高等數(shù)學(xué)備課資料：第一章 函數(shù)、極限與連續(xù) 09 第九節(jié) 函數(shù)的連續(xù)與間斷

1、第九節(jié) 函數(shù)的連續(xù)與間斷 客觀世界的許多現(xiàn)象和事物不僅是運動變化的，而且其運動變化的過程往往是連綿不斷的，比如日月行空、歲月流逝、植物生長、物種變化等，這些連綿不斷發(fā)展變化的事物在量的方面的反映就是函數(shù)的連續(xù)性. 本節(jié)將要引入的連續(xù)函數(shù)就是刻畫變量連續(xù)變化的數(shù)學(xué)模型.16、17世紀微積分的醞釀和產(chǎn)生，直接肇始于對物體的連續(xù)運動的研究. 例如伽利略所研究的自由落體運動等都是連續(xù)變化的量. 但直到19世紀以前，數(shù)學(xué)家們對連續(xù)變量的研究仍停留在幾何直觀的層面上，即把能一筆畫成的曲線所對應(yīng)的函數(shù)稱為連續(xù)函數(shù). 19世紀中葉，在柯西等數(shù)學(xué)家建立起嚴格的極限理論之后，才對連續(xù)函數(shù)作出了嚴格的數(shù)學(xué)表述.連續(xù)

2、函數(shù)不僅是微積分的研究對象，而且微積分中的主要概念、定理、公式法則等，往往都要求函數(shù)具有連續(xù)性.本節(jié)和下一節(jié)將以極限為基礎(chǔ)，介紹連續(xù)函數(shù)的概念、連續(xù)函數(shù)的運算及連續(xù)函數(shù)的一些性質(zhì).分布圖示 函數(shù)的連續(xù)性 例1 例2 左右連續(xù) 例3 例4 例5 連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間 例6 函數(shù)的間斷點 例7 例8 例9 例10 例11 例12 例13 例14 例15 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題 1- 9 返回內(nèi)容要點 一、函數(shù)的連續(xù)性：函數(shù)的增量 連續(xù)性的三種定義形式 二、左右連續(xù)的概念定理1 函數(shù)在處連續(xù)的充要條件是函數(shù)在處既左連續(xù)又右連續(xù). 三、連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間 四、 函數(shù)的間斷點及其分類：第一類間斷點 跳躍

3、間斷點 可去間斷點；第二類間斷點 無窮間斷點 振蕩間斷點；例題選講函數(shù)的連續(xù)性例1 (E01) 試證函數(shù)在處連續(xù).證 又 由定義2知，函數(shù)在處連續(xù).例2(E02) 設(shè)是定義于a, b上的單調(diào)增加函數(shù), 如果存在, 試證明函數(shù)在點處連續(xù).證 設(shè)由于單調(diào)增加，則當時，當時，由此可見，即因此在連續(xù).例3 討論函數(shù) 在和處的連續(xù)性. 解 如圖所示（圖示見系統(tǒng)）， 因為，所以但是故在處不連續(xù). 在處： 因為，所以不存在，在處不連續(xù).左右連續(xù)例4 (E03) 已知函數(shù)在點處連續(xù)，求的值.解 因為點處連續(xù)，則即例 5設(shè) 為使在處連續(xù)，與應(yīng)如何取值？解 因為為使在處連續(xù)，只要 而要使存在，須即得代入即當時，在

4、連續(xù).連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間例6(E04) 證明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù).證 當時，即函數(shù)對任意都是連續(xù)的.函數(shù)間斷點例7 (E05) 討論 在處的連續(xù)性.（圖示見系統(tǒng)）解 因為右連續(xù)但不左連續(xù)，故函數(shù)在點處不連續(xù).例8 討論函數(shù)在處的連續(xù)性.（幾何演示見系統(tǒng)）解 為函數(shù)的跳躍間斷點.例9(E06) 討論函數(shù) 在處的連續(xù)性.（幾何演示見系統(tǒng)）解 為函數(shù)的可去間斷點.例10(1) (E07) 討論函數(shù)在處的連續(xù)性.解 為函數(shù)的第二類間斷點(無窮間斷點).例10(2) (E08) 討論函數(shù)在處的連續(xù)性.解 在處沒有定義，且不存在.為第二類間斷點.例11 取何值時， 在處連續(xù).解 要使 必須 故當且僅當時，函數(shù)

5、在處連續(xù).注：一個函數(shù)的間斷點也可能有無窮多個. 例如，狄利克雷函數(shù)在定義域內(nèi)每一點處都間斷，且都是第二類間斷點.例12(E09) 設(shè)求的間斷點，并判別出它們的類型.解 的定義域為且在中都是初等函數(shù)，因而的間斷點只可能在處.由于因此是的第二類間斷點(無窮間斷點)；由于且在處無定義，因此是的可去間斷點；又因此是的連續(xù)點.例 13求下列函數(shù)的間斷點，并判斷其類型. 若為可去間斷點，試補充或修改定義后使其為連續(xù)點.解 因為在處無定義，所以是的間斷點. 又因 所以為的第一類不可去間斷點(跳躍間斷點). 在處有定義，但是，所以為的無窮間斷點.在處有定義，而且但是故為的可去間斷點，若令 則在處連續(xù).例14(E10) 研究在處的連續(xù)性.解 當且僅當時，在處連續(xù). 因為而 所以，當且即時，在處連續(xù)，當或時，在處間斷.例15 討論的連續(xù)性.解 右端的極限與的取值范圍有關(guān)，時，時， 故時，時，時，因