2013年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷(文科)答案與解析

1、2013年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的1（5分）（2013重慶）已知全集U=1，2，3，4，集合A=1，2，B=2，3，則U（AB）=（）A1，3，4B3，4C3D4考點(diǎn)：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算專題：計(jì)算題分析：根據(jù)A與B求出兩集合的并集，由全集U，找出不屬于并集的元素，即可求出所求的集合解答：解：A=1，2，B=2，3，AB=1，2，3，全集U=1，2，3，4，U（AB）=4故選D點(diǎn)評(píng)：此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵2（5分）（2013重

2、慶）命題“對(duì)任意xR，都有x20”的否定為（）A存在x0R，使得x020B對(duì)任意xR，使得x20C存在x0R，都有D不存在xR，使得x20考點(diǎn)：命題的否定；全稱命題專題：證明題分析：根據(jù)全稱命題“xM，p（x）”的否定為特稱命題：“x0M，p（x）”即可得出解答：解：根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題可得：命題“對(duì)任意xR，都有x20”的否定為“x0R，使得”故選A點(diǎn)評(píng)：熟練掌握全稱命題“xM，p（x）”的否定為特稱命題“x0M，p（x）”是解題的關(guān)鍵3（5分）（2013重慶）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢（，2）B（2，+）C（2，3）（3，+）D（2，4）（4，+）考點(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法專題：函數(shù)的性

3、質(zhì)及應(yīng)用分析：根據(jù)“讓解析式有意義”的原則，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，分母不等于0，建立不等式，解之即可解答：解：要使原函數(shù)有意義，則，解得：2x3，或x3所以原函數(shù)的定義域?yàn)椋?，3）（3，+）故選C點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的定義域及其求法，求定義域常用的方法就是根據(jù)“讓解析式有意義”的原則，屬于基礎(chǔ)題4（5分）（2013重慶）設(shè)P是圓（x3）2+（y+1）2=4上的動(dòng)點(diǎn)，Q是直線x=3上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為（）A6B4C3D2考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系專題：直線與圓分析：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，過(guò)圓心A作AQ直線x=3，與圓交于點(diǎn)P，此時(shí)|PQ|最小，由圓的方程找出圓心A坐標(biāo)與半徑r，求出|

4、AQ|的長(zhǎng)，由|AQ|r即可求出|PQ|的最小值解答：解：過(guò)圓心A作AQ直線x=3，與圓交于點(diǎn)P，此時(shí)|PQ|最小，由圓的方程得到A（3，1），半徑r=2，則|PQ|=|AQ|r=62=4故選B點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，利用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解本題的關(guān)鍵5（5分）（2013重慶）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的k的值是（）A3B4C5D6考點(diǎn)：程序框圖專題：圖表型分析：根據(jù)所給數(shù)值判定是否滿足判斷框中的條件，然后執(zhí)行循環(huán)語(yǔ)句，一旦滿足條件就退出循環(huán)，輸出結(jié)果解答：解：s=1+（11）2=1，不滿足判斷框中的條件，k=2，s=1+（21）2=2，不滿足判斷框中

5、的條件，k=3，s=2+（31）2=6，不滿足判斷框中的條件，k=4，s=6+（41）2=15，不滿足判斷框中的條件，k=5，s=15+（51）2=31，滿足判斷框中的條件，退出循環(huán)，輸出的結(jié)果為k=5故選C點(diǎn)評(píng)：本題給出程序框圖，要我們求出最后輸出值，著重考查了算法語(yǔ)句的理解和循環(huán)結(jié)構(gòu)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題6（5分）（2013重慶）如圖是某公司10個(gè)銷售店某月銷售某產(chǎn)品數(shù)量（單位：臺(tái)）的莖葉圖，則數(shù)據(jù)落在區(qū)間22，30）內(nèi)的概率為（）A0.2B0.4C0.5D0.6考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式；莖葉圖專題：概率與統(tǒng)計(jì)分析：由莖葉圖10個(gè)原始數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)，數(shù)出落在區(qū)間22，30）內(nèi)的個(gè)數(shù)，由古典概型

6、的概率公式可得答案解答：解：由莖葉圖10個(gè)原始數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)落在區(qū)間22，30）內(nèi)的共有4個(gè)，包括2個(gè)22，1個(gè)27，1個(gè)29，則數(shù)據(jù)落在區(qū)間22，30）內(nèi)的概率為=0.4故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型及其概率公式，涉及莖葉圖的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題7（5分）（2013重慶）關(guān)于x的不等式x22ax8a20（a0）的解集為（x1，x2），且：x2x1=15，則a=（）ABCD考點(diǎn)：一元二次不等式的解法專題：計(jì)算題；不等式的解法及應(yīng)用分析：利用不等式的解集以及韋達(dá)定理得到兩根關(guān)系式，然后與已知條件化簡(jiǎn)求解a的值即可解答：解：因?yàn)殛P(guān)于x的不等式x22ax8a20（a0）的解集為（x1，x2），所以x1+x2=2

7、a，x1x2=8a2，又x2x1=15，24×可得（x2x1）2=36a2，代入可得，152=36a2，解得a=，因?yàn)閍0，所以a=故選：A點(diǎn)評(píng)：本題考查二次不等式的解法，韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力8（5分）（2013重慶）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A180B200C220D240考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積專題：空間位置關(guān)系與距離分析：由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)橫放的直四棱柱，高為10；其底面是一個(gè)等腰梯形，上下邊分別為2，8，高為4；據(jù)此可求出該幾何體的表面積解答：解：由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)橫放的直四棱柱，高為10；其底面是一個(gè)等腰梯形，上下邊分別

8、為2，8，高為4S表面積=2××（2+8）×4+2×5×10+2×10+8×10=240故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查由三視圖還原直觀圖，由三視圖求面積、體積，由三視圖正確恢復(fù)原幾何體是解決問(wèn)題的關(guān)鍵9（5分）（2013重慶）已知函數(shù)f（x）=ax3+bsinx+4（a，bR），f（lg（log210）=5，則f（lg（lg2）=（）A5B1C3D4考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)的值專題：計(jì)算題；壓軸題；方程思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：由題設(shè)條件可得出lg（log210）與lg（lg2）互為相反數(shù)，再引入g（x）=ax3+bsinx，使

9、得f（x）=g（x）+4，利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可得到關(guān)于f（lg（lg2）的方程，解方程即可得出它的值解答：解：lg（log210）+lg（lg2）=lg1=0，lg（log210）與lg（lg2）互為相反數(shù)則設(shè)lg（log210）=m，那么lg（lg2）=m令f（x）=g（x）+4，即g（x）=ax3+bsinx，此函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，故g（m）=g（m），f（m）=g（m）+4=5，g（m）=1f（m）=g（m）+4=g（m）+4=3故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的運(yùn)用及求函數(shù)的值，解題的關(guān)鍵是觀察驗(yàn)證出lg（log210）與lg（lg2）互為相反數(shù)，審題時(shí)找準(zhǔn)處理?xiàng)l件的方向?qū)?zhǔn)確快速做題很重

10、要10（5分）（2013重慶）設(shè)雙曲線C的中心為點(diǎn)O，若有且只有一對(duì)相交于點(diǎn)O，所成的角為60°的直線A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分別是這對(duì)直線與雙曲線C的交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）ABCD考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)專題：計(jì)算題；壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：不妨令雙曲線的方程為，由|A1B1|=|A2B2|及雙曲線的對(duì)稱性知A1，A2，B1，B2關(guān)于x軸對(duì)稱，由滿足條件的直線只有一對(duì)，得，由此能求出雙曲線的離心率的范圍解答：解：不妨令雙曲線的方程為，由|A1B1|=|A2B2|及雙曲線的對(duì)稱性知A1，A2，B1，B

11、2關(guān)于x軸對(duì)稱，如圖，又滿足條件的直線只有一對(duì)，當(dāng)直線與x軸夾角為30°時(shí)，雙曲線的漸近線與x軸夾角大于30°，雙曲線與直線才能有交點(diǎn)A1，A2，B1，B2，若雙曲線的漸近線與x軸夾角等于30°，則無(wú)交點(diǎn)，則不可能存在|A1B1|=|A2B2|，當(dāng)直線與x軸夾角為60°時(shí)，雙曲線漸近線與x軸夾角小于60°，雙曲線與直線有一對(duì)交點(diǎn)A1，A2，B1，B2，若雙曲線的漸近線與x軸夾角等于60°，也滿足題中有一對(duì)直線，但是如果大于60°，則有兩對(duì)直線不符合題意，tan30°，即，b2=c2a2，雙曲線的離心率的范圍是故選：

12、A點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意挖掘隱含條件二填空題：本大題共5小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上11（5分）（2013重慶）已知復(fù)數(shù)z=1+2i（i是虛數(shù)單位），則|z|=考點(diǎn)：復(fù)數(shù)求模專題：計(jì)算題分析：直接利用復(fù)數(shù)的模的求法公式，求解即可解答：解：復(fù)數(shù)z=1+2i（i是虛數(shù)單位），則|z|=故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的模的求法，考查計(jì)算能力12（5分）（2013重慶）若2、a、b、c、9成等差數(shù)列，則ca=考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得2b=2+9，解之可得b值，再由等差中項(xiàng)可得a，c的值，作差

13、即可得答案解答：解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得2b=2+9，解得b=，又可得2a=2+b=2+=，解之可得a=，同理可得2c=9+=，解得c=，故ca=故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題13（5分）（2013重慶）若甲、乙、丙三人隨機(jī)地站成一排，則甲、乙兩人相鄰而站的概率為考點(diǎn)：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題；古典概型及其概率計(jì)算公式專題：計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì)分析：甲、乙兩人相鄰，可以把兩個(gè)元素看做一個(gè)元素同其他元素進(jìn)行排列，然后代入古典概率的求解公式即可求解解答：解：記甲、乙兩人相鄰而站為事件A甲、乙、丙三人隨機(jī)地站成一排的所有排法有=6，則甲、乙兩人相鄰而站，把甲和乙當(dāng)做一個(gè)整體

14、，甲和乙的排列有種，然后把甲乙整體和丙進(jìn)行排列，有種，因此共有=4種站法=故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查排列組合及簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題及古典概率的求解，本題解題的關(guān)鍵是把相鄰的問(wèn)題作為一個(gè)元素同其他的元素進(jìn)行排列，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題14（5分）（2013重慶）OA為邊，OB為對(duì)角線的矩形中，則實(shí)數(shù)k=4考點(diǎn)：數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算專題：壓軸題；平面向量及應(yīng)用分析：由題意可得OAAB，故有 =0，即 =0，解方程求得k的值解答：解：由于OA為邊，OB為對(duì)角線的矩形中，OAAB，=0，即 =（3，1）（2，k）10=6+k10=0，解得k=4，故答案為 4點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量

15、的數(shù)量積的運(yùn)算，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的加減法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題15（5分）（2013重慶）設(shè)0，不等式8x2（8sin）x+cos20對(duì)xR恒成立，則的取值范圍為0，考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題；一元二次不等式的解法專題：壓軸題；不等式的解法及應(yīng)用分析：由題意可得，=64sin232cos20即2sin2（12sin2）0，解不等式結(jié)合0可求的取值范圍解答：解：由題意可得，=64sin232cos20，得2sin2（12sin2）0sin2，sin，00，故答案為：0，點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一元二次不等式的解法、二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題三解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫出文

16、字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟（2013重慶）如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率，過(guò)左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于A、A兩點(diǎn)，|AA|=4（）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P、P，過(guò)P、P作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外求PP'Q的面積S的最大值，并寫出對(duì)應(yīng)的圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程專題：綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：（）設(shè)橢圓方程為，將左焦點(diǎn)橫坐標(biāo)代入橢圓方程可得y=，則，又，a2=b2+c2，聯(lián)立可求得a，b；（）設(shè)Q（t，0）（t0），圓的半徑為r，直線PP方程為：x=m（mt），則圓Q

17、的方程為：（xt）2+y2=r2，聯(lián)立圓與橢圓方程消掉y得x的二次方程，則=0，易求P點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程得等式，由消掉r得m=2t，則，變?yōu)殛P(guān)于t的函數(shù)，利用基本不等式可求其最大值及此時(shí)t值，由對(duì)稱性可得圓心Q在y軸左側(cè)的情況；解答：解：（）設(shè)橢圓方程為，左焦點(diǎn)F1（c，0），將橫坐標(biāo)c代入橢圓方程，得y=，所以，a2=b2+c2，聯(lián)立解得a=4，所以橢圓方程為：；（）設(shè)Q（t，0）（t0），圓的半徑為r，直線PP方程為：x=m（mt），則圓Q的方程為：（xt）2+y2=r2，由得x24tx+2t2+162r2=0，由=0，即16t24（2t2+162r2）=0，得t2+r2=8，把x=m代

18、入，得，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，），代入（xt）2+y2=r2，得，由消掉r2得4t24mt+m2=0，即m=2t，=×（mt）=×t=×=2，當(dāng)且僅當(dāng)4t2=t2即t=時(shí)取等號(hào)，此時(shí)t+r=+4，橢圓上除P、P外的點(diǎn)在圓Q外，所以PP'Q的面積S的最大值為，圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程為：當(dāng)圓心Q、直線PP在y軸左側(cè)時(shí)，由對(duì)稱性可得圓Q的方程為，PP'Q的面積S的最大值仍為為點(diǎn)評(píng)：本題考查圓、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查方程組的解法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，難度較大16（13分）（2013重慶）設(shè)數(shù)列an滿足：a1=1，an+1=3an，nN+（）求an的

19、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；（）已知bn是等差數(shù)列，Tn為前n項(xiàng)和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：（）可得數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，代入求和公式和通項(xiàng)公式可得答案；（）可得b1=3，b3=13，進(jìn)而可得其公差，代入求和公式可得答案解答：解：（）由題意可得數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，故可得an=1×3n1=3n1，由求和公式可得Sn=；（）由題意可知b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13，設(shè)數(shù)列bn的公差為d，可得b3b1=10=2d，解

20、得d=5故T20=20×3+=1010點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，屬中檔題17（13分）（2013重慶）從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，獲得第i個(gè)家庭的月收入xi（單位：千元）與月儲(chǔ)蓄yi（單位：千元）的數(shù)據(jù)資料，算得，（）求家庭的月儲(chǔ)蓄y對(duì)月收入x的線性回歸方程y=bx+a；（）判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；（）若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄附：線性回歸方程y=bx+a中，其中，為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為考點(diǎn)：線性回歸方程專題：概率與統(tǒng)計(jì)分析：（）由題意可知n，進(jìn)而可得，代入可得b值，進(jìn)而可得a值，可得方程；（）由回歸方程

21、x的系數(shù)b的正負(fù)可判；（）把x=7代入回歸方程求其函數(shù)值即可解答：解：（）由題意可知n=10，=8，=2，故lxx=72010×82=80，lxy=18410×8×2=24，故可得b=0.3，a=20.3×8=0.4，故所求的回歸方程為：y=0.3x0.4；（）由（）可知b=0.30，即變量y隨x的增加而增加，故x與y之間是正相關(guān)；（）把x=7代入回歸方程可預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄為y=0.3×70.4=1.7（千元）點(diǎn)評(píng)：本題考查線性回歸方程的求解及應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題18（13分）（2013重慶）在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且a2

22、=b2+c2+bc（）求A；（）設(shè)a=，S為ABC的面積，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此時(shí)B的最值考點(diǎn)：余弦定理；正弦定理專題：解三角形分析：（）由余弦定理表示出cosA，將依照等式變形后代入求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；（）由（）求出sinA的值，由三角形的面積公式及正弦定理列出關(guān)系式，表示出S，代入已知等式中提取3變形后，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的余弦函數(shù)，由余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出S+3cosBcosC的最大值，以及此時(shí)B的值解答：解：（）由余弦定理得：cosA=，A為三角形的內(nèi)角，A=；（）由（）得sinA=

23、，由正弦定理得：b=，csinA=asinC及a=得：S=bcsinA=asinC=3sinBsinC，則S+3cosBcosC=3（sinBsinC+cosBcosC）=3cos（BC），則當(dāng)BC=0，即B=C=時(shí)，S+3cosBcosC取最大值3點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵19（12分）（2013重慶）如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，ACB=ACD=（）求證：BD平面PAC；（）若側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF=7FC，求三棱錐PBDF的體積考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定；棱柱、棱錐

24、、棱臺(tái)的體積專題：壓軸題；空間位置關(guān)系與距離分析：（）由等腰三角形的性質(zhì)可得BDAC，再由PA底面ABCD，可得PABD再利用直線和平面垂直的判定定理證明BD平面PAC（）由側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF=7FC，可得三棱錐FBCD的高是三棱錐PBCD的高的求出BCD的面積SBCD，再根據(jù)三棱錐PBDF的體積 V=VPBCDVFBCD=，運(yùn)算求得結(jié)果解答：解：（）BC=CD=2，BCD為等腰三角形，再由 ，BDAC再由PA底面ABCD，可得PABD而PAAC=A，故BD平面PAC（）側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF=7FC，三棱錐FBCD的高是三棱錐PBCD的高的BCD的面積SBCD=BCCDsinBCD=三棱錐PBDF