用分離變量法解常微分方程

1、實(shí)用文檔用別離變量法解常微分方程1直接可別離變量的微分方程1 1.1 1 形如dy=fx:y(1.1)dx的方程,稱為變量別離方程,這里f(x),%y)分別是的連續(xù)函數(shù).如果中(y)*0,我們可將(1.1)改寫成dy(y)這樣,變量就“別離開來了.兩邊積分,得到其中,c表示該常數(shù),-d-5Jf(x)dx分別理解為二,f(x)的原函數(shù).常數(shù):(x)(y)c的取值必須保證(1.2)有意義.使中(y)=0的y=y.是方程(1.1)的解.例1 1求解方程v1-x2dy+41-y2dx=0的通解.解：(1)變形且別離變量:(2)兩邊積分：dy=-dx-c1-y21-x2得arcsiny=-arcsinx

2、c.標(biāo)準(zhǔn)文案通解：巫(x)=f(x)dx+c.(1.2)dy實(shí)用文檔可以驗(yàn)證y=1也是原方程的解,假設(shè)視x和y是平等的,那么x=1也是原方程的解.我們可以用這個(gè)方法來解決中學(xué)常見的一些幾何問題.例2 2曲線L上的點(diǎn)P(x,y)處的法線與x軸的交點(diǎn)為Q,且線段PQ被y軸平分.求曲線L的方程.分析：這是一個(gè)利用幾何條件來建立微分方程的例子.先建立法線PQ的方程,用大寫的(X,Y)表示法線上的動(dòng)點(diǎn),用小寫的表示曲線L上的點(diǎn),設(shè)法為過點(diǎn)P(x,y)的法線的斜率.解：由題意得1父法=一;.y從而法線PQ的方程為1Y-y=-(X-x).y又PQ被y軸平分,PQ與y軸交點(diǎn)M的坐標(biāo)為0,2),代入上式,得2；

3、y1y-y(0-x).2y整理后,得別離變量,解得其中c為任意正數(shù),如圖1.2變量可替換的微分方程標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔通過上面的介紹,我們已經(jīng)知道了什么方程是變量別離方程.下面,我們?cè)俳榻B幾種可化為變量別離方程的類型：2 2.1 1 齊次方程形如包=中吆；1.3dx、x!的微分方程,稱為齊次微分方程.這里中u是u的連續(xù)函數(shù).對(duì)方程1.3做變量變換1.4)即y=ux,于是將1.4,1.5代入1.3,那么原方程變?yōu)檎砗?得到du(u)-udx方程1.6是一個(gè)變量別離方程.可按前面1.1的方法求解,然后代回原來的變量,便得到1.3的解.例3 3求微分方程y2+x2曳=xy曳的通解.解：原方程化為dyd

4、uxudxdx1.5)xudx=P(u),1.6)dxdxxy-x世=y2(y*x),dx實(shí)用文檔duuu+x=,dxu-1整理,即有12duux=udxu-1別離變量,得兩邊積分,得uInu=Inx+Inc1,將u=?代回來,得x-x.=ln(c1y),xJ_ycy=ex,y_y=cex,其中c為任意常數(shù).另,u=0即y=0也是原方程的解,但此解課包含于通解c=0之中.故,方程y的通解為y=cex.2 2.2 2 形如dy_axbyc1dxa2xb2yC2的方程,這里azbbc.均為常數(shù).此方程經(jīng)變量變換可化為變量別離方程.我們分三種情形來討論:標(biāo)準(zhǔn)文案于是,令u=y,即y=xu,x將5=口

5、十四代入該方程,得dxdxdu心x(U0),(1.7)實(shí)用文檔2.2. 2 2.1 1包=bl=k常數(shù)的情形.bib2C2這時(shí)方程化為嘰kdx有通解y二kxc,其中c為任意的常數(shù).2 2.2 2.2 2曳=b1=k=3的情形.aib2C2令u=a2x+b2y,這時(shí)有du_.dy_-a2b2-a2b2dxdx是變量別離方程.2.2. 2 2.3 3曳二b1的情形.bib2如果方程2.1中ci,a不全為零,方程右端分子、分母都是x,y的一次多項(xiàng)式,因此aa1x+b2y+c1=0,Ia2x+b2y+c2=0.1.8代表Oxy平面上兩條相交直線,設(shè)交點(diǎn)G,P.假設(shè)令X=xa,Y、二一:.那么2.2化為

6、aa1X+b1Y=0,-a2Xb2Y=0.標(biāo)準(zhǔn)文案kuCiuc2兩邊積分,得InX2=Tnu2+2u-1+,因此實(shí)用文檔從而2.1變?yōu)閐Y_aiXbiY=：工dX-a2X+b2丫IX/因此,求解上述變量別離方程,最后代回原變量即可得原方程2.1)如果方程2.1中ci=C2=0可不必求解2.2,直接取變換u1.9)的解.即可.x上述解題的方法也適用于比方程2.1更一般的方程類型a1xb1yca2xb2yc2例4 4求解方程dy2x-2y3dx6x6y-7(2.0)解：解方程組2x-2y3=0,-6x6y-7=0,/日1得x二一一,y6于是,令x=X-,6,4y,代入方程2.4,那么有一“Y一再令

7、u=,即Y=uX,Xdy2X-2Ydx-6X6丫那么(2.5)化為2.1dXX_1u1-2u-u2duX2u22u-1=ec=c1,標(biāo)準(zhǔn)文案2一2Y+2XYX=.,24)(1Y4、/y+2x+_iy_|3)66A3J、6；因此,方程(2.3)的通解為22c747一y-x+2xy-y-x=c,3io其中,c為任意常數(shù).通過上述的求解,我們發(fā)現(xiàn)以上的方法是非常的準(zhǔn)確的,但是對(duì)于像例5這種形式的的方程,我們發(fā)現(xiàn)還可以用另一種方法一一湊微分進(jìn)行求解.湊微分當(dāng)方程dyaixbiycidxa2xb2yc2滿足：a=b2(2.2)時(shí),方程會(huì)有更簡便的求解方法(全微分的知識(shí)的運(yùn)用).即：將a,;也代入方程也二

8、x+.y+C1中,dxa2xb2yc2有dy_axa2yc1dxa2xb2yc2即(aixbiyci)dx=(a?xb2yC2)dy展開,得aixdxbiydxcidx=a2xdyb2ydyc2dy實(shí)用文檔代回原變量,得x12(2.3)標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔有條件(2.6)可知,a2d(xy)=a2xdy+a2ydx=a2xdyb1dx(2.4)將(2.8)代入(2.7)中,得22d(2a2xyb2y2c2y-ax-2cix)=0.很顯然,這是一個(gè)全微分方程,從而原方程的通解為2a2xy+b2y2+2c2y-a1x2-2clx=C,其中C為任意常數(shù).例5 5求解方程曳=xy+5.dxx-y8解法一：

9、該方程屬于(2.2.2)的情形.于是,令u=x-y.那么du=dxdy所以,原方程可化為du_3.dxu8這是一個(gè)別離變量方程.整理可得2u16u=6x.將u=x-y代入,可得(x-y)216(x-y)=6x即,通解為x2+y2-2xy+10 x-16y=c.其中c為任意常數(shù).觀察例6可以發(fā)現(xiàn),方程也滿足條件(2.6),于是用湊微分的方法同樣可以求解.解法二：原方程變形為(x-y8)dy=(x-y5)dx.整理得(xdyydy)-ydy8dy-xdx-5dx=0.所以標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔1212d(xy-y8y-x5x)=0.兩邊積分,得原方程的通解為xy-y2+8y-x2-5x=C,其中C為任意

10、常數(shù).22以上的兩種方法都是求解微分方程的常用方法,下面再介紹幾種比擬常見的課別離變量的方程.2 2.3 3形如學(xué)=上口三f(axa+byB+c)的方程也可以經(jīng)變量變換化為變量別離方程,這里的a,b,c均為常數(shù).做變量變換u=ax：by-c,這時(shí)有du=uaxaA+bb,y0,包=a&犬儀,+B,bxaJ11f(u),dxdx是變量別離方程.而當(dāng)a=P=1時(shí),dy=f(ax+by+c)為其特殊形式.dx例7求解方程業(yè)=x1+xy十且.dxyy解：由于13dyxx=+xy+一,(dxyy可以化為亞x2y21.dxy于是,令u=x2y21.(標(biāo)準(zhǔn)文案du:bfu,二=xdx.2.5)2.6

11、)實(shí)用文檔duccdycc=2x2y=2x2xu,dxdx將2.9代入2.11可以知道,這是一個(gè)別離變量方程.1.du=xdx.2u22.7)兩邊同時(shí)積分,得2.8)再將2.10代入2.12,得所以整理得,22x2C1xy2;e12x2+y2+2=Cex,其中C為任意常數(shù).2 2.4 4 其他幾種變量能別離的方程類型2 2.4 4.1 1形如yfxydxxgxydy=0,(2.9)的方程同樣可已經(jīng)變量替換化為變量別離方程將2.13變形為dy二xgxydxyfxy3.0)做變量替換u=xy.這時(shí)有,xdu-udxdy=2,x3.1)將2.15代入2.14中,得標(biāo)準(zhǔn)文案的方程是變量別離方程.做變量

12、替換那么,有2實(shí)用文檔gu,1,du=_dx.ugu-ufux是變量別離方程.2.4 4.2 2形如f(xy),3.2)的方程是變量別離方程.做變量替換dyxdu-udxdx(3.3)代入原方程,得du=-dx.u-fux是變量別離方程.2.4 4.3 3形如3.4)3.5)dy=xdu+2xudx,將(2.19)代入(2.18)中,得標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔1.1,du=-dx,fu;2ux所以,原方程同樣是變量可替換方程.2 2.4 4.4 4形如dy=ax-by3.6dx其中ct、P滿足aP=a-P的方程.可令y=za+,方程2.20化為齊次方程dz1Jz冒1一二代一I+b,dxa+1jx事實(shí)上,曳=3+1/包,dxdx由于=ux+by=ux+bz邪*=皿口+bz,dx所以二1z二比二ax：bz:,dx即dz1Ifz嚴(yán)一二b-I+b,dx0+1|lx,_再,設(shè)u=三,可