數(shù)值計算方法答案

1、73數(shù)值計算方法習題一（2）習題二（6）習題三（15）習題四（29）習題五（37）習題六（62）習題七（70）20099，9習題一1設>0相對誤差為2%，求，的相對誤差。解：由自變量的誤差對函數(shù)值引起誤差的公式：得（1）時；（2）時2設下面各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似數(shù)，即誤差不超過最后一位的半個單位，試指出他們各有幾位有效數(shù)字。（1）；（2）；（3）。解：由教材關于型數(shù)的有效數(shù)字的結論，易得上面三個數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)分別為：3，4，53用十進制四位浮點數(shù)計算（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）哪個較精確？解：（1）31.97+2.4

2、56+0.1352=0.3457（2）31.97+（2.456+0.1352） = =0.3456易見31.97+2.456+0.1352=0.345612，故（2）的計算結果較精確。4計算正方形面積時，若要求面積的允許相對誤差為1%，測量邊長所允許的相對誤差限為多少？解：設該正方形的邊長為，面積為，由解得=0.5%5下面計算的公式哪個算得準確些？為什么？（1）已知，（A），（B）；（2）已知，（A），（B）；（3）已知，（A），（B）；（4）（A），（B）解：當兩個同（異）號相近數(shù)相減（加）時，相對誤差可能很大，會嚴重喪失有效數(shù)字；當兩個數(shù)相乘（除）時，大因子（小除數(shù)）可能使積（商）的絕對值

3、誤差增大許多。故在設計算法時應盡量避免上述情況發(fā)生。（1）（A）中兩個相近數(shù)相減，而（B）中避免了這種情況。故（B）算得準確些。（2）（B）中兩個相近數(shù)相減，而（A）中避免了這種情況。故（A）算得準確些。（3）（A）中使得誤差增大，而（B）中避免了這種情況發(fā)生。故（B）算得準確些。（4）（A）中兩個相近數(shù)相減，而（B）中避免了這種情況。故（B）算得準確些。6用消元法求解線性代數(shù)方程組假定使用十進制三位浮點數(shù)計算，問結果是否可靠？ 解：使用十進制三位浮點數(shù)計算該方程則方程組變?yōu)椋?）-（2）得，即，把的值代入（1）得；把的值代入（2）得解不滿足（2）式，解不滿足（1）式，故在十進制三位浮點數(shù)解該

4、方程用消元法計算結果不可靠。7計算函數(shù)和處的函數(shù)值（采用十進制三位浮點數(shù)計算）。哪個結果較正確？解： = =即，而當時的精確值為1.6852，故的算法較正確。8按照公式計算下面的和值（取十進制三位浮點數(shù)計算）：（1）；(2)。解：（1）= （2）= 9已知三角形面積，其中。證明：。證明：由自變量的誤差對函數(shù)值的影響公式：。 得=（當時，），命題得證。習題二1找出下列方程在附近的含根區(qū)間。（1）；（2）；（3）；（4）；解：（1）設，則，由的連續(xù)性知在內(nèi)，=0有根。同題（1）的方法可得：（2），（3），（4）的零點附近的含根區(qū)間分別為；2用二分法求方程在內(nèi)的根的近似值并分析誤差。解：令，則有，所

5、以函數(shù)在上嚴格單調(diào)增且有唯一實根。本題中求根使得誤差不超過，則由誤差估計式，所需迭代次數(shù)滿足，即取便可，因此取。用二分法計算結果列表如下：0021-0.15851121.50.4962211.51.250.1862311.251.1250.015051411.1251.0625-0.071851.06251.1251.09375-0.0283561.093751.1251.109375-0.0066471.1093751.1251.11718750.00420881.1093751.11718751.11328125-0.00121691.113281251.11718751.11523437

6、50.001496101.113281251.1152343751.11425781250.001398111.113281251.11425781251.11376953125-0.000538121.113769531251.11425781251.114013671875-0.000199131.1140136718751.11425781251.1141357421875-0.0000297141.11413574218751.11425781251.114196777343750.000055由上表可知原方程的根該問題得精確解為，故實際誤差為3判斷用等價方程建立的求解的非線性方程在1

7、.5附近的根的簡單迭代法的收斂性，其中（A）；（B）；（C）解：取1.5附近區(qū)間來考察。（A），顯然當時，單調(diào)遞減，而，因此，當時， 。又當時，由迭代法收斂定理，對任意初值，迭代格式， 收斂。（B），則，所以當時，。又當時，由迭代法收斂定理，對任意初值，迭代格式，收斂。（C），由于當時，有，所以對任意初值（原方程的根除外），迭代格式 發(fā)散。4確定的簡單迭代法的收斂區(qū)間。如果收斂，試估計使精度達到時所需的迭代次數(shù)并進行計算。（A）；（B）；（C）解：（A）方程為，設，則，故有根區(qū)間為，題中，故迭代公式在含根區(qū)間內(nèi)收斂。（B）方程為，設，則，故有根區(qū)間為，題中，故迭代公式在含根區(qū)間內(nèi)收斂。（C）方

8、程為，設，則，故有含根區(qū)間，題中，5對下點列用埃特金方法加速。解：由埃特金加速公式計算，結果列下表：00.5403000.9617812834383110.8775810.9821175178448120.9449620.9898077326036030.9689140.9800750.9861460.989816令初值，分別用牛頓迭代法，雙點弦割法和單點弦割法求解方程的解。解：牛頓迭代法，滿足，由牛頓迭代法的收斂條件知當取初值為時迭代法收斂。牛頓迭代格式為：0113.522.6071428571428632.4542563600782842.4494943716069752.44948974

9、27875562.4494897427831872.44948974278318在第6部迭代后，迭代點得小數(shù)點后14位已無變化，故可取雙點弦割法雙點弦割法迭代格式為：0113.522.1111111111111132.3861386138613942.4542563600782852.4494273572571262.4494896821414472.4494897427839582.4494897427831892.44948974278318在第8部迭代后，迭代點得小數(shù)點后14位已無變化。雙點弦割法雙點弦割法迭代格式為：0113.522.1111111111111132.607142857

10、1428642.3861386138613952.4766081871345062.4381833473507272.4542563600782882.4474895545641292.45033071771908102.44913644779691112.44963821399228122.44942735725712132.44951595791130142.44947872716250152.44949437160696162.44948779773504172.44949056010085182.44948939934302192.44948988709816202.449489682

11、14143212.44948976826509222.44948973207557232.44948974728256242.44948974089252252.44948974357764262.44948974244934272.44948974292346282.44948974272423292.44948974280795302.44948974277277312.44948974278755322.44948974278134以后，迭代點得小數(shù)點后11位已無變化，因收斂速度較慢，故只精確到小數(shù)點后11位7建立利用方程求的Newton迭代格式，并討論算法的收斂性。解：牛頓迭代格式為：

12、令，因為當時，故對于任何滿足，即的初值，上述Newton迭代產(chǎn)生的迭代序列收斂于。8建立利用方程求的Newton迭代格式，并討論算法的收斂性。解：牛頓迭代格式為：令，因為當時，故對于任何滿足，即的初值，上述Newton迭代產(chǎn)生的迭代序列收斂于。9判斷用Newton迭代求解方程的收斂性。解：由 ，當時，要使Newton迭代法收斂對于初值，需滿足，顯然這樣得初值是不存在的，故當時，Newton迭代法不收斂。當時，同上的分析方法可得，初值也不存在的，故當時，Newton迭代法也不收斂。所以用Newton迭代求解方程不收斂。10寫出求解方程的Newton迭代格式并判斷以下情形的收斂性。（1）；（2）；

13、（3）。解：牛頓迭代格式為：解之得：（1）當時，故迭代序列不收斂；（2）當時，迭代序列收斂，但不收斂于方程的解；（3）當時，從而，迭代序列收斂，且收斂于方程的解。11求分別用下列迭代格式求解方程時的收斂階。（1）Newton迭代格式；（2）迭代格式。解：顯然，否則沒意義。易知Newton迭代格式收斂于，又（1）Newton迭代格式的收斂階為（2）迭代格式迭代格式的收斂階為12當初值取為下列各值時，用下山Newton迭代求解方程組是否收斂？若收斂，收斂于哪一個根？（1）（2）解：由下山Newton迭代格式習題三11分別用高斯消元法和列選主元法解方程組（精確到小數(shù)點后四位）：解：高斯消元法：=高斯

14、列選主元消元法 2分別用高斯消元法和列選主元法解方程組解：高斯消元法=列選主元法3.方程組 Ax=b 經(jīng)過一次Gauss消元后,系數(shù)矩陣A=, 變?yōu)?其中=為(n-1)(n-1)矩陣.其元素為=-/, 2,3,n.證明下面結論:（1）當A對稱正定時, 也對稱正定;（2）當A對角占優(yōu)時, 也對角占優(yōu).證明:（1）因為A對稱,所以 ;=-/=故對稱; A正定, ，又 = 其中: 顯然, 非奇異;對任何x , 有: A正定, ， 正定;又: = 而 故正定;(1) 當A對角占優(yōu)時, 故 對角占優(yōu)4.證明 (1)兩個單位上(下)三角形矩陣的乘積仍為單位上(下) 三角形矩陣;(2)兩個上(下)三角形矩陣

15、的乘積仍為上(下) 三角形矩陣.證明: (1) 不妨考慮證單位下三角矩陣,單位上三角矩陣證明方法相同設 AB=C 其中:當i<j 時 當時， ，所以,C為單位上三角矩陣(2) 證明方法類似(1)5證明單位上(下)三角形矩陣的逆矩陣仍為單位上(下)三角形矩陣;非奇異上(下)三角形矩陣的逆矩陣仍為非奇異的上(下)三角形矩陣;證明:6.用矩陣的三角分解求解下列線形代數(shù)方程組（1）解： （2）解： （3）解： （4） 解 7求解矩陣方程。解； X=8用追趕法解線性代數(shù)方程組。解： ， ， ， ， 10證明等價關系：證明：又，所以 由Cauchy不等式知： ，所以：綜上說述，即證。11證明由 定義

16、的|是中的范數(shù)。證明：顯然： 且 任意常數(shù) =|A|A+B|= =+12 證明證明：對任何 由于 故，因此，另一方面：設指標滿足： 定義如下： 顯然，=1而且，從而，即成立：綜上得命題成立13研究線形代數(shù)方程組的性態(tài)，并求精確解，設近似解，計算余量以及近似解的相對誤差解：因為該線性方程組的系數(shù)矩陣的逆矩陣為：條件數(shù)為4.0020e+003，遠大于1。所以其為病態(tài)的，其精確解為：余量為：r=，所以：14計算Hilbert矩陣 解：先求出的逆矩陣然后，計算 得出： 15求用雅克比迭代解下列線性代數(shù)方程組的兩次迭代解（取初始向量0）。 解：（1）雅可比迭代式為： ，取則 （2）雅可比迭代式為 取，則

17、 16若要求精度，仍用雅克比迭代求解15題，至少需迭代多少次？解：1） 雅可比迭代矩陣為： 由公式知，需要10次迭代（2）雅可比迭代矩陣為：，同上，需要22次迭代。17求用高斯塞德爾迭代求解15題的兩次迭代解（取初始向量0）。（1）高斯賽德迭代式取，則 （2）高斯賽德迭代式取 則 18求用SOR迭代（）求解15題的兩次迭代解（取初始向量0）。解：（1） k=0,1,取，則 （2） k=0,1,取 則 19設有線性代數(shù)方程組（1） 判斷雅克比迭代的收斂性；（2） 判斷高斯塞德爾迭代的收斂性。解：（1）雅克比迭代矩陣 故雅克比迭代發(fā)散（2） 高斯塞德爾迭代矩陣= ，故高斯塞德爾迭代收斂20設矩陣A

18、為二階矩陣，且。證明雅克比迭代和高斯塞德爾迭代同時收斂或發(fā)散。證明： 因為，所以雅克比迭代矩陣 高斯塞德爾迭代矩陣，所以，雅克比迭代和高斯塞德爾迭代同時收斂或發(fā)散。21設線性代數(shù)方程組為(1) 試用最速下降法求解（取初始向量，計算到）；(2) 試用共軛梯度法求解（取初始向量）。解：（1）最速下降法由 和K=0,1,2,3 得 0.5000 0.1667 0.5000 0.1667 （2）共軛梯度法由 K=0,1 得 ，即為精確解習題四1.已知ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0.8329, 試用線性插值和拋物插值計算.ln2.1的值并估計誤差解：線形插

19、值：取 =0.7410拋物線插值： =0.7422.已知x=0,2,3,5對應的函數(shù)值分別為y=1,3,2,5.試求三次多項式的插值解：解：取 =3.設函數(shù)f(x)在a,b上具有直到二階的連續(xù)導數(shù),且f(a)=f(b)=0,求證:解：取， 4.證明n次Lagrange插值多項式基函數(shù)滿足 解：取 則 =0所以 即證5.證明證明：、 取 則 所以，6.設有n個不同的實根證明:證明：取 而， 有n個不同的實根?？梢詫懗?7.分別求滿足習題1和習題2 中插值條件的Newton插值 (1)2.00.69312.20.78850.4772.30.83290.444-0.11 =0.693+0.477(x

20、-2)-0.11(x-2)(x-2.2)0.693+0.0477-0.0011=0.7419(2)0123132-1-2/3553/25/63/108.給出函數(shù)f(x)的數(shù)表如下,求四次Newton插值多項式,并由此計算f(0.596)的值0.400.550.650.800.901.050.410750.578150.696750.888111.026521.25382解：F2F3F4F5F60.40.410750.550.578151.116000.650.696751.186000.280000.80.888111.275730.358930.197330.91.026521.384100

21、.433470.18634-0.022001.051.253821.515330.524920.228630.088460.16394f(x)=0.41075+1.11600(x-0.4)+0.28(x-0.4)(x-0.55)+0.19733(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)-0.022(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)(x-0.8)+0.16394(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)(x-0.8)(x-0.9)所以 f(0.596)=0.631959.已知函數(shù)y=sinx的數(shù)表如下,分別用前插和后插公式計算sin0.57891的值0.40.50.60.70

22、.389420.479430.564640.64422解：前插：取節(jié)點：0.5 0.6 0.70.50.479430.60.564640.085210.70.644220.07958-0.00563 (0.5+th)=0.47943+0.08521*t-0.002815*t*(t-1)， h=0.1 取t=0.7891 (0.57891)=0.47943+0.06723921+0.00046848=0.547137690.54714 即sin(0.57891)=0.54714后插： 取節(jié)點 0.4 0.5 0.60.40.389420.50.479430.090010.60.5646

23、40.08521-0.0048(0.6+th)=0.56464+0.08521*t-*t(t+1)，h=0.1 取t= - 0.2109(0.57891)=0.56464+0.08521(-0.2109)-0.0024(-0.2109)(0.7891)=0.540686210.證明差商有線性性質(zhì),即若h(x)=，其中，為常數(shù)，則 證明:因為 n=0,1n 11.設計算及解： =1 12試根據(jù)數(shù)表12231-1構造Hermite 多項式插值解：12> 112> 0> 1> -223> -2> -12 3所以 13給出數(shù)表12324123試求Hermite 多項

24、式插值解：12> 224> 1> 3> 424> 5> 831214.利用差分性質(zhì)證明： 15設對每一個整數(shù)j, 有計算,并對該函數(shù)做一個差分表解：12-34-56-7所以 16 設函數(shù)取等距樣條節(jié)點。（1）計算函數(shù)在這些節(jié)點處的函數(shù)值，并作解：取 ， + - - 17給定插值條件數(shù)據(jù)01230000和端點條件(1)，（2）試分別求滿足上述條件的三次樣條插值的分段表達式解：(1)易知：hi=1 =1/2 =1/2 i=0,1,2,3.由基本方程組： 和 即有： 解出： 當時： 當時： =當時：（2）因為 j=0,1,2,3 解出： 由知：18證明函數(shù)，對任何

25、含0為節(jié)點的分劃都是三次樣條函數(shù)19證明式(4.4.32)線性無關習題五1求最小二乘擬合直線擬合如下數(shù)據(jù)。(a)-2-101212334解：由，。其中，。計算可得，。，該組數(shù)據(jù)的最小二乘擬合直線為：(b)-4-20241.22.86.27.813.2解：解法同上題。用計算得，。，該組數(shù)據(jù)的最小二乘擬合直線為：（c）0.00.250.500.751.001.00001.28401.64872.11702.7183解：解法同上題。用計算得，。，該組數(shù)據(jù)的最小二乘擬合直線為：2求最小二乘擬合一次、二次和三次多項式，擬合如下數(shù)據(jù)并畫出數(shù)據(jù)點以及擬合函數(shù)的圖形。(a)1.01.11.31.51.92.1

26、1.841.962.212.452.943.18解：（1）一次最小二乘擬合多項式，做法如題一，=1.2196，該一次最小二乘擬合多項式為：（2）二次最小二乘擬合多項式，設二次最小二乘擬合多項式為：，由教材分析知，系數(shù)滿足如下正規(guī)方程組：，把表中的數(shù)值代入得：，解得該二次最小二乘擬合多項式為：（3）三次最小二乘擬合多項式，設三次最小二乘擬合多項式為：，由教材分析知，系數(shù)滿足如下正規(guī)方程組：，把表中的數(shù)值代入得：，解得：該三次最小二乘擬合多項式為：(b)4.04.24.54.75.15.55.96.36.87.1102.56113.18130.11142.05167.53195.14224.872

27、56.73299.50326.72解：（1）一次最小二乘擬合，做法如題一，該一次最小二乘擬合多項式為：（2）二次最小二乘擬合多項式，設二次最小二乘擬合多項式為：，由教材分析知，系數(shù)滿足如下正規(guī)方程組：，把表中的數(shù)值代入得：，解得該二次最小二乘擬合多項式為：（3）三次最小二乘擬合多項式，設三次最小二乘擬合多項式為：，由教材分析知，系數(shù)滿足如下正規(guī)方程組：，把表中的數(shù)值代入得：，解得：該三次最小二乘擬合多項式為：3證明正弦函數(shù)組：在點集上線性無關。證明：假設存在使得，成立。由取值于，當時，上述等式顯然成立。當時，由方程組：要判斷函數(shù)組在點集上線性無關或線性，由線性代數(shù)知識，只需判斷上面導出的線性方

28、程組的系數(shù)矩陣的行列式是否為零即可。系數(shù)行列式為：=（數(shù)學歸納法）當時，當時，假設當時，。當時，分兩種情況：（1）考察行列式的第行和第行元素的關系易知，.，所以我們可以把第行上元素與第行對應元素相加則行列式轉化為再將第行對應元素與第行上元素的一半對應相減則行列式轉化為最后把第列與第列交換則可把行列式轉化為如下的塊對角行列式，由歸納假設，所以（2）當時的處理方法類似，這里從略。所以對于任意的，成立。由我們知道前面的線性方程組有唯一的零解，即僅當時，成立，所以得證。4求解例5.1.1。解：該問題得數(shù)據(jù)表格為：5810815022888225365687由數(shù)據(jù)做草圖觀察可設：令，于是方程轉化為一次最

29、小二乘擬合求：，數(shù)據(jù)表格轉化為：4.06044.68215.01065.42934.47735.41615.89996.5323， 一次最小二乘擬合多項式為：轉化為原方程得未知數(shù)得方程：，此即為所求得擬合曲線。5求形如的函數(shù)擬合如下數(shù)據(jù)：-3.0-1.50.01.53.0-0.1385-2.15870.83302.2774-0.5110解：，問題變?yōu)榍?，使得相應得正?guī)方程組為：由于，正規(guī)方程組為：，其解為：，。因此，所求的擬合函數(shù)為：6求擬合函數(shù)，擬合如下數(shù)據(jù)：01234200400650850950解： 令，則數(shù)據(jù)表格轉化為：012341.38630.4055-0.6190-1.7346-2

30、.9444問題變?yōu)榍笤摻M數(shù)據(jù)的一次最小二乘擬合：計算，故一次最小二乘擬合多項式為：轉化為原未知數(shù)：，所求擬合函數(shù)為：7設為內(nèi)積空間中的內(nèi)積，證明為中的范數(shù)。證明：要證為范數(shù)即需要證明下列范數(shù)公理：（1）齊次性：；（2）三角不等式：；（3）正定性：；，這里應用了不等式。由得定義易見，得證。8證明性質(zhì)5.2.3證明：必要性：設于線性無關，采用反證法。若行列式，于是，齊次方程組有非零解，即存在不全為零解使得記，于是有從而有，故即存在不全為零的數(shù)，使當說明于線性相關，與假設矛盾，故。充分性：設，求證于線性無關。反證法：若于線性相關，于是，存在不全為零數(shù)，使，對上式兩邊與做內(nèi)積得到由于不全為零，說明齊次

31、方程組有非零解，故系數(shù)矩陣的行列式為零，即，與假設矛盾。9證明拉蓋爾多項式的正交性。證明：10求函數(shù)在上的一次最佳平方逼近多項式。解：取通?；瘮?shù)求解。由教材對函數(shù)的最優(yōu)平方逼近的分析得，正規(guī)方程組為：即：解之得：，所以該函數(shù)得一次最佳平方逼近多項式為：11求函數(shù)在區(qū)間上的一次最佳平方逼近多項式。（1），；解：做法同10題，正規(guī)方程組為即：，解之得：,所以該函數(shù)得一次最佳平方逼近多項式為：（2），。解：正規(guī)方程組為即：解之得：，所以該函數(shù)得一次最佳平方逼近多項式為：12利用正交多項式基函數(shù)求解11題中各小題。解：（a）作變量代換 ，則區(qū)間變?yōu)?，。由于在區(qū)間上的正交多項式式勒讓德多項式，故取基函

32、數(shù)，。由；所以，故擬合函數(shù)為 （b）作變量代換，則區(qū)間變?yōu)?，由于在區(qū)間上的正交多項式式勒讓德多項式，故取基函數(shù)，。由； ； ；所以，故擬合函數(shù)為13利用正交多項式基函數(shù)求解例5.2.2。解：作變量代換，則區(qū)間變?yōu)椋捎谠趨^(qū)間上的正交多項式式勒讓德多項式，故取基函數(shù)，；由；所以，故擬合函數(shù)為：14利用三項遞推公式求在區(qū)間上帶權正交的一次、二次和三次多項式。解：帶權正交的一次多項式取，由于，帶權正交的二次多項式， 帶權正交的三次多項式， 所以，在區(qū)間上帶權正交的一次、二次和三次多項式分別為：15求在區(qū)間上帶權正交的一次和二次多項式，并利用它們求在上的二次最佳平方逼近多項式。解：由正交多項式的定義求

33、解取，由于要求解得，故所求的正交的一次多項式為由三遞推公式：， 故所求的正交的一次多項式為設在上的二次最佳平方逼近多項式為： ， ，所以16證明，定義了函數(shù)空間中的一種范數(shù)。證明：由范數(shù)的定義直接證明（1）；（2）；（3），；證畢。17求函數(shù)在區(qū)間上的最優(yōu)一致逼近一次多項式。解：設所求的最優(yōu)一致逼近一次多項式為：由在內(nèi)不變號，故單調(diào),在內(nèi)只有一個零點，記為，則根據(jù)最優(yōu)一致逼近的幾何意義，過的中點，做平行于過和的直線即為所求。 ，所求直線為：18求函數(shù)在區(qū)間上的最優(yōu)一致逼近一次多項式。解：理論分析同17題。，所求直線為：19求下列函數(shù)在區(qū)間上的二次和三次切比雪夫插值逼近多項式。(a)；(b)；解

34、：（a）（i）切比雪夫插值逼近多項式的二次插值節(jié)點為，其中，為的零點。計算得 進行插值，表如下：0120.866030-0.86632.3780910.42050造插商表：0.866032.37809011.59127-0.866030.420500.669150.53238可得牛頓型插值多項式，即相應的切比雪夫多項式為：（ii）切比雪夫插值逼近多項式的三次插值節(jié)點為，其中，為的零點。計算得 ，進行插值，表如下：01230.923880.38268-0.38268-0.923882.519041.466210.682030.39698造插商表：0.923882.519040.382681.46

35、6211.94536-0.382680.682031.024590.70477-0.923880.396980.526700.381070.17518可得牛頓型插值多項式，即相應的切比雪夫多項式為： （b）（i）切比雪夫插值逼近多項式的二次插值節(jié)點為，其中，為的零點。計算得 進行插值，表如下：0120.866030-0.86630.761760-0.76176造插商表：0.866030.76176000.87960-0.86603-0.761760.879600可得牛頓型插值多項式，即相應的切比雪夫多項式為：（ii）切比雪夫插值逼近多項式的三次插值節(jié)點為，其中，為的零點。計算得 ，進行插值，表

36、如下：01230.923880.38268-0.38268-0.923880.797950.37341-0.373410.79795造插商表：0.923880.797950.382680.373410.78444-0.38268-0.373410.97578-0.14644-0.92388-0.797950.784440.14644-0.15851可得牛頓型插值多項式，即相應的切比雪夫多項式為： 20求下列函數(shù)在區(qū)間上的二次切比雪夫插值逼近多項式。（a）;（b）.解：令則當時，。（a），為內(nèi)函數(shù)，故可用切比雪夫插值多項式逼近。切比雪夫插值逼近多項式的二次插值節(jié)點為，其中，為的零點。計算得 。進

37、行插值，表如下：0120.866030-0.86630.348910.50.88186造插商表：0.866030.3489100.5-0.17446-0.866030.88186- 0.440930.15385可得牛頓型插值多項式，即相應的切比雪夫多項式為：（b） 為內(nèi)函數(shù)，故可用切比雪夫插值多項式逼近。切比雪夫插值逼近多項式的二次插值節(jié)點為，其中，為的零點。計算得 。進行插值，表如下：0120.866030-0.86633.017721.386290.14257造插商表：0.866033.0177201.386291.88380-0.866030.142571.436120.25847可得牛

38、頓型插值多項式，即相應的切比雪夫多項式為：21利用切比雪夫級數(shù)截斷，求在區(qū)間上的次逼近多項式。解：按照切比雪夫級數(shù)系數(shù)的計算公式得所以在區(qū)間上的 次逼近多項式依次為 22利用縮短冪基數(shù)方法，將函數(shù)的泰勒展開逼近多項式降冪，使得其與函數(shù)的誤差不超過0.005。解：令用作為得近似，誤差為記為縮短冪級數(shù)所得到得5次多項式，同理有，縮短冪級數(shù)得到與的誤差為：由于，則得用作為的逼近多項式其誤差為若再用代入可以求得用其作為的逼近多項式的誤差為不合題意。故所求得逼近多項式為23求函數(shù)在區(qū)間上的逼近，其中。并將結果與四階泰勒多項式相比較。解：設所求的有理分式為，的麥克勞林級數(shù)為，令中的系數(shù)分別為零，其中。有：

39、，：，：，：，：，： 。求解得，故得有理分式逼近24求函數(shù)在區(qū)間上的切比雪夫有理分式逼近并和習題3中的結果相比較。解：由于是奇函數(shù)，故在切比雪夫級數(shù)展開中有，即其中， 設可得故得，解之得，因此逼近函數(shù)為所以，函數(shù)在區(qū)間上的逼近比切比雪夫有理分式逼近效果要好.第六章1已知函數(shù)在點x=1.0，1.1，1.2處的函數(shù)值（見下表），試用兩點和三 微分公式求在點x=1.1處的導數(shù)值，并估計誤差。1.01.11.20.2500000.2267570.206612解：由二點數(shù)值微分公式可得：，其誤差為：0.016，其誤差為：0.015由三點數(shù)值微分公式可得：，其誤差為：0.000982已知定積分的近似值：，

40、其中近似公有截斷誤差漸近展開式試列表外推計算解：由截斷誤差漸近展開式可構造外推公式：1.5707961.8961192.004561.9742321.9221571.916661.9935701.9806781.984581.985183分析二階數(shù)值微分公式的整體誤差并依此確定最佳步長h解：不超過，其中，最佳步長4計算弦長，其中（1）（2）（3）解： 利用Newto-Cotes求積公式其中：，（1）弦長為：（2）弦長為：，（3）弦長為：5計算旋轉體的側面積，其中同習題4解：利用Newto-Cotes求積公式其中：，（1）旋轉體的側面積為：（2）旋轉體的側面積為：（3）旋轉體的側面積為：6分別用

41、定步長和變步長梯形求積公式計算積分，使誤差不超過（提示：利用關系估計導函數(shù)的界）解：（1）利用復化梯形求積公式計算，由誤差公式知：，因此，當步長滿足，也即區(qū)間個數(shù)，則由數(shù)值積分公式得：（2）利用變步長的梯形公式計算，誤差估計：誤差估計：誤差估計：，故7分別用定步長和變步長辛浦生求積公式計算積分使誤差不超過解：（1）利用復化辛浦生求積公式計算，由誤差公式知，因此，當步長滿足，也即，取，則由公式可得：（2）利用變步長辛浦生求積公式計算，誤差估計為：，誤差估計為：，8證明梯形求積公式的代數(shù)精度為1，辛浦生求積公式的代數(shù)精度為3證明：（1）梯形求積公式，將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左=右；

42、將代入公式兩端，左右；從而梯形公式代數(shù)精度為1。（2）辛浦生求積公式，將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左右；從而梯形公式代數(shù)精度為3。9求求積公式的代數(shù)精度并估計求積公式的截斷誤差。解：將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左右故其代數(shù)精度為5；由廣義皮亞諾定理，當時，它的截斷誤差為：其分別取得：10試分別確定用復化梯形、辛浦生和中矩形求積公式計算積分所需的步長h，使得精度達到。解：（1）復化梯形公式故（2）復化辛浦生公式故（3）復化中矩形求積公式故11用龍貝格求積