ch8應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)(3rd)

1、第八章 應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)分析8-2 已知應(yīng)力狀態(tài)如圖所示（應(yīng)力單位為MPa），試用解析法計(jì)算圖中指定截面的正應(yīng)力與切應(yīng)力。題8-2圖(a)解：由題圖所示應(yīng)力狀態(tài)可知，將上列數(shù)據(jù)代入平面應(yīng)力狀態(tài)斜截面應(yīng)力公式，得(b)解：由題圖所示應(yīng)力狀態(tài)可知，由此可得指定斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為(c)解：由題圖所示應(yīng)力狀態(tài)可知，由此可得指定斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為8-3 試用圖解法（應(yīng)力圓）解題8-1。解：題8-1圖所示應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓如圖8-3所示。圖8-3由圖a可以量得指定截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為由圖b可以量得指定截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為8-6 圖示雙向拉伸應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)力。試證明任意斜截

2、面上的正應(yīng)力均等于，而切應(yīng)力則為零。題8-6圖證明：由題設(shè)條件可知，將上述數(shù)據(jù)代入平面應(yīng)力狀態(tài)斜截面應(yīng)力公式，則有由于式中為任意值，故原命題得證。8-7 已知某點(diǎn)A處截面AB與AC的應(yīng)力如圖所示（應(yīng)力單位為MPa），試用圖解法求主應(yīng)力的大小及所在截面的方位。題8-7圖解：根據(jù)題圖所給應(yīng)力，畫(huà)應(yīng)力圓如圖8-7所示。圖8-7從所畫(huà)的應(yīng)力圓上可以量得兩個(gè)主應(yīng)力，它們是：由于是平面應(yīng)力狀態(tài)，故知從該應(yīng)力圓上還可以量得的方位角為式中負(fù)號(hào)表示從面的外法線沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。8-9 圖示懸臂梁，承受載荷F = 20kN作用，試?yán)L微體A，B與C的應(yīng)力圖，并確定主應(yīng)力的大小及方位。題8-9圖解：由題圖可知，指定截

3、面的剪力與彎矩分別為微體A，B和C的應(yīng)力狀態(tài)依次如圖8-9 a,b和c所示。圖8-9對(duì)于圖a所示應(yīng)力狀態(tài)，其正應(yīng)力為由此可知，主應(yīng)力各為的方位角為對(duì)于圖b所示應(yīng)力狀態(tài)，其正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為極值應(yīng)力為由此可知，主應(yīng)力為由得的方位角為對(duì)于圖c應(yīng)力狀態(tài)，其切應(yīng)力為由此得各主應(yīng)力依次為的方位角為8-12(c) 試畫(huà)圖a所示應(yīng)力狀態(tài)的三向應(yīng)力圓，并求主應(yīng)力、最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力。題8-12圖解：顯然，為主應(yīng)力，而其他兩個(gè)主應(yīng)力則可由，與確定（圖b）。在平面內(nèi)（圖c），由坐標(biāo)（60，40）與（20，-40）分別確定A與B點(diǎn)，然后，以AB為直徑畫(huà)圓，與s軸相交于C與E，其橫坐標(biāo)分別為取D（20，0）對(duì)應(yīng)

4、于主平面z，于是，分別以ED與DC為直徑畫(huà)圓，即得三向應(yīng)力圓。可以看出，主應(yīng)力為而最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力則分別為8-15 在構(gòu)件表面某點(diǎn)O處，沿0°，45°，90°與135°方位粘貼四個(gè)應(yīng)變片，并測(cè)得相應(yīng)正應(yīng)變依次為= 450×10-6，= 350×10-6，= 100×10-6與= 100×10-6 ，試判斷上述測(cè)試結(jié)果是否可靠。題8-15圖解：依據(jù)平面應(yīng)變狀態(tài)任意方位的正應(yīng)變公式，有將式(a)和(b)代入式(c)，得(d)將以上所得結(jié)果(a),(b)和(d)代入平面應(yīng)變狀態(tài)任意方位的正應(yīng)變公式，計(jì)算應(yīng)有的測(cè)量值

5、為的實(shí)際測(cè)量值比上述結(jié)果小了一半，這說(shuō)明題中所給測(cè)試結(jié)果不可靠。其實(shí)，由應(yīng)變圓可知，無(wú)論a 為何值而同樣說(shuō)明題中所給的這組測(cè)試結(jié)果不可靠。8-16 圖示矩形板，承受正應(yīng)力作用。已知板件厚度=10mm，寬度b = 800mm，高度h = 600mm，正應(yīng)力=80MPa，=MPa，材料為鋁，彈性模量E=70GPa，泊松比= 0.33。試求板厚的改變量與板件的體積改變量。題8-16圖解：此為平面應(yīng)力狀態(tài)問(wèn)題。設(shè)板厚度方向的正應(yīng)變?yōu)?，則有板厚的改變量為體應(yīng)變?yōu)橛纱丝傻迷摪寮捏w積改變量為 8-17 圖a所示微體處于平面應(yīng)力狀態(tài)，已知應(yīng)力sx=100MPa，sy=80MPa，tx=50 MPa，彈性模量

6、E=200GPa，泊松比m =0.3，試求正應(yīng)變ex，ey與切應(yīng)變gxy，以及a =30°方位的正應(yīng)變e30°。題8-17圖解：根據(jù)廣義胡克定律，得斜截面的應(yīng)力如圖b所示，根據(jù)廣義胡克定律，得30°的正應(yīng)變?yōu)?-18 構(gòu)件表層一點(diǎn)處的應(yīng)力如圖a所示，為了測(cè)量應(yīng)力，在該點(diǎn)沿0°，45°與90°粘貼三個(gè)應(yīng)變片，幷測(cè)得相應(yīng)正應(yīng)變依次為（圖b）。已知材料的彈性模量為E，泊松比為m，試根據(jù)上述測(cè)試應(yīng)變值，確定該點(diǎn)處的正應(yīng)力sx，sy與切應(yīng)力tx。題8-18圖解：當(dāng)a=45°與a=-45°時(shí)，相應(yīng)截面的正應(yīng)力為根據(jù)廣義胡克定律

7、，45°方位的正應(yīng)變則為由此得(a)根據(jù)廣義胡克定律還可知，沿0°與90°方位的正應(yīng)變分別為(b)(c) 聯(lián)立求解式（a），（b）與（c），于是得 將應(yīng)變的測(cè)試值，代入上述方程，即可確定相應(yīng)正應(yīng)力sx，sy與切應(yīng)力tx。8-19 圖a所示板件，處于純剪切狀態(tài)。已知板邊切應(yīng)力為t，材料的彈性模量為E，泊松比為m，試計(jì)算板件沿對(duì)角線AC與BD方位的正應(yīng)變e45°與e-45° ，以及沿板厚的正應(yīng)變ez。 題8-19圖解：純剪切之主應(yīng)力為并分別位于45°與45°斜截面上(圖b)，所以，由廣義胡克定律得8-20 圖示矩形截面桿，承受軸

8、向載荷F作用。設(shè)截面尺寸b和h以及彈性常數(shù)E和均為已知，試計(jì)算線段AB的正應(yīng)變。題8-20圖解：由題圖可知，AB上任一點(diǎn)處的應(yīng)力為故有由廣義胡克定律得8-21 在構(gòu)件表面某點(diǎn)O處，沿0°,45°與90°方位，粘貼三個(gè)應(yīng)變片，測(cè)得該三方位的正應(yīng)變分別為= 450×10-6，= 350×10-6與= 100×10-6，該表面處于平面應(yīng)力狀態(tài)。已知材料的彈性模量E= 200GPa，泊松比=0.3，試求該點(diǎn)處的應(yīng)力。解：依據(jù)平面應(yīng)變狀態(tài)任意方位的正應(yīng)變公式，有聯(lián)解方程(a)，(b)和(c)，得根據(jù)平面應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律，有根據(jù)剪切胡克定律

9、，有8-22圖示直徑為d的圓截面軸，兩端承受扭力偶矩M作用。設(shè)由實(shí)驗(yàn)測(cè)得軸表面與軸線成45°方位的正應(yīng)變e45°，材料的彈性模量與泊松比分別為E與m，試求扭力偶矩M之值。題8-22圖解：在軸表層用縱、橫截面切取微體，縱、橫截面上的切應(yīng)力相同，其值均為由題8-18的解中之式（a）可知，圖示方位的正應(yīng)變?yōu)橛谑怯缮鲜龆降?-24圖示圓柱體，在剛性圓柱形凹模中軸向受壓，壓應(yīng)力為s，材料的彈性模量與泊松比分別為E與m，圓柱長(zhǎng)度均為l，試計(jì)算圓柱體的主應(yīng)力與軸向變形。題8-24圖 解：在凹模中的軸向壓縮圓柱體，由于其橫向變形受阻，其側(cè)面也受壓，壓強(qiáng)值用p表示。 對(duì)于側(cè)面均勻受壓的圓柱體，其內(nèi)任一點(diǎn)處的任一縱截面上，壓應(yīng)力值均等于側(cè)壓p。因此，根據(jù)廣義胡克定律，并設(shè)圓柱體的直徑為d，則其橫向變形為由于橫向變形為零，于是得所以，圓柱體內(nèi)各點(diǎn)處的主應(yīng)力為其軸向變形則為8-25 在建立圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式時(shí)，曾提出若干假設(shè)，試根據(jù)該假設(shè)說(shuō)明圓軸橫截面與徑向縱截面上均無(wú)正應(yīng)力。解：根據(jù)各橫截面仍保持平面，其形狀、大小均不改變，如同剛性圓片這一假設(shè)可得（這里采用圓柱坐標(biāo)）(a)其中，足標(biāo)和分別代表圓軸的徑向和環(huán)向。又據(jù)橫截面間的距離均不改變