應(yīng)用題——線性規(guī)劃

1、線性規(guī)劃例1.(2007山東)本公司計劃2008年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘,規(guī)定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元.問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？變式1:(2012四川)某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元,每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計

2、劃中，要求每天消耗A、B原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是()A.1800元B.2400元C.2800元D.3100元例2.已知f(x)132ax3bx2(23b)x1,在xx1處取得極大值，在xx2處取得極小9 / 11值，且0x11x22.(1,)證明a0；(2)求ta2b的范圍變式2：方程x2bx2c0的兩根滿足x1c1一(1,0),x2(0,1),則上一的范圍是b2練習(xí)年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價黃瓜4噸1.2力兀0.55力兀韭菜6噸0.9力兀0.3萬元（總禾ij潤=總銷售收入-總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種植面

3、積為使一年的種植總利潤（單位:畝）分別為（A.50,01.（2012年高考（江西理）某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表B.30.0C.20,30D.0,502.（2007四川）某公司有60萬元資金，計劃投資甲、乙兩個項目，按要求對項目甲的投資2不小于對項目乙投資的2倍，且對每個項目的投資不能低于5萬元，對項目甲每投資1萬3元可獲得0.4萬元的利潤，對項目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤，該公司正確提財投資后，在兩個項目上共可獲得的最大利潤為（）A.36萬元B.31.2萬元C.30.4萬元D.24萬元3.（201

4、2遼寧）設(shè)變量x,y滿足A.20B.3510y1520,則2xC.452y3y的最大值為（D.554.（2012山東）已知變量X,y滿足約束條件2x4x4，則目標(biāo)函數(shù)13xy的取值范圍是（）3A.-,623B-2,1c.1,6D.36,25.（2012福建）若函數(shù)y2x圖像上存在點（x,y）滿足約束條件2y30,則實數(shù)m的最大值為（1A.一2B.13C.一2D.6.（2007遼寧）已知變量x,y滿足約束條件xyxA1,200,則y的取值范圍是（x700,B.95U6,C.3U6,D.3,67.滿足約束條件x2y2的目標(biāo)函數(shù)zyx的最小值是8.(2012陜西)設(shè)函數(shù)f(x)lnx,x0,D是由x

5、軸和曲線yf(x)及該曲線在點2x1,x0(1,0)處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則zx2y在D上的最大值為9.(2010廣東)某營養(yǎng)師要為某個兒童預(yù)定午餐和晚餐。已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物6個單位蛋白質(zhì)和6個單位的維生素C;一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物，42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素C.如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)定多少個單位的午餐和晚餐？10.在ABC中，A、B、C的對邊分別是a、b

6、、c,且滿足(2ac)cosBbcosC.(1)求B的大小;(2)設(shè)m(sinA,cos2A),n(4k,1)(k1),且m-n的最大值是5,求k的值.ACD為11 .如圖，已知AB平面ACD,DE平面ACD,等邊三角形，ADDE2AB,F為CD的中點.(1)求證：AF平面BCE；(2)求證：平面BCE平面CDE；(3)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值.12 .已知等差數(shù)列an前三項的和為3,前三項的積為8.(I)求等差數(shù)列為的通項公式；(n)若a2自，a成等比數(shù)列，求數(shù)列|an|的前n項和.200分鐘廣告，公司的收益最大,.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千線性規(guī)劃例1.（2007山東）本

7、公司計劃2008年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元.問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？解：設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元，由xy<300,題意得500x200yW90000,x>0,y>0.目標(biāo)函數(shù)為z3000x2000y.xy<300,二元一次不等式組等價于5x2y0900,x&

8、gt;0,y>0.作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域.如圖：作直線l:3000x2000y0,即3x2y0.平移直線l,從圖中可知，當(dāng)直線l過M點時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.xy30C聯(lián)立7解得x100,y200.5x2y900.點M的坐標(biāo)為（100,200）.Zmax3000x2000y700000（元）答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺，做最大收益是70萬元.變式1:（2012四川）某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品克、B原料2千克;生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元,每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求

9、每天消耗A、B原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是（）A.1800元B.2400元C.2800元D.3100元答案C解析設(shè)公司每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品X桶，乙種產(chǎn)品Y得Z=300X+400Y桶，公司共可獲得利潤為Z元/天，則由已知，X2Y12122XX畫可行域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)Z=300X+400Y可變形為3zY=-x這是隨Z變化的一族平行直線4400解方程組2xyx2y1212x4即A(4,4)Zmax120016002800y4例2.已知f(x)13-ax3bx2(2b)x1,在xx1處取得極大值，在xx2處取得極小值，且0x11x22

10、.(1)證明a0;(2)求ta2b的范圍變式2：方程x2bx2cD.0,50xy50,心+-1.2x0.9y約束條件為x0,y0.答案：(2)(2,5)c1,0的兩根滿足x1(1,0),x2(0,1),則的范圍是b23,1練習(xí)：1. (2012年高考(江西理)某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價黃瓜4噸1.2力兀0.55力兀韭菜6噸0.9力兀0.3萬元為使一年的種植總利潤(總禾I潤=總銷售收入-總種植成本)最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位:畝)分別為()A.50,0B.30.0C.2

11、0,30【解析】本題考查線性規(guī)劃知識在實際問題中的應(yīng)用，同時考查了數(shù)學(xué)建模的思想方法以及實踐能力.設(shè)黃瓜和韭菜的種植面積分別為x,y畝，總利潤為z萬元，則目標(biāo)函數(shù)為z(0.554x1.2x)(0.36y0.9y)x0.9y.線性xy50,54i4x3y180,-,即y作出不x0,y0.xy50,4x3y180,等式組y,表布的可行域，易求得點A0,50,B30,20,C0,45.x0,y0平移直線zx0.9y,可知當(dāng)直線zx0.9y經(jīng)過點B30,20，即x30,y20時,z取得最大值，且zmax48（萬元）.故選B.2. （2007四川）某公司有60萬元資金，計劃投資甲、乙兩個項目，按要求對項

12、目甲的投2資不小于對項目乙投資的上倍，且對每個項目的投資不能低于5萬元，對項目甲每投3資1萬元可獲得0.4萬元的利潤，對項目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤，該公司正確提財投資后，在兩個項目上共可獲得的最大利潤為（B）A.36萬元B.31.2萬元C.30.4萬元D.24萬元3.x（2012遼寧）設(shè)變量x,y滿足00y10xy20,則2x3y的最大值為（y15A.20B.答案：D4.（2012山東）已知變量范圍是（）A.3,6B.235C.45x2yx,y滿足約束條件2xy4xy3-,1C.1,62D.5524，則目標(biāo)函數(shù)z3xy的取值1D.6,12【解析】做出不等式所表示的區(qū)域如圖，由z3

13、xy得y3xz,平移直線y3x,由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點E（2,0）時，直線y3xz的截距最小，此時z最大為z3xy6,當(dāng)12，此時3z3xy3325.（2012福建）若函數(shù)y2x圖像上存在點（x,y）滿足約束條件xy30x2y30,則實數(shù)4xv1直線經(jīng)過C點時，直線截距最大，此時z最小，由y，解得2xy43一3一,所以z3xy的取值范圍是一,6,選A.22m的最大值為（B.1C.D.2答案：B6.（2007遼寧）已知變量x,y滿足約束條件xy200,x>1,則義的取值范圍是（A）-xxy700,99.A.9,6B.,9U6,C.,3U6,55D.3,67 .滿足約束條件x2y2的目標(biāo)函數(shù)

14、zyx的最小值是8 .（2012陜西）設(shè)函數(shù)f（x）lnx,x0,D是由x軸和曲線2x1,x0yf（x）及該曲線在點（1,0）處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則zx2y在D上的最大值為.解析：yf（x）1,x0x2,x0,f（1）1,曲線yf（x）及該曲線在點（1,0）處切線方程為可行域為y=x-1,圍成的封閉區(qū)域為三角形，zx2y在點（0,-1）處取得最大值2.【答案】2.9.（2010廣東）某營養(yǎng)師要為某個兒童預(yù)定午餐和晚餐。已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物6個單位蛋白質(zhì)和6個單位的維生素C;一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素C.另外，該兒童這兩

15、餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物，42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素C.如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)定多少個單位的午餐和晚餐？解：設(shè)該兒童分別預(yù)訂x,y個單位的午餐和晚餐，共花費z元，則z2.5x4y。12x+8y>646x+6y>426x+10y>54x>QxN,y>QyCNx+y>73x+5y>27x>0,xCNy>QyCN作出可行域如圖所示:經(jīng)試驗發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=4,y=3時，花費最少，為z2.5x4y=2.5沖+4>3=22元.10.在

16、ABC中，A、B、C的對邊分別是a、b、c,且滿足(2ac)cosBbcosC.16 / 11(1)求B的大小;(2)設(shè)m(sinA,cos2A),n(4k,1)(k1),且mn的最大值是5,求k的值.解(1)(2a即2sinAcosBc)cosBbcosC,(2sinAsinC)cosBsinBcosC,sinBcosCsinCcosBsin(BC)2sinAcosBsinA.sinA0.1cosB一2(2)min=4ksinAcos2A22sin2A2、4ksinA1,A(0,5)設(shè)sinA則mn=t,則t(0,1.2t24kt12(tk)222k,t(0,1k1,依題意得,(mn)max

17、=24k15,2a,建立如圖所示的坐標(biāo)系則設(shè)ADDE2ABt1時，mn取最大值.k°A0,0,0,C2a,0,0,B0,0,a,Da,、.3a,0,Ea,V3a,2a.-F為CD的中點，F(xiàn)a,-a,0.22xyz,yEuuur(1)證明AFuuurAF1uuuuuur-BEBC,AF2平面BCE，.-AF/平面BCE.uuu33uur(2)證明AF-a,a,0,CD22_uuura-3a,0,ED0,0,2auuruuuruuuruuuruuuruuurumrAFCD0,AFED0,，AFCD,AFuuirED.uurAF平面CDE,又AF平面BCE,平面BCE平面CDE.r解設(shè)平面

18、BCE的法向量為nruuux,y,z,由nBEruuir0,nBC0可得:xEyz0,2xz0,取n1,3,233uuu_uur-a,a,0,BEa,V3a,a,BC2a,0,a,22uuir又BF3a,a,a，設(shè)BF和平面BCE所成的角為，則22sinuurrBFgnuur-rBFn2a2a22，直線BF和平面BCE所成角的正弦值為12.已知等差數(shù)列an前三項的和為3,前三項的積為8.(I)求等差數(shù)列an的通項公式；(n)若a2,a3,a成等比數(shù)列，求數(shù)列|an|的前n項和.解析:(I)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a2a1d0a12d,3a13d3,a12,a14,由題息得解得或a1(a1d)(a12d)8.