大學物理課后習題答案第二章

1、文檔可能無法思考全面，請瀏覽后下載! 第二章 運動定律與力學中的守恒定律(一) 牛頓運動定律21 一個重量為P的質點，在光滑的固定斜面（傾角為）上以初速度運動，的方向與斜面底邊的水平約AB平行，如圖所示，求這質點的運動軌道解答質點在斜上運動的加速度為a = gsin，方向與初速度方向垂直其運動方程為ABv0P圖2.1x = v0t，將t = x/v0，代入后一方程得質點的軌道方程為，這是拋物線方程22 桌上有一質量M = 1kg的平板，板上放一質量m = 2kg的另一物體，設物體與板、板與桌面之間的滑動摩擦因素均為k = 0.25，靜摩擦因素為s = 0.30求：（1）今以水平力拉板，使兩者一

2、起以a = 1m·s-2的加速度運動，試計算物體與板、與桌面間的相NmfmNMfMa互作用力；（2）要將板從物體下面抽出，至少需要多大的力？解答（1）物體與板之間有正壓力和摩擦力的作用板對物體的支持大小等于物體的重力：Nm = mg = 19.6(N)，這也是板受物體的壓力的大小，但壓力方向相反物體受板摩擦力做加速運動，摩擦力的大小為：fm = ma = 2(N)，這也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反板受桌子的支持力大小等于其重力：NM = (m + M)g = 29.4(N)，這也是桌子受板的壓力的大小，但方向相反板在桌子上滑動，所受摩擦力的大小為：fM = kNM = 7

3、.35(N)這也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反（2）設物體在最大靜摩擦力作用下和板一起做加速度為a的運動，物體的運動方程為NmfNMf fFa f =smg = ma，可得 a =sg板的運動方程為 F f k(m + M)g = Ma，即 F = f + Ma + k(m + M)g = (s + k)(m + M)g，算得 F = 16.17(N)因此要將板從物體下面抽出，至少需要16.17N的力23 如圖所示：已知F = 4N，m1 = 0.3kg，m2 = 0.2kg，兩物體與水平面的的摩擦因素勻為0.2求質量為m2的物體的加速度及繩子對它的拉力（繩子和滑輪質量均不計）解答利用幾

4、何關系得兩物體的加速度之間的關系為a2 = 2a1，而力的關系為T1 = 2T2m2FT1a1m1T2a2f1f2圖2.3對兩物體列運動方程得T2 - m2g = m2a2，F(xiàn) T1 m1g = m1a1可以解得m2的加速度為= 4.78(m·s-2)，19 / 22繩對它的拉力為= 1.35(N)24 兩根彈簧的倔強系數(shù)分別為k1和k2求證：（1）它們串聯(lián)起來時，總倔強系數(shù)k與k1和k2滿足關系關系式；k1k2F(a)k1k2F圖2.4(b)（2）它們并聯(lián)起來時，總倔強系數(shù)k = k1 + k2解答當力F將彈簧共拉長x時，有F = kx，其中k為總倔強系數(shù)兩個彈簧分別拉長x1和x2

5、，產(chǎn)生的彈力分別為F1 = k1x1，F(xiàn)2 = k2x2（1）由于彈簧串聯(lián)，所以F = F1 = F2，x = x1 + x2，因此 ，即：（2）由于彈簧并聯(lián)，所以F = F1 + F2，x = x1 = x2，因此 kx = k1x1 + k2x2， 即：k = k1 + k225 如圖所示，質量為m的擺懸于架上，架固定于小車上，在下述各種情況中，求擺線的方向（即圖2.5擺線與豎直線的夾角）及線中的張力T（1）小車沿水平線作勻速運動；（2）小車以加速度沿水平方向運動；（3）小車自由地從傾斜平面上滑下，斜面與水平面成角；（4）用與斜面平行的加速度把小車沿斜面往上推（設b1 = b）；（5）以同

6、樣大小的加速度（b2 = b），將小車從斜面上推下來解答（1）小車沿水平方向做勻速直線運動時，擺在水平方向沒有受到力Tmgma（2）的作用，擺線偏角為零，線中張力為T = mg（2）小車在水平方向做加速運動時，重力和拉力的合力就是合外力由于tan = ma/mg， 所以 = arctan(a/g)；繩子張力等于擺所受的拉力 ：Tmgma（3）（3）小車沿斜面自由滑下時，擺仍然受到重力和拉力，合力沿斜面向下，所以 = ；T = mgcos（4）根據(jù)題意作力的矢量圖，將豎直虛線延長，與水平輔助線相交，可得一直角三角形，角的對邊是mbcos，鄰邊是mg + mbsin，由此可得：Tmgmb（4），T

7、mgmb（5）因此角度為；而張力為（5）與上一問相比，加速度的方向反向，只要將上一結果中的b改為-b就行了lmBCO圖2.626 如圖所示：質量為m =0.10kg的小球，拴在長度l =0.5m的輕繩子的一端，構成一個擺擺動時，與豎直線的最大夾角為60°求：（1）小球通過豎直位置時的速度為多少？此時繩的張力多大？（2）在 < 60°的任一位置時，求小球速度v與的關系式這時小球的加速度為多大？繩中的張力多大？（3）在 = 60°時，小球的加速度多大？繩的張力有多大？解答（1）小球在運動中受到重力和繩子的拉力，由于小球沿圓弧運動，所以合力方向沿著圓弧的切線方向，

8、即F = -mgsin，負號表示角度增加的方向為正方向lmBCOmgT小球的運動方程為，其中s表示弧長由于s = R = l，所以速度為，因此，即 vdv = -glsind， （1）取積分 ，得 ，解得：= 2.21(m·s-1)由于：，所以TB = 2mg = 1.96(N)（2）由（1）式積分得，當 = 60º時，vC = 0，所以C = -lg/2，因此速度為切向加速度為at = gsin；法向加速度為由于TC mgcos = man，所以張力為TC = mgcos + man = mg(3cos 1)（3）當 = 60º時，切向加速度為= 8.49(m&

9、#183;s-2)，法向加速度為 an = 0，繩子的拉力T = mg/2 = 0.49(N)注意在學過機械能守恒定律之后，求解速率更方便27 小石塊沿一彎曲光滑軌道上由靜止滑下h高度時，它的速率多大？（要求用牛頓第二定律積分求解）解答小石塊在運動中受到重力和軌道的支持力，合力方向沿著曲線方向設切線與豎直方向的夾角為，則hmNmg圖2.7F = mgcos小球的運動方程為，s表示弧長由于，所以，因此 vdv = gcosds = gdh，h表示石下落的高度積分得 ，當h = 0時，v = 0，所以C = 0，因此速率為 28 質量為m的物體，最初靜止于x0，在力(k為常數(shù))作用下沿直線運動證明

10、物體在x處的速度大小v = 2k(1/x 1/x0)/m1/2證明當物體在直線上運動時，根據(jù)牛頓第二定律得方程利用v = dx/dt，可得，因此方程變?yōu)椋e分得 利用初始條件，當x = x0時，v = 0，所以C = -k/x0，因此，即 證畢討論此題中，力是位置的函數(shù)：f = f(x)，利用變換可得方程：mvdv = f(x)dx，積分即可求解如果f(x) = -k/xn，則得（1）當n = 1時，可得利用初始條件x = x0時，v = 0，所以C = lnx0，因此 ，即 （2）如果n1，可得利用初始條件x = x0時，v = 0，所以，因此 ，即 當n = 2時，即證明了本題的結果29

11、一質量為m的小球以速率v0從地面開始豎直向上運動在運動過程中，小球所受空氣阻力大小與速率成正比，比例系數(shù)為k求：（1）小球速率隨時間的變化關系v(t)；（2）小球上升到最大高度所花的時間T解答（1）小球豎直上升時受到重力和空氣阻力，兩者方向向下，取向上的方向為下，根據(jù)牛頓第二定律得方程，分離變量得，積分得當t = 0時，v = v0，所以，因此，小球速率隨時間的變化關系為（2）當小球運動到最高點時v = 0，所需要的時間為討論（1）如果還要求位置與時間的關系，可用如下步驟：由于v = dx/dt，所以，即，積分得，當t = 0時，x = 0，所以，因此（2）如果小球以v0的初速度向下做直線運動

12、，取向下的方向為正，則微分方程變?yōu)?，用同樣的步驟可以解得小球速率隨時間的變化關系為這個公式可將上面公式中的g改為-g得出由此可見：不論小球初速度如何，其最終速率趨于常數(shù)vm = mg/k210 如圖所示：光滑的水平桌面上放置一固定的圓環(huán)帶，半徑為R一物體帖著環(huán)帶內側運動，物體與環(huán)帶間的滑動摩擦因數(shù)為k設物體在某時刻經(jīng)A點時速率為v0，求此后時刻t物體的速率以及ARv0圖2.10從A點開始所經(jīng)過的路程解答物體做圓周運動的向心力是由圓環(huán)帶對物體的壓力，即N = mv2/R物體所受的摩擦力為f = -kN，負號表示力的方向與速度的方向相反根據(jù)牛頓第二定律得， 即 ： 積分得：當t = 0時，v =

13、v0，所以，因此 解得 由于，積分得，當t = 0時，x = x0，所以C = 0，因此211 如圖所示，一半徑為R的金屬光滑圓環(huán)可繞其豎直直徑轉動在環(huán)上套有一珠子今逐漸增大圓環(huán)的轉動角速度，試求在不同轉動速度下珠子能靜止在環(huán)上的位置以珠子所停處的半徑與豎直mRrmg圖2.11直徑的夾角表示解答珠子受到重力和環(huán)的壓力，其合力指向豎直直徑，作為珠子做圓周運動的向心力，其大小為：F = mgtg珠子做圓周運動的半徑為r = Rsin根據(jù)向心力公式得F = mgtg = m2Rsin，可得，解得 (二)力學中的守恒定律212 如圖所示，一小球在彈簧的彈力作用下振動彈力F = -kx，而位移x = A

14、cost，其中k，A和都是常數(shù)求在t = 0到t = /2的時間間隔內彈力予小球的沖量解答方法一：利用沖量公式根據(jù)沖量的定義得OxFxm圖2.12dI = Fdt = -kAcostdt，積分得沖量為，方法二：利用動量定理小球的速度為v = dx/dt = -Asint，設小球的質量為m，其初動量為p1 = mv1 = 0，末動量為p2 = mv2 = -mA，小球獲得的沖量為I = p2 p1 = -mA，可以證明k =m2，因此I = -kA/213一個質量m = 50g，以速率的v = 20m·s-1作勻速圓周運動的小球，在1/4周期內向心力給予小mRp1p2pp1球的沖量等于

15、多少？解答小球動量的大小為p = mv，但是末動量與初動量互相垂直，根據(jù)動量的增量的定義 得：，由此可作矢量三角形，可得：因此向心力給予小球的的沖量大小為= 1.41(N·s)注意質點向心力大小為F = mv2/R，方向是指向圓心的，其方向在不斷地發(fā)生改變，所以不能直接用下式計算沖量假設小球被輕繩拉著以角速度 = v/R運動，拉力的大小就是向心力F = mv2/R = mv，mRFxyFFyxO其分量大小分別為Fx = Fcos = Fcost，F(xiàn)y = Fsin = Fsint，給小球的沖量大小為dIx = Fxdt = Fcostdt，dIy = Fydt = Fsintdt，積

16、分得，合沖量為，與前面計算結果相同，但過程要復雜一些214 用棒打擊質量0.3kg，速率等于20m·s-1的水平飛來的球，球飛到豎直上方10m的高度求棒給予球的沖量多大？設球與棒的接觸時間為0.02s，求球受到的平均沖力？vxvvy解答球上升初速度為= 14(m·s-1)，其速度的增量為= 24.4(m·s-1)棒給球沖量為I = mv = 7.3(N·s)，對球的作用力為（不計重力）：F = I/t = 366.2(N)215 如圖所示，三個物體A、B、C，每個質量都為M，B和C靠在一起，放在光滑水平桌面上，兩者連有一段長度為0.4m的細繩，首先放松B

17、的另一側則連有另一細繩跨過桌邊的定滑輪而與A相連已知滑輪軸上的摩擦也可忽略，繩子長度一定問A和B起動后，經(jīng)多長時間C也開始運動？C開始運動時的速度是多少？（取g = 10m·s-2）CBA圖2.15解答物體A受到重力和細繩的拉力，可列方程Mg T = Ma，物體B在沒有拉物體C之前在拉力T作用下做加速運動，加速度大小為a，可列方程：T = Ma，聯(lián)立方程可得：a = g/2 = 5(m·s-2)根據(jù)運動學公式：s = v0t + at2/2，可得B拉C之前的運動時間；= 0.4(s)此時B的速度大小為：v = at = 2(m·s-1)物體A跨過動滑輪向下運動，如

18、同以相同的加速度和速度向右運動A和B拉動C運動是一個碰撞過程，它們的動量守恒，可得：2Mv = 3Mv，因此C開始運動的速度為：v = 2v/3 = 1.33(m·s-1)216 一炮彈以速率v0沿仰角的方向發(fā)射出去后，在軌道的最高點爆炸為質量相等的兩塊，一塊沿此45°仰角上飛，一塊沿45°俯角下沖，求剛爆炸的這兩塊碎片的速率各為多少？v0vvv45°解答 炮彈在最高點的速度大小為v = v0cos，方向沿水平方向根據(jù)動量守恒定律，可知碎片的總動量等于炮彈爆炸前的總動量，可作矢量三角形，列方程得，所以 v = v/cos45° = 217 如圖

19、所示，一匹馬拉著雪撬沿著冰雪覆蓋的弧形路面極緩慢地勻速移動，這圓弧路面的半徑為R設馬對雪橇的拉力總是平行于路面雪橇的質量為m，它與路面的滑動摩擦因數(shù)為k當把雪橇由底端拉上45°圓弧時，馬對雪橇做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？R45°mgNFfds圖2.17解答取弧長增加的方向為正方向，弧位移的大小為ds = Rd重力的大小為：G = mg，方向豎直向下，與位移元的夾角為 + ，所做的功元為，積分得重力所做的功為摩擦力的大小為：f = kN = kmgcos，方向與弧位移的方向相反，所做的功元為，積分得摩擦力所做的功為要使雪橇緩慢地勻速移動，雪橇受的重力、摩擦力和馬的拉

20、力就是平衡力，即 ，或者 拉力的功元為：， 拉力所做的功為由此可見，重力和摩擦力都做負功，拉力做正功218 一質量為m的質點拴在細繩的一端，繩的另一端固定，此質點在粗糙水平面上作半徑為r的圓周運動設質點最初的速率是v0，當它運動1周時，其速率變?yōu)関0/2，求：（1）摩擦力所做的功；（2）滑動摩擦因數(shù)；（3）在靜止以前質點運動了多少圈？解答 （1）質點的初動能為：E1 = mv02/2，末動能為：E2 = mv2/2 = mv02/8，動能的增量為：Ek = E2 E1 = -3mv02/8，這就是摩擦力所做的功W（2）由于dW = -fds = -kNds = -kmgrd，積分得：由于W =

21、 E，可得滑動摩擦因數(shù)為（3）在自然坐標中，質點的切向加速度為：at = f/m = -kg，根據(jù)公式vt2 vo2 = 2ats，可得質點運動的弧長為，圈數(shù)為 n = s/2r = 4/3注意根據(jù)用動能定理，摩擦力所做的功等于質點動能的增量：-fs = E k， = 45°ABs = 3m圖2.19可得 s = -E k/f，由此也能計算弧長和圈數(shù)。219 如圖所示，物體A的質量m = 0.5kg，靜止于光滑斜面上它與固定在斜面底B端的彈簧M相距s = 3m彈簧的倔強系數(shù)k = 400N·m-1斜面傾角為45°求當物體A由靜止下滑時，能使彈簧長度產(chǎn)生的最大壓縮量

22、是多大？解答取彈簧自然伸長處為重力勢能和彈性勢能的零勢點，由于物體A和彈簧組成的系統(tǒng)只有保守力做功，所以機械能守恒，當彈簧壓縮量最大時，可得方程，整理和一元二次方程，解得= 0.24(m)（取正根）220 一個小球與另一質量相等的靜止小球發(fā)生彈性碰撞如果碰撞不是對心的，試證明：碰撞后兩小球的運動方向彼此垂直證明設一個小球碰撞前后的速度大小分別為v0和v1，另一小球的在碰撞后的速度大小為v2，根據(jù)機械能守恒得p1p2p0，即 ；根據(jù)動量守恒得：，其中各動量的大小為：p0 = mv0、p1 = mv1和p2 = mv2，對矢量式兩邊同時平方并利用得：，即：化簡得：，結合機械能守恒公式得：2v1v2

23、cos = 0，由于v1和v2不為零，所以： = /2，即碰撞后兩小球的運動方向彼此垂直221如圖所示，質量為1.0kg的鋼球m1系在長為0.8m的繩的一端，繩的另一端O固定把繩拉到水平位置后，再把它由靜止釋放，球在最低點處與質量為5.0kg的鋼塊m2作完全彈性碰撞，求碰撞后鋼球繼續(xù)運動能達到的最大高度解答鋼球下落后、碰撞前的速率為：鋼球與鋼塊碰撞之后的速率分別為v1和v1，根據(jù)機械能守恒和動量守恒得方程l = 0.8mm2m1O圖2.21，整理得將上式除以下式得：v1 + v1 = v2，代入整理的下式得，解得 碰撞后鋼球繼續(xù)運動能達到的最大高度為= 0.36(m)討論如果兩個物體的初速率都

24、不為零，發(fā)生對心彈性碰撞時，同樣可列出機械能和動量守恒方程，同理可得從而解得，或者；將下標1和2對調得，或者后一公式很好記憶，其中代表質心速度222一質量為m的物體，從質量為M的圓弧形槽頂端由靜止滑下，設圓弧形槽的半徑為R，張角為/2，如圖所示，所有摩擦都忽略，求：mMABRvV圖2.22（1）物體剛離開槽底端時，物體和槽的速度各是多少？（2）在物體從A滑到B的過程中，物體對槽所做的功W；（3）物體到達B時對槽的壓力解答（1）物體運動到槽底時，根據(jù)機械能定律守恒得，根據(jù)動量守恒定律得： 0 = mv + MV因此，解得， 從而解得：（2）物體對槽所做的功等于槽的動能的增量（3）物體在槽底相對于

25、槽的速度為，物體受槽的支持力為N，則，因此物體對槽的壓力為223 在實驗室內觀察到相距很遠的一個質子（質量為mp）和一個氦核（質量為4mp）沿一直線相向運動；速率都是v0，求兩者能達到的最近距離解答 當兩個粒子相距最近時，速度相等，根據(jù)動量守恒定律得4mpv0 - mpv0 = (4mp + mp)v，因此v = 3v0/5質子和氦核都帶正電，帶電量分別為e和2e，它們之間的庫侖力是保守力根據(jù)能量守恒定律得，lm圖2.24因此，所以最近距離為：224 如圖所示，有一個在豎直平面上擺動的單擺問：（1）擺球對懸掛點的角動量守恒嗎？（2）求出t時刻小球對懸掛點的角動量的方向，對于不同的時刻，角動量的

26、方向會改變嗎？（3）計算擺球在角時對懸掛點角動量的變化率lmgN解答（1）由于單擺速度的大小在不斷發(fā)生改變，而方向與弧相切，因此動量矩l不變；由于角動量L = mvl，所以角動量不守恒（2）當單擺逆時針運動時，角動量的方向垂直紙面向外；當單擺順時針運動時，角動量的方向垂直紙面向里，因此，在不同的時刻，角動量的方向會改變（3）質點對固定點的角動量的變化率等于質點所受合外力對同一點的力矩，因此角動量的變化率為225證明行星在軌道上運動的總能量為式中M和m分別為太陽和行星的質量，r1和r2分別為太陽和行星軌道的近日點和遠日點的距離r1r2v1v2證明設行星在近日點和遠日點的速度分別為v1和v2，由于

27、只有保守力做功，所以機械能守恒，總能量為 （1）和 （2）它們所組成的系統(tǒng)不受外力矩作用，所以行星的角動量守恒行星在兩點的位矢方向與速度方向垂直，可得角動量守恒方程mv1r1 = mv2r2，即 v1r1 = v2r2 (3)將（1）式各項同乘以r12得：Er12 = m(v1r1)2/2 - GMmr1， (4)將（2）式各項同乘以r22得：Er22 = m(v2r2)2/2 - GMmr2， (5)將（5）式減（4）式，利用（3）式，可得：E(r22 - r12) = -GMm(r2 - r1)， (6)由于r1不等于r2，所以：（r2 + r1)E = -GMm，故 證畢（三） 剛體定軸

28、轉動226質量為M的空心圓柱體，質量均勻分布，其內外半徑為R1和R2，求對通過其中心軸的轉動慣量R1R2OOH圖2.26解答設圓柱體的高為H，其體積為V = (R22 R12)h，體密度為 = M/V在圓柱體中取一面積為S = 2RH，厚度為dr的薄圓殼，體積元為dV = Sdr = 2rHdr，其質量為dm = dV，繞中心軸的轉動慣量為dI = r2dm = 2Hr3dr，總轉動慣量為227 一矩形均勻薄板，邊長為a和b，質量為M，中心O取為原點，坐標系OXYZaObXYZ圖2.27如圖所示試證明：（1）薄板對OX軸的轉動慣量為；（2）薄板對OZ軸的轉動慣量為證明 薄板的面積為S = ab

29、，質量面密度為 = M/S（1）在板上取一長為a，寬為dy的矩形元，其面積為dS = ady，其質量為dm =dS，繞X軸的轉動慣量為dIOX = y2dm = ay2dy，積分得薄板對OX軸的轉動慣量為aObXYZZOyxr同理可得薄板對OY軸的轉動慣量為（2）方法一：平行軸定理在板上取一長為b，寬為dx的矩形元，其面積為dS = bdx，質量為dm = dS，繞過質心的OZ軸的轉動慣量等于繞OX軸的轉動慣量dIOZ = b2dm/12根據(jù)平行軸定理，矩形元對OZ軸的轉動慣量為dIOZ = x2dm + dIOZ = bx2dx + b2dm/12，積分得薄板對OZ軸的轉動慣量為方法二：垂直

30、軸定理在板上取一質量元dm，繞OZ軸的轉動慣量為dIOZ = r2dm由于r2 = x2 + y2，所以dIOZ = (x2 + y2)dm = dIOY + dIOX，因此板繞OZ軸的轉動慣量為228 一半圓形細桿，半徑為R，質量為M，求對過細桿二端AA軸的轉動慣量解答半圓的長度為C = R，質量的線密度為 = M/C在半圓上取一弧元ds = Rd，其質量為dm = ds，到AA軸的距離為r = Rsin，繞此軸的轉動慣量為dI = r2dm = R3sin2d，AAR圖2.28半圓繞AA軸的轉動慣量為229 如圖所示，在質量為M，半徑為R的勻質圓盤上挖出半徑為r的兩個圓孔圓孔中心在圓盤半徑

31、的中點求剩余部分對大圓盤中心且與盤面垂直的軸線的轉動慣量OrRr圖2.29解答大圓的面積為S = R2，質量的面密度為 = M/S大圓繞過圓心且與盤面垂直的軸線的轉動慣量為IM = MR2/2小圓的面積為s = r2，質量為m = s，繞過自己圓心且垂直圓面的軸的轉動慣量為IC = mr2/2，根據(jù)平行軸定理，繞大圓軸的轉動慣量為Im = IC + m(R/2)2，剩余部分的轉動慣量為230 飛輪質量m = 60kg，半徑R = 0.25m，繞水平中心軸O轉動，轉速為900r·min-1現(xiàn)利用一制動用的輕質閘瓦，在剖桿一端加豎直方向的制動力，可使飛輪減速閘桿尺寸如圖所示，閘瓦與飛輪之

32、間的摩擦因數(shù) = 0.4，飛輪的轉動慣量可按勻質圓盤計算（1）設F = 100N，問可使飛輪在多長時間內停止轉動？這段時間飛輪轉了多少轉？（2）若要在2s內使飛輪轉速減為一半，需加多大的制動力F？解答設飛輪對閘瓦的支持力為N，以左端為轉動軸，在力矩平衡時有：0.5N 1.25F = 0，O0.50F0.75圖2.30所以：N=2.5F = 250(N)閘瓦對飛輪的壓力為;N = N= 250(N)，與飛輪之間摩擦力為：f = N = 100(N)，摩擦力產(chǎn)生的力矩為：M = fR飛輪的轉動慣量為：I = mR2/2，角加速度大小為： = -M/I = -2f/mR = -40/3(rad

33、83;s-2)，負號表示其方向與角速度的方向相反飛輪的初角速度為0 = 30(rad·s-1)根據(jù)公式 = 0 + t，當 = 0時，t = -0/ = 7.07(s)再根據(jù)公式2 = 02 + 2，可得飛輪轉過的角度為 = -02/2 = 333(rad)，轉過的圈數(shù)為n = /2 = 53r注意圈數(shù)等于角度的弧度數(shù)除以2（2）當t = 2s， = 0/2時，角加速度為 = -0/2t = -7.5力矩為M = -I，摩擦力為f = M/R = -mR/2 = (7.5)2閘瓦對飛輪的壓力為N = f/，需要的制動力為F = N/2.5 = (7.5)2 = 176.7(N)231

34、一輕繩繞于r = 0.2m的飛輪邊緣，以恒力F = 98N拉繩，如圖（a）所示已知飛輪的轉動慣量I = 0.5kg·m2，軸承無摩擦求（1）飛輪的角加速度（2）繩子拉下5m時，飛輪的角速度和動能（3）將重力P = 98N的物體掛在繩端，如圖（b）所示，再求上面的結果解答（1）恒力的力矩為F=98NP=98Nm(a)(b)圖2.31M = Fr = 19.6(N·m)，對飛輪產(chǎn)生角加速度為 = M/I = 39.2(rad·s-2)（2）方法一：用運動學公式飛輪轉過的角度為 = s/r = 25(rad)，由于飛輪開始靜止，根據(jù)公式2 = 2，可得角速度為 = 44

35、.27(rad·s-1)；飛輪的轉動動能為Ek = I2/2 = 490(J)方法二：用動力學定理拉力的功為W = Fs = 490(J)，根據(jù)動能定理，這就是飛輪的轉動動能Ek根據(jù)公式Ek = I2/2，得角速度為= 44.27(rad·s-1)(3)物體的質量為m = P/g = 10(kg)設繩子的張力為T，則P T = ma，Tr = I由于a = r，可得Pr = mr2 + I，解得角加速度為= 21.8(rad·s-2)繩子的張力為= 54.4(N)張力所做的功為W = Ts = 272.2(J)，這就是飛輪此時的轉動動能Ek飛輪的角速度為= 33(

36、rad·s-1)232質量為m，半徑為R的均勻圓盤在水平面上繞中心軸轉動，如圖所示盤與水平面的摩擦因數(shù)為，圓盤從初角速度為0到停止轉動，共轉了多R0O圖2.32少圈？解答圓盤對水平面的壓力為N = mg，壓在水平面上的面積為S = R2，壓強為p = N/S = mg/R2當圓盤滑動時，在盤上取一半徑為r、對應角為d面積元，其面積為dS = rddr，對水平面的壓力為dN = pdS = prdrd，所受的摩擦力為df = dN = prdrd，其方向與半徑垂直，摩擦力產(chǎn)生的力矩為dM = rdf = pr2drd，總力矩為圓盤的轉動慣量為I = mR2/2，角加速度大小為，負號表示

37、其方向與角速度的方向相反根據(jù)轉動公式2 = 02 + 2，當圓盤停止下來時 = 0，所以圓盤轉過的角度為，轉過的圈數(shù)為注意在圓盤上取一個細圓環(huán)，其面積為ds = 2rdr，這樣計算力矩等更簡單。233一個輕質彈簧的倔強系數(shù)為k = 2.0N·m-1它的一端固定，另一端通過一條細線繞過定滑輪和一個質量為m1 = 80g的物體相連，如圖所示定滑輪可看作均勻圓盤，它的半徑為r = 0.05m，質量為m = 100g先用手托住物體m1，使彈簧處于其自然長度，然后松手求物體m1下降h = 0.5m時的速度多大？忽略滑輪軸上的摩擦，并認為繩在滑輪邊上不打滑m1m1mhr圖2.33解答根據(jù)機械能守

38、恒定律可列方程，其中I = mr2/2， = v/r，可得2m1gh kh2 = m1v2 + mv2/2，解得= 1.48(m·s-1)234均質圓輪A的質量為M1，半徑為R1，以角速度繞OA桿的A端轉動，此時，將其放置在另一質量為M2的均質圓輪B上，B輪的半徑為R2B輪原來靜止，但可繞其幾何中心軸自由轉動放置后，A輪的重量由B輪支持略去軸承的摩擦與桿OA的重量，并設兩輪間的摩擦因素為OAR1R2B，問自A輪放在B輪上到兩輪間沒有相對滑動為止，需要經(jīng)過多長時間？解答圓輪A對B的壓力為 N = M1g，兩輪之間的摩擦力大小為 f = N = M1g，摩擦力對A的力矩大小為MA = f

39、R1 = M1gR1，摩擦力對B的力矩大小為MB = fR2 = M1gR2，設A和B的角加速度大小分別為A和B，轉動慣量分別為IA和IB，根據(jù)轉動定理得方程MA = IAA，即 A = MA/IA同理可得B = MB/IB當兩輪沒有相對滑動時，它們就具有相同的線速度v，A的角速度為A = v/R1，B的角速度為B = v/R2根據(jù)轉動運動學的公式得A = -At，B = Bt，即 v/R1 = -At，v/R2 = Bt，化得 v - R1 = -AR1t，v = BR2t，將后式減前式得R1 = (R1A + R2B)t， 解得 經(jīng)過的時間為注意在此題中，由于A、B兩輪不是繞著同

40、一軸轉動的，所以不能用角動量守恒定律如果A輪的輪面放在B輪的輪面之上，且兩輪共軸，在求解同樣的問題時，既可以用轉動定律求解，R2R1AB也可以結合角動量守恒定律求解當它們之間沒有滑動時，角動量為，根據(jù)角動量守恒定律得IA = (IA+IB)，因此得 = IA/(IA + IB)（1）設R1R2，那么A輪壓在B輪上的面積為S = R12，壓強為p = M1g/S = M1g/R12當A輪在B輪上產(chǎn)生滑動時，在A輪上取一半徑為r、對應角為d面積元，其面積為dS = rddr，對B輪的壓力為dN = pdS = prdrd，所受的摩擦力為df = dN = prdrd，其方向與半徑垂直，摩擦力產(chǎn)生的

41、力矩為dM = rdf = pr2drd，總力矩為這是A輪所受的力矩，也是B輪所受的力矩根據(jù)轉動定理得B輪的角加速度為B = M/IB根據(jù)轉動公式 = Bt，得時間為，即 （2）如果R1R2，那么A輪壓在B輪上的面積為S = R22，BR1Ardr壓強為p = M1g/S = M1g/R22同樣在A輪上取一面積元，力矩的積分上限就是R2總力矩為，由此求得時間就變?yōu)橹挥挟擱1 = R2時，兩個時間才是相同的：235 均質矩形薄板繞豎直邊轉動，初始角速度為0，轉動時受到空氣的阻力阻力垂直于板面，每一小面積所受阻力的大小與其面積及速度的平方的乘積成正比，比例常數(shù)為k試計算經(jīng)過多少時間，薄板角速度減為原來的一半設薄板豎直邊長為b，寬為a，薄板質量為m解答在板上距離轉軸為r處取一長度為b，寬度為dr的面積元，其面積arbdSrO圖2.35為dS = bdr當板的角速度時，面積元的速率為v = r，所受的阻力為df = kv2