 根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱變換，拋物線的

12、形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式十、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點(diǎn)情況）：一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時(shí)的特殊情況.圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)： 當(dāng)時(shí)，圖象與軸交于兩點(diǎn)，其中的是一元二次方程的兩根這兩點(diǎn)間的距離. 當(dāng)時(shí)，圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的上方，無(wú)論為任何實(shí)數(shù)，都有； 當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的下方，

13、無(wú)論為任何實(shí)數(shù)，都有 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為，； 3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，的符號(hào)，或由二次函數(shù)中，的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo). 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式本身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：拋物線與軸

14、有兩個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根拋物線與軸無(wú)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根.二次函數(shù)圖像參考：課后鞏固練習(xí)：1、把拋物線向右平移1個(gè)單位，所得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（ ）A B C D 2、在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖象向上平移2個(gè)單位，所得圖象的解析式為( )A B C D3、把拋物線向左平移1個(gè)單位，然后向上平移3個(gè)單位，則平移后拋物線的解析式為（ ）.A BC D4、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）A BDD5、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，若點(diǎn)A(1,y1

15、)、B(2,y2)是它圖象上的兩點(diǎn)，則y1與y2的大小關(guān)系是（ ）(A) y1y2 (B) y1=y2 (C) y1y2 (D)不能確定6、函數(shù)y=ax1與y=ax2bx1（a0）的圖象可能是（ ）7、根據(jù)下表中的二次函數(shù)的自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值，可判斷該二次函數(shù)的圖象與軸（ ） A只有一個(gè)交點(diǎn) B有兩個(gè)交點(diǎn)，且它們分別在軸兩側(cè) C有兩個(gè)交點(diǎn)，且它們均在軸同側(cè) D無(wú)交點(diǎn)8、已知二次函數(shù)的與的部分對(duì)應(yīng)值如下表：013131則下列判斷中正確的是（ ）A拋物線開口向上 B拋物線與軸交于負(fù)半軸C當(dāng)4時(shí)，0 D方程的正根在3與4之間9、已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：；方程的兩根之和大于0；隨的增

16、大而增大；，其中正確的個(gè)數(shù)（ ） A4個(gè)B3個(gè)C2個(gè)D1個(gè)10、已知二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論： a0.該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的值都等于0.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ） A3 B2 C1 D011、二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列關(guān)系式不正確的是（ ）.A0 B.0 C.0 D.012、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：abc0 2a+b0 4a2b+c0 a+c0，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）A、4個(gè) B、3個(gè) C、2個(gè) D、1個(gè)二、填空題1、當(dāng)_時(shí)，二次函數(shù)有最小值2、若把代數(shù)式化為的形式，其中為常數(shù)，則=.3、函數(shù)取得最大值時(shí)，_4、請(qǐng)寫出符合以下三個(gè)條件的一個(gè)函數(shù)的解析式 過(guò)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)自變量的值為2時(shí)，函數(shù)值小于25、已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點(diǎn)在第_象限三、解答題11、如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（2，0）、B（0，6）兩點(diǎn)。（1） 求這個(gè)二次函數(shù)的解析式y(tǒng)xCAOB（2）設(shè)該二次函數(shù)的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)C，連結(jié)BA、BC，求ABC的面積。2、一座拱橋的輪廓是拋物線型（如左圖所示），拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m（1）將拋物線放在所給的直角坐標(biāo)系中（如右圖所示），