莫爾—庫倫理論

1、莫爾一庫倫理論作者:日期:莫爾一庫倫理論長期以來,人們根據(jù)對(duì)材料破壞現(xiàn)象的分析,提出了各種不同的 強(qiáng)度理論.其中適用于土的強(qiáng)度理論有多種, 不同的理論各有其優(yōu)缺 點(diǎn).在土力學(xué)中被廣泛采用的強(qiáng)度理論要推莫爾一庫倫強(qiáng)度理論.1 77 3年,法國學(xué)者庫倫Coulomb汁艮據(jù)砂土的試驗(yàn)結(jié)果,提出土 的抗剪強(qiáng)度p f在應(yīng)力變化不大的范圍內(nèi),可表示為剪切滑動(dòng)面上法 向應(yīng)力T的線性函數(shù).即0 = a tan <p后來庫倫又根據(jù)粘性土的試驗(yàn)結(jié)果,提出更為普遍的抗剪強(qiáng)度公 式：Tf = c + a tan tp1 936年,太沙基T e rzagh i提出了有效應(yīng)力原理.根據(jù)有效 應(yīng)力原理,土中總應(yīng)力等于

2、有效應(yīng)力與孔隙水壓力之和,只有有效應(yīng)力 的變化才會(huì)引起強(qiáng)度的變化.因此,土的抗剪強(qiáng)度 A可表示為剪切破 壞面上法向有效應(yīng)T '的函數(shù).上述庫侖公式應(yīng)改寫為rf = c + a tan <p1 9 10年莫爾Mohr提出材料產(chǎn)生剪切破壞時(shí),破壞面上的' 是該面上法向應(yīng)力的函數(shù),即口該函數(shù)在直角坐標(biāo)系中是一條曲線,如圖1所示,通常稱為莫爾包線.土的莫爾包線多數(shù)情況下可近似地用直線表示,其表達(dá)式就是庫倫所表示的直線方程.由庫倫公式表示莫爾包線的土體抗剪強(qiáng)度理論稱為莫爾庫倫(Moh r C oulom b )強(qiáng)度理論.圖1莫爾包線1. 土中某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)我們先來研究土體中某點(diǎn)的應(yīng)

3、力狀態(tài),以便求得實(shí)用的土體極 限平衡條件的表達(dá)式.為簡單起見,下面僅研究平面問題.在地基土中任意點(diǎn)取出一微分單元體,設(shè)作用在該微分體上的最大和最小主應(yīng)力分別為(T 1和(T 3.而且,微分體內(nèi)與最大主應(yīng)力(T 1 作用平面成任意角度的平面mn上有正應(yīng)力(T和剪應(yīng)力圖2(a).圖2 土中任意一點(diǎn)的應(yīng)力(a)微分體上的應(yīng)力；(b)隔離體上的應(yīng)力為了建立.、.與.1和7 3之間的關(guān)系,取微分三角形斜面體 ab C為隔離體圖2 b.將各個(gè)應(yīng)力分別在水平方向和垂直方向上投影根據(jù)靜力平衡條件得x 0, 3 ds sin 1.0 ds sin1.0 ds cosy 0, 1ds cos 1.0 ds cos

4、1.0 ds sin1.0 0(a)1.0 0(b)聯(lián)立求解以上方程a、b,即得平面mn上的應(yīng)力2( 11( 12、1 ,3) 2( 13)cos23)sin2mn上的法向由以上兩式可知,在.1和0 3的情況下,斜截面應(yīng)力T和剪應(yīng)力P僅與斜截面傾角有關(guān).由式 1得+ T2上式表不圓心為 圓上任一點(diǎn)代表與大主應(yīng)力口.ai %、半徑為2 關(guān)的莫爾圓.莫爾T 1作用面成口角的斜面,其縱坐標(biāo)代表該面上的法向應(yīng)力,橫坐標(biāo)代表該面上的剪應(yīng)力.在直角坐標(biāo)系中圖3以"為橫坐標(biāo)軸.以為縱坐標(biāo)軸,按圖3用莫爾應(yīng)力圓求正應(yīng)力和剪應(yīng)力一定的比例尺,在(T軸上截取O B= (T 3,OC=(T1,以.為圓心,

5、以(T1- (73)/2為半徑,繪制出一個(gè)應(yīng)力圓.并從O 1C開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2 0c角,在圓周上得到點(diǎn) A可以證實(shí),A點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是斜面 mn上的正應(yīng)力(T,而其縱坐標(biāo)就是剪應(yīng)力To事實(shí)上,可以看出,A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0B+BO1十01才85 2a 1 1=cr3 + -(cTj - CT?) + -(£71 - ff3)cos 2a(% -(7 )cos 2a = <j而A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為_,1, *0 Asin 2a = -a1 -仃 Jsin 2u = t2. 土的極限平衡條件一一莫爾一庫倫破壞準(zhǔn)那么為了建立實(shí)用的土體極限平衡條件,將土體中某點(diǎn)的莫爾應(yīng) 力圓和土體的抗剪強(qiáng)度與法向

6、應(yīng)力關(guān)系曲線(簡稱抗剪強(qiáng)度線)畫在 同一個(gè)直角坐標(biāo)系中,這樣,就可以判斷土體在這一點(diǎn)上是否到達(dá)極 限平衡狀態(tài).由前述可知,莫爾應(yīng)力圓上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別表示 土體中某點(diǎn)在相應(yīng)平面上的正應(yīng)力.和剪應(yīng)力T ,如果莫爾應(yīng)力圓位于抗剪強(qiáng)度包線的下方圖4(a)即通過該點(diǎn)任一方向的剪應(yīng)力.都小 于土體的抗剪強(qiáng)度p f,那么該點(diǎn)土不會(huì)發(fā)生剪切破壞,而處于彈性平衡 狀態(tài).假設(shè)莫爾應(yīng)力圓恰好與抗剪強(qiáng)度線相切圖4(b),切點(diǎn)為B,那么 說明切點(diǎn)B所代表的平面上的剪應(yīng)力.與抗剪強(qiáng)度.f相等,此時(shí),該點(diǎn) 土體處于極限平衡狀態(tài).(b)圖4莫爾應(yīng)力圓與土的抗剪強(qiáng)度之間的關(guān)系(a) 土處于彈性平衡狀態(tài)；(b) 土

7、處于極限平衡狀態(tài)根據(jù)莫爾應(yīng)力圓與抗剪強(qiáng)度線相切的幾何關(guān)系,就可以建立起土 體的極限平衡條件.F面,我們就以圖5中的幾何關(guān)系為例,說明如何建立無粘性土的極限平衡條件圖5無粘性土極限平衡條件推導(dǎo)示意圖B點(diǎn),土體到達(dá)極限平衡條件時(shí),莫爾應(yīng)力圓與抗剪強(qiáng)度線相切于 延長CB與p軸交于A點(diǎn),由圖中關(guān)系可知OB=OA再由切割定理,可得22仃仃,=OB = 0AJi J在AAOC中,有27 號(hào)f中o； = OA 450 + -2一 2% 二%' m廣 tun2仃=- tan一因此,一一曲十步 J 平時(shí)討與tan 45-又由于,所以,有% 二 % . tan2(45.- y'(3)對(duì)粘性土和粉土

8、而言,可以類似地推導(dǎo)出其極限平衡條件,為% = % , tan2卜5.* 胃 + 2ctan 95.+ 胃這可以從圖6中的幾何關(guān)系求得.作EO¥f BC,通過最小主應(yīng)力(T 3的坐標(biāo)點(diǎn)A作一圓與 EO相切于 巳南與0軸交于I點(diǎn)圖6粘性土與粉土極限平衡條件推導(dǎo)示意圖由前可知01 = a下面找出IG與c的關(guān)系G點(diǎn)為最大主應(yīng)力坐標(biāo)點(diǎn).由圖中角_ _ <PNDEB = 45J 度關(guān)系可知 E®為等腰三角形,ED=BD=c,2,那么有EB = 2csinf450 + y = IF在AG I F中(<p2csin 450 + IF2/GI = 2ctan 450rca rr

9、o 玨 I cos(45口 + j cos 145 J而且所以O(shè) G = OI +IG同理可以證實(shí)行3 - o, ' tan2(45.- ?) + 2ctan 卜5.-.還可以證實(shí)I01 - Q3sin(p =-% + 仃.#十 2ccot <p(b)I + sin <p cos<p%' I - sin q> + 2C _ sin cp或1 - sin cp cos <p %011 + sin cp 2'1+sin 叩由圖5的幾何關(guān)系可以求得剪切面(破裂面)與大主應(yīng)力面的夾角 關(guān)系,由于2a 90. 中(7)所以？<P "4

10、577 2(8)(P、,.t t ,仃, z t f a = 45° 即剪切破裂面與最大主應(yīng)力以作用平面的夾角為2(共鈍剪切面).由此可見,土與一般連續(xù)性材料(如鋼、混凝土等)不同,是一種具有內(nèi)摩擦強(qiáng)度的材料.具剪切破裂面不產(chǎn)生于最大剪應(yīng)力面,而是與最大剪應(yīng)力面成叩的夾角.如果土質(zhì)均勻,且試驗(yàn)中能保證試件內(nèi)部的應(yīng)力、應(yīng)變均勻分布,那么試件內(nèi)將會(huì)出現(xiàn)兩組完全對(duì)稱的破裂面(圖7).圖7 土的破裂面確定式(2)至式(8)都是表示土單元體到達(dá)極限平衡時(shí)(破壞時(shí))主應(yīng)力 的關(guān)系,這就是莫爾一庫倫理論的破壞準(zhǔn)那么,也是土體到達(dá)極限平衡 狀態(tài)的條件,故而,我們也稱之為極限平衡條件.理論分析和試驗(yàn)研究說明,在各種破壞理論中,對(duì)土最適合的是 莫爾一庫倫強(qiáng)度理論.總結(jié)莫爾一庫倫強(qiáng)度理論,可以表述為以下三 個(gè)要點(diǎn)：(1 )剪切破裂面上,材料的抗剪強(qiáng)度是