第七章空間解析幾何與向量代數xu

1、個人收集整理勿做商業(yè)用途§7。4空間曲線及其方程內容提要：空間曲線的一般方程、參數方程；空間曲線在坐標面上的投影重點分析：空間曲線的一般方程、參數方程；空間曲線在坐標面上的投影難點分析：空間曲線在坐標面上的投影、空間曲線的一般方程空間曲線c可以看作兩個曲面的交線,F(x,y,z)G(x, y,z)00-空間曲線的一般方程C特點：曲線上的點都滿足方程,滿足方程的點都在曲線上,不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程例1 方程組x22xy2 13y 3z表示怎樣的曲線?6解: x2其準線是2yxoy面上的圓，圓心在原點 Q半徑為1.1表示母線平行于z軸的圓柱面,3y 3z 6表示一個斜平面。2

2、x方程組就表示上述平面與圓柱面的交線一一為橢圓例2（ p320例2） 方程組aa 表示怎樣的曲線?/ a、2 2 / a、2（x -）y （匚）2 2解：方程組中第一個方程表示球心在坐標原點Q半徑為a的上半球面；第二個方程表示母線平行于 z軸的圓柱面，它的準線是xoy面上的圓，該圓的 圓心在點（a,0），半徑為旦。2 2方程組就表示上述半球面與圓柱面的交線。如圖例2'方程組z(X4ax2、2 2 2a) y a表示怎樣的曲線?解：方程組中第一個方程表示球心在坐標原點O 半徑為2a的上半球面。第二個方程表示母線平行于z軸的圓柱面，它的準線是xoy面上的圓，該圓的圓心在點(a,0),半徑為

3、a.方程組就表示上述半球面與圓柱面的交線。二、空間曲線的參數方程若空間曲線C上的點坐標x, y,z表示為一個參數的函數，如X X(t)C: y y(t) t a,b 為曲線C的參數方程z z(t)參數t在它的變化范圍內每取一個值，就對應到曲線上一個點，如給定t t1時，就得到C上的一個點(, %,乙);隨著t的變動便得曲線 C上的全部點。 反過來,曲線上任 一點均由參數的一個值對應，消去 t就得到曲線的一般方程。例3( p320例3)若空間一動點M在圓柱面x2 y2 a2上以角速度繞z軸旋轉，同時又以線速度v沿平行于z軸的正向上升(其中,v都是常數)，求動點的軌跡方程。解：取時間t為參數設當t

4、 0時 動點位于x軸上的一點 A(a,0,0).經過時間t,動點由A運動到M (x, y, z)。記M在xoy面上的投影為 M , M 的坐標為(x, y,0)。由于動點在圓柱面上以角速度繞z軸旋轉，所以經過時間t， AOM t.從而XOMcosAOMa cos tyOMsinAOMasin tzMMvtxa cos令t,即ya sin-螺旋線zvb(b)特點：上升高度與角度成正比，即：00, z: b 0 b 0 b ；當2時，上升固定咼度h2 b，稱為螺距。*曲面的參數方程(略)x x(s, t)曲面的參數方程通常是含兩個參數的方程形如 y y(s,t)z z(s,t)x (t)例如空間曲

5、線 ：y(t)( tz(t)繞z軸旋轉 所得旋轉曲面的方程為x J (t)2(t)2 cosy J (t)2(t)2sin(t02 )(4)z (t)這是因為固定一個t得上一點M(t)(t)(t) 點M繞z軸旋轉得空間的一個圓該圓在平面z (t )上 其半徑為點 M到z軸的距離.(t)2 (t)2因此 固定t的方程(4 )就是該圓的參數方程再令t在內變動 方程(4)便是旋轉曲面的方程x 1XV 1t2cos例如直線：yt，繞z軸旋轉所得旋轉曲面的方程為 y、1t2sinz 2tz 2t(上式消t和得曲面的直角坐標方程為x2 y2 1 )4三、空間曲線在坐標面上的投影定義1：以曲線C為準線、母線

6、平行于 z軸的柱面叫做曲線 C關于xoy面的投影柱面定義2：投影柱面與xoy面的交線叫做空間曲線 C在xoy面上的投影曲線簡稱投影。(類似地可以定義曲線 C在其它坐標面上的投影)。設空間曲線c的一般方程為F(x,y,z) 0。G(x,y,z) 0消去變量z后得方程： H(x, y) 0，曲線C關于xoy面的投影柱面。(因為：一方面方程 H (x, y) 0表示一個母線平行于z軸的柱面，另一方面方程H(x,y) 0是由方程組消去變量 z后所得的方程，因此當x,y,z滿足方程組時，前兩個 數x, y必定滿足方程H (x, y) 0 ,這就說明曲線 C上的所有點都在方程 H (x,y) 0所表示的曲

7、面上，即曲線C在方程H(x,y) 0表示的柱面上。所以方程H(x,y) 0表示的柱面就是曲線 C關于xoy面的投影柱面。)投影柱面的特征:以此空間曲線為準線，垂直于所投影的坐標面投影柱面投影曲線空間曲線C在xoy面上的投影曲線為：H (x, y) 0。z 0類似地：可定義空間曲線在其他坐標面上的投影。yoz面上的投影曲線:R(y,z) 0； xoz面上的投影曲線:T(x,z)0x 0y 02 2 2 .x y z 1例4求曲線 i在坐標面上的投影。Z2解：（1 ）消去變量z后得方程：X2 y2 3，4223所以得在xoy面上的投影曲線為：X y 4。z 0（2 ）因為曲線在平面z -上，故在x

8、oz面上的投影為線段:21z -2,y 0|X|11z （3）同理，在yoz面上的投影也為線段：2 ,x 0|y|.32例5求拋物面 y z x與平面x 2y z2 2x解：截線方程為 ，如圖x 2yz0（1）消去z得投影：2 x5y2 4xyz0（2）消去y得投影：2 x5z2 2xzy0（3）消去x得投影：2yz2 2y zx0例6（ p323例4）已知兩球面的方程為 x2求它們的交線 C在xoy面上的投影方程.2 2 2 2 2y z 1 和 x (y 1) (z 1)1解:先將方程x2 (y 1)2 (z 1)21化為x2y2 z2 2y 2z將 z 1 y 代入 x2 y2 Z2 1

9、，得 X2 2y2 2y 0這就是交線C在xoy面上的投影柱面方程。故兩球面的交線 C在xoy面上的投影方程為x2 2y2 2y 0z 0補充： 空間立體或曲面在坐標面上的投影。（重積分與曲線積分計算中需用到）1例 7(p324 例 5)求由上半球面z , 4 x2 y2和錐面z , 3（x2 y2）所圍成立體在xoy面上的投影。解:由方程z . 4 x2 y2和z、3（）消去z得到x22y 1，這是一個母線平行于z軸的圓柱面。容易看出,這恰好是半球面與錐面的交線C關于xoy面的投影柱面,因此交線C在xoy面上的投影曲線為；2oyj-為面上的一個圓。于是所求立體在 xoy面上的投影，就是該圓

10、xoy面上所圍的部分：x2 y2 1.四、小結1、空間曲線的一般方程、參數方程:F(x, y, z) 0G(x, y,z) 0x x(t) y y(t)z z(t)個人收集整理勿做商業(yè)用途H (x, y)2、空間曲線在坐標面上的投影：0 R(y,z) 0,T(x,z) 0z 0x 0y 0作業(yè):p324, ex3, ex4, ex5 (1), ex7,ex8思考題:求橢圓拋物面2y2 x22z與拋物柱面2 xz的交線關于xoy面的投影柱面和在xoy面上的投影曲線方程思考題解答:交線方程為2y2 x22 x2消去z得投影柱面：x2 y21,在xoy面上的投影為:x2y21z 0§7 5

11、平面及其方程內容提要：平面的點法式、一般式及截距式方程形式；兩平面的夾角；點到平面距離重點分析：平面方程及其求法； 平面與平面間相互位置關系的判定條件；點到平面距離難點分析：平面方程及其求法一、平面的點法式方程定義1：法線向量：如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量.即 n( 0)稱n為平面的法向量。法向量特征:垂直于平面內的任一向量。注:法向量不唯一 ( n(0)也可作為平面的法向量唯一確定平面的條件：當平面 上一點M 0(瓦，y0, z0)和它的一個法線向量n A, B, C為已知時，平面 的位置就完全確定了。平面方程的建立：設M(x, y, z)是平面上的任一點。那么向

12、量M0M必與平面 的法線向量n垂直，即它們的數量積等于零：n m0m 0。因為 n A,B,C，M°M x x0, y y°,z z。，所以 A(x怡)B(y y0) C(z z0) 0平面的點法式方程這就是平面上的任一點M的坐標x, y,z所滿足的方程。反之，若M(x,y,z)不在平面上，那么向量 M°M與法線向量n不垂直,從而n M0M0,即不在平面上的點M的坐標x, y, z不滿足此方程。故平面上的點都滿足上述方程,不在平面上的點都不滿足上述方程，上述方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形。解:(p325例1同類型)根據平面的點法式方程,求過點(1,1,1)

13、且以n 3,1,2為法線向量的平面的方程。得所求平面的方程為:3(x 1) (y1)2(z 1)03x y 2z解:(p326例2同類型)求過三點A(1,1, 1), B(2, 2,2), C(1,1,2)的平面方程。我們可以用AB AC作為平面的法線向量因為AB 3,3, 3AC 0, 2,所以 n AB AC根據平面的點法式方程,3i9j6k .得所求平面的方程為3(x 1) 9(y1)6(z 1)0x 3y 2z 0.例3求過點(1,1,1),且垂直于平面x y z 7和3x 2y 12z 50的平面方程解： n 1, 1,1, rh 3,2, 12，取法向量 n n n2 10,15,

14、5，故所求平面方程為10(x 1) 15(y 1) 5(z 1) 0即 2x 3y z 60.二、平面的一般方程由平面的點法式方程A(x X) B(y y°) C(z 鬲)0 Ax By Cz (Ax。By。CzO 0D即Ax By Cz D 0-平面的一般方程其中法線向量n 代B,C。所以任一平面都可以用三元一次方程來表示。反過來，設有三元一次方程 Ax By Cz D 0，任取滿足該方程的一組數 x0,y0,z3，即Ax0 By0 Cz() D 0把上述兩等式相減 得A(x xj B(y y0) C(z zj 0,這正是通過點 M/xyo,。)且以n 代B,C為法線向量的平面方程

15、。由于方程Ax ByCz D 0與方程 A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0 同解，所以任一三元一次方程Ax By Cz D 0的圖形總是一個平面。方程Ax By CzD0稱為平面的一般方程，其中x, y, z的系數就是該平面的一個法線向量n的坐標，即 n A, B,C。例如，方程3x 4y z 80表示一個平面，n 3, 4,1是該平面的一個法向量。討論A,B,C, D為零時，平面的特殊位置：(1) D 0，表示平面通過坐標原點(2)AD 0,平面通過x軸；D 0,平面平行于x軸。同理，B 0,C0分別表示平行于 y軸、z軸的平面(3) AB 0,表示平行于xoy 面的平面同理

16、，B C 0，表示平行于yoz面的平面；A C 0 ,表示平行于xoz面的平面。 例4 ( P327例3)求通過X軸和點(43 1)的平面的方程。解：平面通過X軸，一方面表明它的法線向量垂直于X軸，即 A 0;另一方面表明它必通過原點，即 D0。因此可設這平面的方程為By Cz 0 .又因為這平面通過點(4,3，1)，所以有 3B C 0,即C 3B ,將其代入所設方程并除以B(B 0),便得所求的平面方程為 y 3z 0.例5求過點(1，2， 4 )而平行于xoy面的平面方程解：因為所求平面平行于 xoy面,故可設所求平面方程為 C(z %) 0 ,將點代入，得所求平面為 C(z 4)0，因

17、為C 0 ,故所求平面方程為z 40。例6 設平面過原點及點(6, 3,2)，且與平面4x y 2z 8垂直，求此平面方程。解：設此平面為Ax By CzD0，由平面過原點知，D 0由平面過點(6, 3,2)知，6A3B2C0，又 t n 4, 1,2 , 4AB2C0，A B -C3所以所求方程為2x 2y3z0。例 7( p327 例 4) 設一平面與 x, y, z 軸的交點依次為 P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0, c)三點(其中a 0，b 0，c 0)，求這平面的方程。解：設所求平面的方程為 Ax By Cz D 0，因為點 P(a,O,O)、Q(O,b,O)R（0,0

18、, c）都在這平面上，將三點代入所設方程,aA D 0, 即有bB D 0,cC D 0,由此得 a Da，B Db，C D。將其代入所設方程，得即 Dby |z D 0即一'1。一-平面的截距式方程a b c而a,b,c依次叫做平面在x, y, z軸上的截距。例8求平行于平面6xy 6z 50而與三個坐標面所圍成的四面體體積為一個單位的平面方程解：設平面為x -1,a b c1 1 V 1,abc 1,3 2由所求平面與已知平面平行得111（向量平行的充要條件）一a-bc616， 111人11 1化簡得一令t6ab6c6ab 6c口111 11得1-t66tt 6t6a - , b

19、jc 代入體積式6t t 6ta 1, b 6, c 1所以所求方程為6x y 6z 6。三、兩平面的夾角定義2:兩平面的夾角：兩平面的法向量的夾角（通常指銳角）稱為兩平面的夾角。設平面1, 2的法線向量分別為 hA1,B,G和 n A2,B2,C2,那么平面1, 2的夾角 應是n1,n2和 n1, n2n-i, n2兩者中的銳角,因此，cos |cos (nn 2)|.按兩向量夾角余弦的坐標表示式，平面1, 2的夾角可由下式來確定cosA|cos(n- , n2)| A A2 B- B2 C C21.'a2b2cjb2C2-兩平面夾角余弦公式（1）12A AgB1 B2C1C20；（

20、2）JIA1B12C15A2B2C2（3）1與2重合AC1 D1。A2B2C2 d2例9(p328，例5同類型）求兩平面 2x y角。解：因為n A1, B1, C12,1,1，n2故cosIMB1B2C1C2 1丁A B12C2 VA B； c；兩平面位置特征:z 70和x y 2z 110之間的夾A2.B2.C21,1,2|2 1 ( 1) 1 1 2| 1：22 ( 1)2 1212 12 22 2所以所求夾角為3例10（p328例6） 一平面通過兩點 ”1,1,1）和M2（0,1, 1）且垂直于平面x y z 0,求它的方程。解：方法一：從點M1到點M2的向量為 皿側2 n1 1,0,

21、 2，平面x y z 0的法線向量為n21,1,1。設所求平面的法線向量為n A, B,C，可取為n-i n2,2:3x 2y 12z 15 0，求其方程。解:兩平面的法向量分別為n11,1,1, “2 3,2, 12，四、故 n a n2故所求方程為2(x點到平面的距離1)3(y121)10,15,5 52,3,1，(z 1)0，即 2x 3y設P°(x0, y°,z0)是平面AxByCz D 0外一點求P0到這平面的距離。設en是平面上的單位法線向量,在平面上任取一點R(X1, %,乙)，ijk因為nriin21022i j k,111所以所求平面方程為2(x1)(y1

22、)(z 1)0,即2x y z 0。方法二(書上解法)：已知從點M1到點M2的向量為 皿側2 n1 1,0, 2，平面x y z 0的法線向量為n21,1,1.設所求平面的法線向量為 n A,B,C，因為點”2,1,1)和M2(0,1, 1)在所求平面上，所以n h，即 A 2C 0(1 )又因為所求平面垂直于平面x y z 0，所以nn2，即ABC 0 (2 )由(1)( 2)式得 A 2C, B C。于是由點法式方程，所求平面為 2C(x 1) C(y 1) C(z 1)0 ,即2x y z 0。0和平面例11 一平面通過點A(1,1, 1)且同時垂直于平面1 : x則F0到這平面的距離為

23、d | P1P0 en | | Pr jn RP01|A(x xi) B(y° yi) C(z° zj|Ja2 B2 c2|Axo Byo Czo (Axi Byi Czi)|、A2 B2 C2因為只(為，,乙)在該平面上，故Ax( By( Cz1 D 0,d 1 AXo Byo Cz° D| -點到平面的距離公式Ja2 b2 c2提示:en1,'A2 B2 C2A B, C，PP。xo N,y° yi, zo n，例 i2(p329 例)求點(2 1 1)到平面x y z 10的距離。解：d |Ax0By。Cz0 D|1 2 11 ( 1) 1

24、1|33B2 C2<1212 ( 1)273"例13研究以下各組里兩平面的位置關系： x 2y z 10,(2) 2x y z 1 0,(3) 2x y z 1 0,解：(1)因為COSy 3z 10；4x 2y 2z 10 ；4x 2y 2z 20。| 1021 13|_1_(1)222(1)2.1232 60、1所以兩平面相交，夾角為arccosV60-211卄十十十/一(2) 因為厲2, 1,1，n2 4,2, 2，兩平面平行又丁 M (1,1,0)1 M (1,1,0)2，所以兩平面平行但不重合。2 1 1(3) ，兩平面平行4 22又-TM (1,1,0)M (1,1

25、,0)2，所以兩平面重合。例14若平面x ky 2z 0與平面2x 3y z 0的夾角為一，求k ?4cos1 2 k(_412 k2 ( 2)2 . 22 ( 3)2 1213k、2.5 k214702五、小結 平面的方程：點法式方程、一般方程、截距式方程（熟記平面的幾種特殊位置的方程）兩平面的夾角（注意兩平面的位置特征）；點到平面的距離公式。作業(yè):p329， ex1,ex3， ex4 （ 3） （ 5），ex6， ex8 （ 1）（ 3）， ex9§7。6空間直線及其方程內容提要：直線的一般方程、對稱式（點向式）及參數式方程形式及求法；平面與直線 的夾角；兩直線的夾角；點到直線的

26、距離重點分析：直線方程及其求法；平面與直線、直線與直線之間相互位置關系的判定條件;點到直線的距離難點分析：直線方程及其求法；點到直線的距離一、空間直線的一般方程空間直線L可以看作是兩個平面：Ax By C1z D1 0A?x B2y C2z D2 0空間直線的一般方程1 : Ax Ry C1z D-i 0和 2: Ax B2y C2z（即直線L上的任一點的坐標應同時滿足這兩個平面的方程）滿足兩個條件：1）直線L上每一點均滿足這兩個方程 ；2）若點M不在直線L上,則它不可能滿足該方程組。通過空間一直線 L的平面有無限多個（以書為例 ），只要在這無限多個平面中任意選取兩個，將其方程聯立，所得的方程

27、組就表示空間直線L.二、空間直線的對稱式方程與參數方程定義1:直線的方向向量：若一個非零向量平行于一條已知直線，這個向量就叫做這條直線的方向向量.(方向同向或反向)容易知道，直線上任一向量都平行于該直線的方向向量。確定直線的條件：當直線L上一點Mo(Xo,yo,Zo)和它的一方向向量s m, n, p為已知時，直線L的位置就完全確定了。直線方程的確定：已知直線L通過點M0(心y0,zo)，且直線的方向向量為s m, n, p，求直線L的方程。解：設M(x, y, z)在直線L上的任一點，那么 M0M | sXXomyyozzon P直線的對稱式方程其中 M0M x xo, y yo,z Zo，

28、從而有直線的方向數：直線的任一方向向量 s的坐標m, n, p ；直線的方向余弦：方向向量S的方向余弦。 注：因為s是非零向量，m,n, p不全為零。(1)當m,n, p中有一個為零，如no而m, p o時，yyo該方程組記為X Xo yYoz zoo，事實上應理解為XXoz Zo ；mopmp(2)當m, n, p中有兩個為零，如np o ,而m o時，該方程組記為x Xo yYoz zoo，事實上應理解為yyoo。moozzoo由直線的對稱式方程容易導出直線的參數方程。設X X。yy°z z°t得方程組得方程組mnpxXomtyy。nt直線的參數方程zZoPt2,3)且

29、平行于向量sp(1,例1求過點4,2, 4的直線方程，及該直線的方向余弦.解：由點向式得直線方程為所以 cos2,cos31 ,cos3例2( p331例1同類型)用對稱式方程及參數方程表示直線y2x y解： 法一先求直線上的兩點R,F2，令Xi0，得 yi2,乙2，所以取R(0,2,2)令y21,Z21，所以取 P( 1,0,1)，所以pp21, 2, 31,2,3，故直線的對稱式方程為法二：取直線上的一點P(0,2,2)，又取直線的方向向量為1,2, 3故直線的對稱式方程為z 2丁 t，得所給直線的參數方程為2t。3t因為s 6,解：因為直線和y軸垂直相交，所以交點為B（0, 3,0）,取

30、s BA 2, 0,4，故所求直線方程為定義2:兩直線的方向向量的夾角（通常指銳角）叫做兩直線的夾角、兩直線的夾角直線L1 :xx-imiyyinizZiPi道線l2 :x x2m2y y2 z Z2屯P2其方向向量依次為:s'm,ni, Pi ,smt,n2, p2，那么Li和L2的夾角就是Si,s>Si,S2兩者中的銳角，因此cos| cos S|, S2 I。根據兩向量的夾角的余弦公式，直線Li和L2的夾角可由cos(L',L2) cos|gm2 譏PiP2 I2r)2.mi2口2P'2m22=來確定。2P2兩直線的位置關系:(i) LiL2sis2si s

31、2mim2嚇P' p20;(i) LJIL2si IIS2 SiS2mimP'。m2n2p2如，直線J : si, 4,0，直線 L2: S2 0,0,is S20,ss2,即 L'L2。x i例4 （ p332例2）求直線Li：二iX _y2的夾角。i解：兩直線的方向向量分別為i, 4,i ,s22,2, I。設兩直線的夾角為，則cos|i 2 (.'2 ( 4)2 i2 ,'22 ( 2)2( i)24)2) i ( i)|，所以四、直線與平面的夾角 定義3:當直線與平面不垂直時，直線和它在平面上的投影直線的夾角為直線與平面的夾角；當直線與平面垂直時

32、，規(guī)定直線與平面的夾角為設直線L :m平面AxOBy CzD(s,n) |,因此 sin| cos(s,n) |。y y。n直線與平面的夾角為那么有 sin|Am Bn Cp|-直線與平面的夾角公式Ja2 B2 C2 Jm22 n2p直線與平面的位置關系：ABC(1)直線L與平面垂直sil n；mnp(2)直線L與平面平行s nAmBn Cp0 ；直線L在平面上Am BnCp0且至少直線L上一點滿足AxByCzD 0 c)例5設直線L: x 1y z 1，平面 :x y2z 3,求直線與平面的夾角。21 2解：因為 n 1, 1,2，s 2,1,2亠| AmBn Cp |1 2(1) ( 1)

33、 2 2|7A B2 C2 、 m22 n2pV6 V93；6按兩向量夾角余弦的坐標表示式，7arcsin =為所求夾角.3/6例6判斷下列直線與平面的位置關系。若相交，求交點。(1)直線(2)直線(3)直線1-_3 和平面 2x 5y 4z 110 ；24y4-和平面 4x 2y 2z 3；73y 2 z和平面x 2y 2z 60 ；2 1x 2y 4z 7 0(4)直線和平面 16x 14y 11z 65 0 。3x 5y 2z 1 0解：(1)因為s n3,2, 42,5,40，所以s n，即直線/平面，將點(2, 1,3)代入平面滿足2 2 5 ( 1) 4 3 11 0 ,故直線在平

34、面上。(2) 因為s n2, 7,34, 2, 20，所以s n，即直線/平面，將點(3, 4,0)代入平面方程得4 3 2 ( 4)2 03,故直線/平面.,a b(3) s n 3, 2,11,2,21 0,所以直線與平面相交，且，故為斜交。m nx 3 3t將點y 2 2t代入平面x 2y 2z 60,得t 1，所以交點為(0, 4,1)。z tj k_(4) 因為 s 12 416i" 14j 11k，352ABC所以一一一，故直線垂直于平面。m n p例7(p333例4)求過點(3,2,5)且與兩平面x 4z 3和2x y 5z 1的交線平行的直線方程。解：設所求直線的方向

35、向量為 s m, n, p，由題意知 s n1， sn2，故取 s mn2 4, 3, 1，所以，所求直線方程為例8求過點(1,2,0)的直線在平面x 2y z 10上的垂足。解：若過點(1,2,0)作平面x 2y z 10的垂線。因為s 1,2, 1所以其垂線方程為x1t垂線的參數方程為y22t代入平面方程zt得t12(22t)(t) 10 t235x32 5 2 2所以交點為y，即垂足為5,-,3 3 3 32z 3例9 (與p334例6同類型) 求過點M (2,1,2)且與直線 2 乂衛(wèi) 三/垂直相1 1 2交的直線方程。解：先作一過點 M且與已知直線垂直的平面 ：(x 2) (y 1)2(z2)0,再求已知直線與該平面的交點N,令 匚2三/ t,1 1 2x t 2得y t 3，代入平面方程得t 1,故交點N(1,2,2).z 2t 4取所求直線的方向向量為 MN1 2,21,22 1,1,0,故所求方程為2 山1 1z 2，即探平面束問