2018版高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課函數(shù)的應(yīng)用學(xué)案新人教A版必修1

1、習(xí)題課函數(shù)的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系，能夠解決與函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)的問題了解指數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的增長差異(易錯(cuò)點(diǎn))3 鞏固建立函數(shù)模型的過程和方法， 了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用(重點(diǎn))|課前自測(cè)沁;:曲白i匸顧1 函數(shù)f(x) = ex+ 3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()答案 B2x 1,x1,1A. 2, 0B. 2,0 x解析 當(dāng)xwi時(shí)，由f(x) = 0，得 2 1 = 0，所以x= 0.當(dāng)x1 時(shí)，由f(x) = 0,得 11+ log2X= 0，所以x= ，不成立，所以函數(shù)的零點(diǎn)為0，選 D.答案 D3.函數(shù)f(x) =ax2+x 1 至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是 _ .

2、解析 當(dāng)a= 0 時(shí)，f(x) =x 1 有一個(gè)零點(diǎn)x= 1 ；當(dāng)a0時(shí)，則零點(diǎn) = 1 + 4a0,11解得a；且 0,綜上a的取值范圍是a；.44;1 、答案 I4,+丿4. 生產(chǎn)某機(jī)器的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式是y=x2 75x,若每臺(tái)機(jī)器售價(jià)為 25 萬元，則該廠獲得最大利潤時(shí)生產(chǎn)的機(jī)器為 _臺(tái).2(重點(diǎn))2A. 0B. 1C. 2D. 3解析 令f(x) = ex+ 3x= 0，即 ex=- 3x，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y= ex禾廿y= 3x的圖象，如圖所示，由圖知二者有一個(gè)交點(diǎn)，即f(x)有 1 個(gè)零點(diǎn).則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為(C.1D. 02解析 設(shè)生產(chǎn)x

3、臺(tái)，獲得利潤f(x)萬元，則f(x) = 25xy=x+ 100 x= (x 50) + 2 500，故當(dāng)x= 50 時(shí)，獲得利潤最大.答案 50I課堂互動(dòng)考查方向類型一函數(shù)的零點(diǎn)方向 1 判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間【例 1 1】 函數(shù)f(x) = 2x+ 3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是()A. ( 2, 1)B. ( 1,0)C. (0,1)D. (1,2)1解析 由f( 1) = 2 30 及零點(diǎn)存在性定理，知f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(一 1,0) 上.答案 B方向 2 判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)a【例 1 2】方程|x| -= 0(a0)的零點(diǎn)有()A. 1 個(gè)B. 2 個(gè)C. 3 個(gè)D.至少 1 個(gè)a解析

4、 令f(x) = |x| ,g(x) =-(a0)，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖，從圖象可以看出，x交點(diǎn)只有 1 個(gè).答案 A方向 3 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍【例 1 3】 已知函數(shù)f(x) = |x+網(wǎng)，x R.若方程f(x) a|x 1| = 0 恰有 4 個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 _ .2解析設(shè) y=f(x) = |x+ 3x|,y2=a|x1|. 在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y1= |x2+ 3x| ,y2=a|x1|的圖象，如圖.-3 -IO I類型刖析.突確疑琪32由圖可知f(x) a|x 1| = 0 有 4 個(gè)互異的實(shí)數(shù)根等價(jià)于y1=|x+ 3x|與y2=a|x 1

5、|的 圖象有 4 個(gè)不同的交點(diǎn)，且 4 個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都小于 1 ,y=x2 3x,所以1有兩組不同的解.y=a x消去y得x2+ (3 a)x+a= 0，該方程有兩個(gè)不等實(shí)根.所以= (3 a) 4a0,即a 10a+ 90,解得a9.又由圖象得a0,0a9.答案(0,1)U(9,+s)規(guī)律方法函數(shù)零點(diǎn)問題的解法(1) 確定函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間，可利用零點(diǎn)存在性定理或數(shù)形結(jié)合法.(2) 判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：解方程法；零點(diǎn)存在性定理，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)；數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).(3) 根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍：1直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，再通過解不等

6、式(組)確定參數(shù)范圍；2分離參數(shù)法，將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；3數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.【訓(xùn)練 1】(1)函數(shù)f(x) =x+ lgx 3 的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3 , +)(2)若方程 4x+ 2x+1+ 3 a= 0 有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 _ .解析(1)易知函數(shù)f(x) =x+ lgx 3 在定義域上是增函數(shù)，f(1) = 1 + 0 30,f(2) =2 + lg 2 30.故函數(shù)f(x) =x+ lgx 3 的零點(diǎn)所在的區(qū)間為 (2,3), 選

7、 C.(2)由 4+ 2+ 3a= 0 得a= 4 + 2+ 3，又 4+ 2+ 3 = (2 ) + 2 2+3= (2 + 1)+ 2，因?yàn)?2x0,所以(2x+ 1)2+ 23.故要使原方程有零點(diǎn)，則a3.答案(1)C(3 ,+)類型二函數(shù)模型及其應(yīng)用【例 2】 某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè)，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比， 投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比.已知投24資 1 萬元時(shí)兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125 萬元和 0.5 萬元.(1) 分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系；(2) 若該家庭有 20 萬元資金，全部用于理財(cái)投資，問：怎

8、樣分配資金能使投資獲得最大 收益？其最大收益是多少萬元？解(1)設(shè)兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)分別為f(x) =k1X,g(x) =k2x.551 1由已知得f(1) = 8=ki,g(1) = 2 =k2,所以f(x) = /(x0),g(x) =；x(x0).x依題意得y=f(x) +g(20 x) = +8令t=20 x(0wtW25),2則y=20+* = 8(t 2)2+ 3,所以當(dāng)t=2,即x= 16 時(shí)，收益最大，ymax= 3 萬元.規(guī)律方法建立函數(shù)模型的方法(1) 關(guān)系分析法：通過尋找實(shí)際問題中的關(guān)鍵詞和關(guān)鍵量之間的數(shù)量關(guān)系來建立函數(shù)模型.(2) 圖表分析法：通過列表的方法探

9、求建立函數(shù)模型.(3) 圖象分析法：通過對(duì)圖象中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析來建立函數(shù)模型.【訓(xùn)練 2】 今年冬季，我國大部分地區(qū)遭遇霧霾天氣，給人們的健康、交通安全等帶來了嚴(yán)重影響.經(jīng)研究，發(fā)現(xiàn)工業(yè)廢氣等污染物排放是霧霾形成和持續(xù)的重要因素，污染治理刻不容緩.為此，某工廠新購置并安裝了先進(jìn)的廢氣處理設(shè)備，使產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，以降低對(duì)空氣的污染.已知過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量R 單位：mg/L)與過濾時(shí)間t(單位：小時(shí))間的關(guān)系為P=F0ekt(R,k均為非零常數(shù)，e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，其中F0為t= 0 時(shí)的污染物數(shù)量.若經(jīng)過 5 小時(shí)過濾后還剩余 90%勺污染物.(1) 求常數(shù)k的值；(2

10、) 試計(jì)算污染物減少到 40%至少需要多少時(shí)間(精確到 1 小時(shí)，參考數(shù)據(jù)：In 0.2 1.61 , In 0.31.20 , In 0.4 0.92 , In 0.50.69 , In 0.9 0.11.)解(1)由已知，當(dāng)t= 0 時(shí)，P=Po；當(dāng)t= 5 時(shí)，P= 90%0._5k于是有 90%P0=P0e .1解得k= In 0.9( 或 0.022).1(2)由(1)得，P=Pe(：ln 0.9)t.51當(dāng)P= 40%。時(shí)，有 0.4P=Pe(匚In 0.9)t.(2)設(shè)投資穩(wěn)健型產(chǎn)品為x萬元，則投資風(fēng)險(xiǎn)型類產(chǎn)品為(20 x)萬元.1,20 x(0wx20).6故污染物減少到 40%至少需要 42 小時(shí).131小結(jié)反思?xì)w納，思維提升1對(duì)于零點(diǎn)性質(zhì)要注意函數(shù)與方程的結(jié)合，借助零點(diǎn)的性質(zhì)可研究函數(shù)的圖象、確定 方程的根；對(duì)于連續(xù)函數(shù)，