北大數(shù)分實數(shù)完備性

1、實數(shù)是在有理數(shù)基礎上定義的，有理數(shù)乂是在榕數(shù)的基礎匕定義的，而整數(shù)乂是在自 然數(shù)的基礎上定義的，那么自然數(shù)如何定義呢？有兩個集合A和B ,我們稱它們?yōu)榈葍r的，如果存在一個從A到B的映射/,它是1 -1 的，乂是滿的。這時我們說4和B八何相同的勢。我們首先承認空集Q是存在的，考慮一 個集合W），它不是空集，凡與他等價的集合郁冇411同的勢，我們把他簡寫為1。再考 慮集合他,他，它與1 =0S不等價的，我們把它簡寫為2。一般地如果有了刃之后， 可以定義它的跟隨他,簡寫為n+lo這樣我們就得到了自然數(shù)N= 1, 2,3,，兒。 在N上可以定義加法：/?+/h = h+1+1+ -+1,還可以證明加法

2、滿足結合律和交換律： n+（/n + p） = （n + m）+p, n + m = m+n 這樣我們就從空集出發(fā),定義出自然數(shù)N。 這是-個吸抽彖的定義，比如說2 ,它不指二個人，也不指二個物，而是指一個集介儀（H ， 這個集介有兩個不同的元素他和0凡是與它等價的集合，都與它有相同的勢，J：是二個 人，二個物,都JI有相同的勢，按我們的理論，用）.|）作為它們的代表"在集合（rnji） :tn.ne N ）中，考慮一個關系:（/幾“）（”,'）當且僅當 ? + = ' + ，容易證明是一個等價關系。整數(shù)Z現(xiàn)在定義為：Z= （/n, n）: mjie N|/ 。在Z上

3、可以定義加法：（加,”）+ （/,”'）=（? +加',+'），還可以定義減法： （/?,/） -= （m + n/?） 可以驗證它們在Z中封閉,而且互為逆運算。在Z中我們用0表示（n,： w N, ,g|JO = 1一 1 = 2- 2 二,用k 表示（n + k, n） :n,keN,即k二伙+1） 1=（£十2） 2二，用-1表示（仏舁十l）:w N,即1= 1-2=2 3 =。在集合 （p,q）:Z. q#0中，考慮一個關系 : （p,q） （p；q）當且僅當pq = p'q它也是一個等價關系，有理數(shù)Q現(xiàn)在定義為：Q = Wp，q）： p、qw

4、Z,qHO/ 。在Q中我們可以定義加法，減法，乘法，除法，還可證明加減法互為逆運算，乘除法互為 逆運算等性質，在Q中我們用上，且（P，q） = 1表示其中一個冇理數(shù)，比如用丄表示<7 2（”，2n） o這樣我們完成從空集Q出發(fā)劍冇理數(shù)集Q的定義。在2500年前，畢達哥拉斯學派認為一切線段都由原子組成，而原子有一個固定長度， 比如假定“位線段由g個原子組成，被測帚的線段由P個氐子組成，則線段之長為：2, q 即有理數(shù)町以度駁一切長隊但畢達哥拉斯學派弟子希伯斯發(fā)現(xiàn)正五角形的邊長為1時，対 角線氏不能山仃理數(shù)農示，希們斯因此受到迫害。但后來發(fā)現(xiàn)仃很多長度不能用仃理數(shù)農示， 比如簡單地取正方形邊

5、氏為1,山勾股定理，它的對角線氏度的平方應為2 ,我們記之，為V2 , 如果它是有理數(shù)，就應該有：V2 = , （mji） = 1, "工0。兩邊平方,得2n2 =m2, B為加，料都是整數(shù),表明加？中含2因子,即加中含2因子,設m = 2p ,則n1 =2p同樣推理表明”中也含2因子，與（mji） = 1矛盾，所以不 是有理數(shù)。這表明只有有理數(shù)是不夠的，必須引入新的數(shù)，即無理數(shù)，它們合在一起稱為實 數(shù)。定義實數(shù)有不同的方法，戴徳金分割是一個比較標準的方法。奩觀地看，勺理數(shù)Q在 實軸上沒冇填滿，還冇很多“孔隙”，戴徳金分割就是在數(shù)軸上割一刀，把現(xiàn)冇的冇理數(shù)Q 分成兩部分，如果這一刀恰

6、好砍在某個有理數(shù)上，這 分割對應的就是這個仃理數(shù)，如果沒 碰到任何有理數(shù)，這個分割就定義出一個無理數(shù)。將冇理數(shù)全體組成的集介分成A , 兩類，使?jié)M足以下性質：1）A與3都至少包含一個有理數(shù)（不空）：2）任一有理數(shù)，或屬J4,或屬J；B （不漏）：3) A中任一數(shù)。均小中任一數(shù)b,即aeA, be B=>a<b (不亂)；4) A中沒有最大的數(shù)，即r/e A,使av/。則稱A, 3為有理數(shù)的一個分劃，A稱為分劃的下類，B稱為分劃的上類，記作(AIB)。定義中4)不同J： 1) -3),它是非實質性的，只是為了推理的方便。定義中4)用到 冇理數(shù)的稠密性(即兩個有理數(shù)之間必有一有理數(shù))，

7、如A有最大數(shù)，將此數(shù)放入3,則它 是3的授小數(shù)，這時A就無最大數(shù)；若力還有繪大數(shù)，根據(jù)有理數(shù)的稠密性，A的最大數(shù) 與B的址小數(shù)Z間必有一有理數(shù)，這個有理數(shù)被漏掉了，這與分劃的定義矛盾。注意定義沒有用到有理數(shù)的極限，只用到有理數(shù)性質和集介槪念。山分劃的定義知， 若a為下類的任一數(shù)，則小的任何冇理數(shù)也屈J、類；b為上類中的任一數(shù)，則大 的任何有理數(shù)也屬于上類。卜面用Q記有理數(shù)的集合。4 = xlx<l, xeQ；B = xx >, xeQ o容易看出力、B構成有理數(shù)的一個分劃，這時上類B有最小數(shù)1。A = xlx<0»Xx>011x2<2, xgQ)：5 =

8、 ,v I x > 0 且 X，>2, xe Q o顯然A、B不空、不亂，因為沒有有理數(shù)平方等于2,所以不漏,卜面證A無最大數(shù).設d>0,。2<2,要證存在有理數(shù)/*>(),使(a+r)2 < 2。即要證a2 +2ar + r2 <2. i& 2ar + r2 <2-a2-n1 當/*51時，只耍2arr<2-a2 ,也就只耍r<-。所以取有理數(shù)/滿足 la十12 a'0 < r < min h 時，即有(a+ r)2 < 2 故A中存在有理數(shù)a±r>a .當a <02a+ 1時

9、，屬于A的有理數(shù)0即大丁y,這就證明了A無最大數(shù).因此AIB是有理數(shù)的一個分劃。這個分劃中，上類B無最小數(shù)。事實上，設bw B,即b>0H.b，>2,耍證存在有理Sr>0,使b-r>0,且(b-r)2 >2,即b2-2br+r2 >2> 或 2br-r2<b2-2.b2 -2 b2 -2要使上式成立，只要2沁八2, Y肓。由于肓 >。，根據(jù)有理數(shù)的稠密性, 知存在有理數(shù)/*使得0<廣<蘭二，乂由匚2vb,推知；*vb,對這樣的八 滿足2b2bb-r>0, 0-r)2 >2,這就證明了，在中找到了比b更小的有理數(shù)b_r

10、,所以無最小數(shù)?？梢?，有理數(shù)的分劃可以分為兩類，第一類型是上類B有最小數(shù)，我們稱這類分劃為 冇理分劃；第一類型是上類B無最小數(shù)，我們稱這類分劃為無理分劃。顯然，任一有理分 劃與其上類的最小有理數(shù)對應，反之任一有理數(shù)b,總可確定一有理分劃：A = xx<b, xe Q iB = x I x > /?, xe Q o這樣，仃理數(shù)可以與仃理分劃建立一 対應，我們就用無理分劃來填充百線上的“孔隙”。 丁是有如下定義。有理數(shù)的任一無理分劃稱為無理數(shù)。為了一致起見，稱有理數(shù)的任一白理分劃為有理數(shù)。有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為。§為了研究實數(shù)的性質，我們回顧自理數(shù)的一些熟知性質，如自理數(shù)是全序

11、域，所謂全 序或簡單地說就是可以比較人小，而且在仃理數(shù)屮可以作加、減、乘、除四則運算。有理 數(shù)集是稠密的，即對任意有理數(shù)“、b(a<b)，總存在有理數(shù)c,使得cvcvb。由稠密 性雖得不出有理數(shù)連續(xù)地分布在數(shù)軸上，但卻是密密麻麻地分布在數(shù)軸上。另外，有理數(shù)滿 足阿基米徳原理，即對任意肓理數(shù)b>a>0,必存在口然數(shù)"，使fhia>b.我們用x,y,乙表示實數(shù)，即表示冇理數(shù)的分劃，用d,kc,表示冇理數(shù).用記號 R我示實數(shù)的集合，記號Q表示有理數(shù)的集合。為了書寫方便，用&表示實數(shù)x的卜類, B、表示實數(shù)x的上類，戌)表示$去掉最小數(shù)的集合。設有實數(shù)x、y

12、,1) 若集合Av = Ay,則稱x = y ：2) 若集合代工Av, Av u人，則稱x小于y ,或y大J' x,記作x < y或y > x。當X、y為有理分劃時，這定義與把X、y看成有理數(shù)的相等和人小關系是 致的。 與有理數(shù)0對應的有理分劃仍記為0,若x>0,稱x為正實數(shù)：若x<0,稱兀為負 實數(shù)。設實數(shù)xvy,由定義存在有理數(shù)如，使丘久，再由久無最大數(shù)，所以存在冇理數(shù)彳2，q“使q、<q?<q、, qi g A), qt 電 Ax (/ = 2, 3)。冇理數(shù)心產生的冇理分劃記作z，容易看出xvzvy,即實數(shù)集是稠密的。為了定義加法,我們需要下

13、面引理。設兀、y 為實數(shù)，令 A = r/( +a2 I a g Ax,a2 e A、, B = Q- A o 則(A I B)是有理數(shù)的分劃。:A、3滿足分劃不漏的條件是顯然的，集合人無最大元素也是明顯的。只耍 證滿足分劃的不空和不亂條件即可。先證A、B不空。A不空是顯然的，證不空。因集合伏，氏不空，珂訴,b2 By,只耍證bb2eB.假設不然，即b +h2 e A,由人的定義，3at e Ax, a2 e Ay,使bx +b2 =a( +a2.而由分劃x、y不亂條件得5 < ba2 <b2,即得aa2<bb2.故矛膚，所以匕+b2 e B再證不亂。設ae A, be B

14、,要證a <b0假設不然，a>b.由A的定義，3a, g ,w人，使得a = a+a2 >b ,因此 ci2 >/?-«!，由分劃y的不亂，得b-d g Ax, J：是b = q +(/?-«,) A ,故矛盾。所以 a <ba因此(AB)是有理數(shù)的分劃。在引理1條件下，稱實數(shù)(AB)為實數(shù)x與y的和，記作x + y。當x、y為有理分劃時，和也為有理分劃，F(xiàn)I和的定義與把x、y看成有理數(shù)時和的 定義是一致的。由上看出，這種證明沒有什么困難，所以，卜面我們只敘述定義，而略去證明。 要定義減法只耍定義負數(shù)即成。給定實數(shù)x,令A = a-ae 5；,

15、 B = Q-A 則(AI3)是有理數(shù)的分劃，我們稱(AIB)為實數(shù)x的負數(shù)，記作-x。由負數(shù)定義，容易證明卜血性質：1) 若xvO,則有一x>0：2) 若x = y ,則一兀=一，:3) (x) = x ；4) -(x+y) = (-x) + (-y).為了定義乘法，我們先耍定義絕對值。設XHO,稱x與-x中的正實數(shù)為x的絕對值, 記作1x1,規(guī)定101=0,于是x,當 x>0：lxl=- 0,當 x = 0：-x,當x < 0.b設有實數(shù)x>0, y >0,令A = a-a20<ale 人，0 < a 2 e AvJ a a < 0, a e

16、 Q ；B = Q A。則(AIB)S冇理數(shù)的分劃，我們稱實數(shù)(AI3)是實數(shù)xy的積，記作xy。 對尸一般的情形，我們定義：f Ixl lyl, (x、y同號)；x yh-(lxl lyl), (x、y異號);0,(x = 0 或)，=0).顯然，有 I x y 1-1 x I I y I«,要定義除法，只耍定義倒數(shù)。設x>0,令A = a 丄 w 3： U d I a 5 0, a w Q ,aB = Q-A .則(4丨3)是有理數(shù)的分劃，我們稱實數(shù)(AIB)是實數(shù)的倒數(shù)，記作兀"或丄。X 當xvO時，定義X-' =-lxr*,或丄=一丄X 1x1總Z我們

17、用仃理數(shù)的加法和負數(shù)，來定義分劃的加法和負數(shù)：對正實數(shù)情形，用仃理數(shù) 的乘法和倒數(shù)來定義分劃的乘法和倒數(shù)，對-般的實數(shù)乘法和倒數(shù)，乂化到正實數(shù)情形。耍證集介R是域，即耍對上面定義的加法和乘広運算，滿足卜列性質：1) 交換律：Vx, y g R. x + y = y + x ,x y = yx；2) 結介律：Vx, y, z g R (x+y) + z = x + ()'+Z),(x刃z = x(y z)；3) Vxg R. x + O= x, x-1 = x：4) V,vg R, x + (-x) = 0, x-,v_l = 1(xhO)；5) 分配律：x-(y + z) = xy +

18、 x-Zo其中，記號1表示由有理數(shù)1所確定的有理分劃。前三條性質證明比較簡單：第四條性質的證明，用到有理數(shù)的阿皐米徳原理：第五條 性質證明較煩瑣。我們不打算討論這些性質的證明，只以第四條加法為例，給出證明的示范。證明x + (-x) = O的困難，在丁每一個負有理數(shù)，能否看成集介人中的元索，與集介 4“中的尤索相加而得，或能否看成集合代中的元素，減去集合比屮的元素而得，為此我 們需要下面引理。給定實數(shù)X, 0有理數(shù)£>0,則3aeAx. bw B；,使b-a = e.證明 由分劃的不空性，3a0 g 4 , bneBx,根據(jù)阿卑米徳原理，日口然數(shù)”，使得 ne>b0-aQ

19、t 考察數(shù)：aQ , a0 +E , «0 4- 2e ,，an +/? (> Z?o)«在這有限個數(shù)中，總存在一個位下類中最大的數(shù)，記作d =+ te g Ax (k < n) o若b = a0+伙+1)£不是上類的最小數(shù)，b即為所求。若b是上類的最小數(shù)，取1 3a = a()十伙十)e ,/? = «0 +(A + )e即成.fiEx + (-x) = O,即要證At+(_x)=4.設a e Ar+<_r), B|Ja = ax-¥a2, at e Ax, a2 e A_x o 山負數(shù)定義知-cgw B； uB、, 所以一

20、02>4，得= «<0,即I大此力“uAo反之，若aw A(),有-a >0 ,根據(jù)引理2,存在w人，gwB：,且切一®二一a ,由負數(shù)定義，一也wAf,再由加法定義，知二一片十(一也疋人訊“,因此A°uA*八合起來得A)- 4心，)»即0 = x十(一x)。實數(shù)集是全序域，是指實數(shù)集R，對前面所定義的“小J"關系，滿足卜面四條性質：1) Vx, ywR下列三式有且僅有一個成立：x = y , xvy, y <x：2) 若 x <y t yvz，則 x<z (傳遞性)；3) 若xvy, zwR,則x + zv

21、y+Z；4) 若 x <y t z > 0,則 x z < y z o1) 若下類Av=Ay,由定義知x二y,其它兩式不成立；若人工久，則或 A、uA、，或不是這樣。若是前者，則xvy,其它兩式不成立；若是后者，必有 而ae Ayt 由此得 a e ByO 這時必冇 A、uA。因 V«g Av 冇ova',Ax,所以A u人，即y v x。2) 由條件得 Axa Ay,化工人；AycAz, W 因此AxcAz, Ax A., 即 xv z。3) 山x v y,推出玄，使cw Ay，而"Ax,因而cw Bx。山A、無最人數(shù)，推出3c 使 c <

22、ce Av o 令 c-c = e > 0 .由引理 2, Ba e Ax, he Bx. Hb-a =e =c -c <> 于是c'+dwAyx，b + c = a + c g Bx+.t 所以x + z< > + Z .4) W y + (-x)>0 ,根據(jù)分劃的乘法定義，知Zy十(一兀)>0,由分配律 z y+z (-x)> 0,利用 x + (-x) = 0,可得 z(-x) = -(zx),所以zy+ -(z x) > 0, 即得 x-z<y-z，將仃理數(shù)用直線上的點衣示時，發(fā)現(xiàn)E（線上還留育許許多多“孔隙”。我們用

23、無理數(shù)來填 充這些“孔隙”，現(xiàn)在問題是這些“孔隙”是否被填滿了，如果被填滿了，對實數(shù)作分劃時, 就不可能產生新的“數(shù)”，否則類似有理數(shù)分劃產生無理數(shù)一樣，對實數(shù)分劃還可得出新 的“數(shù)”。事實上，戴徳金正是考世怎么用嚴格的數(shù)學語言，給出有理數(shù)是不連通的、實數(shù) 是連通的定義，經反復研究，發(fā)現(xiàn)用“分劃”的辦法是最恰當?shù)孛枋鲞B通性的數(shù)學語言，對 冇理數(shù)作“不空、不漏、不亂”的分劃時，若下類無杲大數(shù)，則上類也可以無最小數(shù)，所以 按定義有理數(shù)是不連通的；而對實數(shù)作“不空、不漏、不亂”的分劃時，若下類無繪大數(shù)， 則上類必有瑕小數(shù)，所以按定義實數(shù)是連通的。卜面我們嚴格的說明這一點。把實數(shù)集R分成兩個子集X、Y

24、 ,使満足：1）x、y至少包含一個實數(shù)（不空）；2）每一實數(shù)或屬于x,或屬于丫 （不漏）：3）任一同于X的實數(shù).小于任一屬于Y的實數(shù)（不亂）:4）X中無最大數(shù)（用到實數(shù)稠密性）。則稱X、丫為實數(shù)的一個分劃，記作（xir）, x稱分劃的卜類，丫稱分劃的上類。（連通性）設（X m為一實數(shù)分化，則丫必冇最小數(shù)。 首先我們定義一實數(shù)。令A = aae xe XB = Q- A «則（A I B）是一有理數(shù)的分劃，為此耍證它滿足分劃的四個條件。i）A的不空是顯然的。證B不空。由Y不空，ByeY ,又mbwB、,冇理數(shù)b定 協(xié)若不然，有beA,由力的定義，be ,由關于實數(shù)的“小于關系” 的定義

25、，知yvx,這與（XIY）分劃不亂矛盾，所以beB.ii）A、B滿足不漏條件是顯然的：iii）證滿足不亂條件。設ae A , be B ,耍證a <b»假設不然，b<a,由A定義，3xe X , aeA.be A,因此bw 4,這與bw B 矛盾，所以a<b.iv）A無瑕大數(shù)也是明顯的。既然（AB）是一有理數(shù)的分劃，所以它為一實數(shù)，記作z = （AIB）o具次證"X °假若不然，由X無最大數(shù)，3xgX, zvx，根據(jù)小于定義，日有理數(shù)c,使ce Art cw B： =B °山A的定義，ce A.可&ce B，故矛盾，所以zwX。

26、 最后證zeYfl.是丫的最小數(shù)。因（XIY）不漏，所以ze Ko假設z不是丫的最小數(shù), X , yvz，日有理數(shù) c,使 ce A. =At cw B、。llJcg A , 3xg X , cg ,再dice 及小 J定義，知 y vx,這與(X IF)不亂矛 盾，所以Z是丫的最小數(shù)。證畢。至此，我們證明了實數(shù)集是全序域，且是連通集。我們稱連通的全序域為，仍用記號R表示。這里我們用R不能分解成兩個不空、不漏、不交的開區(qū)間來定義R的 連通性，這定義只對R適用。對一般空間，需耍冇開集的概念，我們用空間不能分解成兩 個不空、不漏、不交的開集來定義連通性。在這個泄義卜，實數(shù)集R也是連通的。3.5給定

27、實數(shù)x=(AlB)t若由實數(shù)我們能確定一個記號,乂由記號返冋去去確定實數(shù)， 那么這個記號就可以作為實數(shù)的一種表示。由阿宰米德原理，m整數(shù)M、N分別屬J-A. B, MeA, NwB °由M逐 次加1,必能求得兩個相鄰整數(shù)c°, c0+l, c0g4, c°+1wB。c°可以是正數(shù)、負數(shù) 或零。用c° l, c°2,，c°9,分c。，c°+l何隔為十等分，必有一個是屬丁下類 的最大數(shù)，設c0 c. e A,ctt c, + e B10其中q為0,1,-,9中某一數(shù)字。繼續(xù)分卜去,在確定了數(shù)碼之后，可確定C”，使Cog

28、c”w A, %心5十右 B,其中Cj為0,1,9中某一數(shù)字(i = 1,2,，n),由此可得一記號CoC&2C“，稱為無限小數(shù)，它是實數(shù)的一種表示。當Cocq+是上類的厳小數(shù)時，容易看MR” =9(” 燈：又c”中一定有無限10個數(shù)字不為零，否則下類中就有最大數(shù)。反Z,任給一有無限個C"不為零的無限小數(shù)厲心。，總可找到一個實數(shù)X,剛好被它所表示。為此考察有理數(shù)心二 MU bn 二 c°q c”+而,顯然 an < bn, (n = 1,2,-)o 現(xiàn)在定義有理數(shù)的一個分劃：把一切人J：a”的仃理數(shù)I丿I為上類3,把-切余卜的仃理數(shù)山 為下類A,貝0 （A I

29、 B）是一個有理分劃。顯然aneA. X/自然數(shù)加，當n > m時，有 a” <bn< bm,當/i 5 時，有兀 < am < bm。由加的任意性，所以仇二1,2,）。這說明A、B不空。滿足不漏條件是顯然 的。再證滿足不亂條件：設awA, be B,曲4、B定義，3/1,使a <anO否則d大J： 一切a”，a應kA B ,矛盾。再由大一切a”，即得aSa“vb。由無窮多個“不為零，所以A無最人數(shù)。這樣我們得到實數(shù)x=（AIB）o因be B .所以CoQWC”是x的無窮小數(shù)表示。還可證明，當實數(shù)兀工，時，這種農示式也不相同。假設x、y有相同的無限小數(shù)表示:

30、Cyc, - c, 且設 xvy,則日有理數(shù) c,使 ce At, c e Bx.由集合舛無最大數(shù),3cz, cvd、., ceBx,記號a”, b”意義同上，因aneAx. 由cw/得a” vc,又因b e Bv及c'w A、得這樣 0 v c'-c vb”-心二丄。10由阿基米德原理，m 口然數(shù)，使H（C -c）>h更有1O"（C C）>1,矛盾。這矛盾是由 丁假設X、y有相同的無限小數(shù)表示引起的，所以時，有不同的表示式.上面我們建工了實數(shù)與無限小數(shù)之間的一一對應關系，現(xiàn)在我們稱無限小數(shù)為實數(shù)， 這樣，我們乂回到了對以前實數(shù)的認識。§我們曾引

31、入冇界數(shù)集的確界概念，今證明它的存在性（記號a、b、c表示實數(shù)） 非空有上界的數(shù)集E必存在上確界。®E = x非空，有上界b： Vag x<b.（1）若E中有最大數(shù)心，則兀即為上確界：（2）若E屮無垠人數(shù)，用卜述方法產生實數(shù)的一個分劃；収E的一切上界歸入上類，其余的實數(shù)歸入下類A ,則（AB）是實數(shù)的一個分劃。1° A、B不空。首先he B.K次brw E,由于X不是E的繪大數(shù)，所以它不是E的上界,即xe A.這說明E中任一元素都屬丁下類A：2° A、3不漏性由A、B定義即可看出；3° A . B不亂。設ae A , be B。因a不是E的上界，3

32、xe E,使得a v x, ifoE內每一元索屬J： A,所以a <x<b 94°由3°的證明可見力無最大數(shù)。所以（A IB）是實數(shù)的一個分劃。由戴徳金定理，知上類B必有最小數(shù)，記作c。V.ve f,由1°知xw人，即得xvc這表明c是E的一個上界.若是E的一個上 界，則be B,由此得c<b,所以c是上界中繪小的，由上確界定義，c為集合E的上確 界，記作 c = sup E非空的有卜界的集介必有下確界。事實上，設集介E = x下界b,則非空集合E=xl-xwE有上界-b,利用集合E上確界的存在性，即可得出集合E的卜確界存在。由第二章知道，若集合

33、E無上界，記作supE=+«>：若集合E無下界，記作inf E二十oo,這樣一來，第二章證明了的單調上升（下降）有上界（下界）的序列x”,必有極限sup（inf x”）的定理現(xiàn)在冇了嚴格的理論甚礎了。且對單調上升（下降）序列 ©V X.NX”），總有l(wèi)im xtl = sup xn (inf x”)。"卄0逛N逅N定理I解決了非空冇上界集介的上確界存在性問題，我們可以利用上確界的存在性，得 出我們所研究的某一類最（如弧長）的存在性。若全序集中任一非空有上界的集合必有上確界，我們稱該全序集是完備的。定理1刻劃 了實數(shù)集是完備的。1證明實數(shù)空間滿足阿基米徳原理。

34、X/b>a> 0,耍證存在自然數(shù)n使na>h.假設結論不成工，即na < b,(/ = 1, 2, ),則數(shù)集E -na有上界b,因此有上確界c,使zjg <c （h = 1,2,），也就有（"十l）a<c（“ = 1,2,），或 na<c-a （ = 1,2,）。這衷明c-a是集合疋的上界，與c是上確界矛盾。所以總存在自然數(shù)，使na>b.D證明序列£=1 +出+ln”的極限存在:2)求極限liml 丄十丄一+ (一 1)"“丄。 f 23n1)因 x >-1 W 有X< ln( 1 + x) <

35、x ( “ 0),1 + X所以+伙= 1,2,),1 + kk kn 1n即有xn = - InbM 1 + y) - hi n = ln( /? + 1) - In / > 0 o心i kkk這表明序列心有下界。乂xn - x+l = ln(/ + l)-lii /z = ln( 1 + 丄)! > 0 ,H + 1/：/： +1故序列兀. F降。因此序列極限存在,記極限值為cF是nk=l K£ =c + ln /z + en(liin en =0)o/ITS2)因g (一 1)2 尋 11 "、r itE =ET_2Er=c + b< 2fi)+e2

36、n-c + lnn+e 仁k ttk 仁2k= ln2 +J-S即得所以=In 2,乂設是一串閉區(qū)間，滿足：(D對任何自然數(shù)/I,都有 <an <b心<b,即(2) 當“T+oo時,區(qū)間an,b 長度趨于0,即 lim(fen-a ) = 0.n>+oo則有l(wèi)im d”=c= lim b”，且c是一切區(qū)間的唯一公共點：斤%仇=c。 /!>+<»/t>+<»“=!195由假設（1）知，序列心單調上升，有上界也：序列仇單調下降，有下界。因而冇liin an = c liin bn = c?. an <c. <c <

37、; bn。”七 8 刃1 n-o "2nI2n再由假設（2）知lim （b,-an） = c2 -cx =0,n»+<»記Cj = c2 = C o 從而有l(wèi)iin an = c= liin bn。/!>+<»JI>+oo若還有c"滿 W令HT+oo,得C* =C°故C是一切U，b“ 的唯一公共點。證畢。這個定理稱為區(qū)間套定理。關定理的條件我們作兩點說明：（D耍求an,bn是有界閉區(qū)間的這個條件是重耍的。若區(qū)間是開的，則定理不定成立.如（訃）= （0,丄）。n顯然有（0.丄）u（o,丄），但 n（o, -）=0

38、o +1n曲 n如果開區(qū)間套是嚴格包含：心< «n+I vb“x < bn,這時定理的結論還是成立的。（2）若卄J U0也（" = 1,2,）1但liin （bn ）工0 ,此時仍有 lim an =c. liin b“ = 但 c, < J：是對任意的 c c, <c<> 都仃 c e Cll«n 厶。/!+<*n>400*n=j全序集中任一區(qū)間長趨丁零的區(qū)間套冇非空交集，則稱該全序集是完備的，定理2刻劃 實數(shù)集是完備的（這里完備定義與上段完備定義是等價的）。定理2也給出通過逐步縮小搜 索范閑，找出所求點的一種方法

39、。序列心由下列齊式x + %x=a. =b 9 xn =_（“ = 3,4,） 2所確定（見卜圖）。證明極限liin x”存在，并求此極限。I!>+ooXx3 x5 x4 x2 X當a = b 時，xfl = a ,故 lim x” = a。 n開卄O刀當 a Mb 時,若取 an = min（ xnArl ,xn）9 bn = max（, （n = l,2,-）o則由條件，顯然可得一串區(qū)間套：嘰 Q+JU0如（“ = 1,2,）。山己知條件r 4- r-兀=七旦_心=-尹” f),丁是bn - an =1 -xn 1=丄丨忑 一 X" | 1= -ir I xfl .-xn

40、7 In nw4l n 2 兀 刃- 2?/f-2=- = ! x x. 1=I/? « I> 0(n > +8).山區(qū)間套定理，存在c滿足:2 * 2n, ' 7liin an =c= liin bn o 注意到 xn e an.bn,所以 HH-<»”T8lim xn = Con>+<*令）1 = 2, 3, 1 得一串等式:心一 4嚴一一2）。將它們相加,得Xk-X2= 一丄（兀沖_冊）,令Rt十8,得c-x2= 一丄（C - X,） 1 2 1所以c = %）+ x2 = （a 十2b）。3 33給定序列，乙,考世山它的一部分元索，而不變更次序所構成的序列： 稱為©的一個 。關丁子序列（xnJ的序號心需耍說明三點：（D 坯是一個嚴格上升的自然數(shù)列；<n2< -<nk <