全國2013年4月高等教育自學(xué)考試概率論與數(shù)理統(tǒng)計(經(jīng)管類)試題課程代碼：04183

1、2013年4月概率論與數(shù)理統(tǒng)計（經(jīng)管類）答案解析課程代碼：041831.【答案】D【解析】“命中目標(biāo)”=“甲命中目標(biāo)”或“乙命中目標(biāo)”或“甲、乙同時命中目標(biāo)”，所以可表示為“AB”，故選擇D.【提示】注意事件運算的實際意義及性質(zhì)：（1）事件的和：稱事件“A，B至少有一個發(fā)生”為事件A與B的和事件，也稱為A 與B的并AB或A+B.性質(zhì)：,；若，則AB=B.（2）事件的積：稱事件“A，B同時發(fā)生”為事件A與B的積事件，也稱為A與B的交，記做F=AB或F=AB.性質(zhì)：，； 若，則AB=A.（3）事件的差：稱事件“A發(fā)生而事件B不發(fā)生”為事件A與B的差事件，記做AB.性質(zhì)：；若，則；.（4）事件運算的

2、性質(zhì)（i）交換律：AB=BA, AB=BA；（ii）結(jié)合律：（AB）C=A（BC）, （AB）C=A（BC）；（iii）分配律： （AB）C=（AC）（BC）（AB）C=（AC）（BC）.（iv）摩根律（對偶律）,2.【答案】A【解析】，故選擇A.【提示】見1題【提示】（3）.3.【答案】D【解析】根據(jù)分布函數(shù)的定義及分布函數(shù)的性質(zhì)，選擇D.詳見【提示】.【提示】1.分布函數(shù)定義：設(shè)X為隨機變量，稱函數(shù)，為的分布函數(shù).2.分布函數(shù)的性質(zhì)：0F（x）1；對任意x1，x2（x1< x2），都有；F（x）是單調(diào)非減函數(shù)；，；F（x）右連續(xù)；設(shè)x為f（x）的連續(xù)點，則f（x）存在，且F（x）=f

3、（x）.3.已知X的分布函數(shù)F（x），可以求出下列三個常用事件的概率：；，其中a<b；.4.設(shè)二維隨機變量（X，Y）的分布律為0 120100.10.20.40.3 0則（）A.0B.0.1C.0.2D.0.3【答案】D【解析】因為事件，所以， = 0 + 0.1 + 0.2 = 0.3故選擇D【提示】1.本題考察二維離散型隨機變量的邊緣分布律的求法；2.要清楚本題的三個事件的概率為什么相加：因為三事件是互不相容事件，而互不相容事件的概率為各事件概率之和.5.A.0.25B.0.5C.0.75D.1【答案】A【解析】積分區(qū)域D：0X0.5，0Y1，所以故選擇A.【提示】1.二維連續(xù)型隨機

4、變量的概率密度f（x，y）性質(zhì)：f（x，y）0；若f（x，y）在 （x，y）處連續(xù)，則有，因而在f（x，y）的連續(xù)點（x，y）處，可由分布函數(shù)F（x，y）求出概率密度f（x，y）；（X，Y）在平面區(qū)域D內(nèi)取值的概率為.2.二重積分的計算：本題的二重積分的被積函數(shù)為常數(shù)，根據(jù)二重積分的幾何意義可用簡單方法計算：積分值=被積函數(shù)0.5×積分區(qū)域面積0.5.6.A.0.8B.0.2C.0D.0.4【答案】B【解析】E（X）=（2）×0.4+0×0.3+2×0.30.2故選擇B.【提示】1.離散型一維隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義：設(shè)隨機變量的分布律為，1，2，.若級數(shù)

5、絕對收斂，則定義的數(shù)學(xué)期望為.2.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：E（c）=c，c為常數(shù)；E（aX）=aE（x），a為常數(shù)；E（X+b）=E（X+b）=E（X）+b，b為常數(shù)；E（aX+b）=aE（X）+b，a，b為常數(shù).7.【答案】C【解析】根據(jù)連續(xù)型一維隨機變量分布函數(shù)與概率密度的關(guān)系得，所以，=，故選擇C.【提示】1.連續(xù)型一維隨機變量概率密度的性質(zhì);；設(shè)x為的連續(xù)點，則存在，且.2.一維連續(xù)型隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義：設(shè)連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為，如果廣義積分絕對收斂，則隨機變量的數(shù)學(xué)期望為.8.【答案】C【解析】，而均勻分布的期望為，故選擇C.【提示】1.常用的六種分布（1）常用離散型隨機變量的分布

6、（三種）：X01概率qpA.兩點分布分布列數(shù)學(xué)期望：E（X）=P方差：D（X）=pq.B.二項分布：XB（n，p）分布列：，k=0，1，2，n；數(shù)學(xué)期望： E（X）=nP方差： D（X）=npq.C.泊松分布：X分布列：，0，1，2，數(shù)學(xué)期望：方差：（2） 常用連續(xù)型隨機變量的分布 （三種）：A.均勻分布：X密度函數(shù)：,分布函數(shù)：，數(shù)學(xué)期望：E（X）, 方差：D（X）.指數(shù)分布：X密度函數(shù)：,分布函數(shù)：，數(shù)學(xué)期望：E（X）, 方差：D（X）.正態(tài)分布（A）正態(tài)分布：X密度函數(shù)：，分布函數(shù)：數(shù)學(xué)期望：, 方差：，標(biāo)準(zhǔn)化代換： 若X，則.（B） 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：X密度函數(shù)：，分布函數(shù)：，數(shù)學(xué)期望：E

7、（X）0, 方差：D（X）1.2.注意：“樣本”指“簡單隨機樣本”，具有性質(zhì)：“獨立”、“同分布”.9.【答案】A【解析】易知，故選擇A.【提示】點估計的評價標(biāo)準(zhǔn)：（1）相合性（一致性）：設(shè)為未知參數(shù)，是的一個估計量，是樣本容量，若對于任意，有，則稱為的相合（一致性）估計.（2）無偏性：設(shè)是的一個估計，若對任意，有則稱為的無偏估計量；否則稱為有偏估計.（3）有效性設(shè)，是未知參數(shù)的兩個無偏估計量，若對任意有樣本方差，則稱為比有效的估計量.若的一切無偏估計量中，的方差最小，則稱為的有效估計量.10.【答案】A【解析】查表得答案.【提示】關(guān)于“課本p162，表7-1：正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計表”記憶的

8、建議：表格共5行，前3行是“單正態(tài)總體”，后2行是“雙正態(tài)總體”；對均值的估計，分“方差已知”和“方差未知”兩種情況，對方差的估計“均值未知”；統(tǒng)計量順序：, t, x2, t, F.二、填空題 （本大題共15小題，每小題2分，共30分）11.【答案】0.1【解析】由加法公式P （AB）= P （A）+ P （B）P （AB），則P （AB）= P （A）+ P （B）P （AB）=0.1故填寫0.1.12.【答案】【解析】設(shè)第三次取到0的概率為，則故填寫.【提示】古典概型： （1） 特點：樣本空間是有限的；基本事件發(fā)生是等可能的；（2）計算公式.13.【答案】0.8【解析】因為隨機事件A與B

9、相互獨立，所以P （AB）=P （A）P （B） 再由條件概率公式有=所以，故填寫0.8.【提示】二隨機事件的關(guān)系（1）包含關(guān)系：如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則事件B包含事件A，記做；對任何事件C，都有，且；（2）相等關(guān)系：若且，則事件A與B相等，記做A=B，且P （A）=P （B）；（3）互不相容關(guān)系：若事件A與B不能同時發(fā)生，稱事件A與B互不相容或互斥，可表示為，且P （AB）=0；（4）對立事件：稱事件“A不發(fā)生”為事件A的對立事件或逆事件，記做；滿足且.顯然：；，.（5）二事件的相互獨立性：若, 則稱事件A, B相互獨立；性質(zhì)1：四對事件A與B，與B，A與，與其一相互獨立，則其余

10、三對也相互獨立；性質(zhì)2：若A, B相互獨立，且P （A）0, 則.14.【答案】【解析】參數(shù)為泊松分布的分布律為，0，1，2，3，因為，所以，0，1，2，3，所以=，故填寫.15.【答案】【解析】因為，則，所以，故填寫.【提示】注意審題，準(zhǔn)確判定概率分布的類型.16.【答案】【解析】因為二維隨機變量 （X，Y）服從圓域D：上的均勻分布，則，所以故填寫.【提示】課本介紹了兩種重要的二維連續(xù)型隨機變量的分布：（1）均勻分布：設(shè)D為平面上的有界區(qū)域，其面積為S且S>0，如果二維隨機變量 （X，Y）的概率密度為，則稱 （X，Y）服從區(qū)域D上的均勻分布，記為（X，Y）.（2）正態(tài)分布：若二維隨機變

11、量（X，Y）的概率密度為（，），其中，都是常數(shù)，且，則稱 （X，Y）服從二維正態(tài)分布，記為 （X，Y）.17.【答案】0【解析】根據(jù)方差的性質(zhì)，常數(shù)的方差為0.【提示】1.方差的性質(zhì)D （c）=0，c為常數(shù)；D （aX）=a2D （X），a為常數(shù)；D （X+b）=D （X），b為常數(shù)；D （aX+b）= a2D （X），a，b為常數(shù).2.方差的計算公式：D （X）=E （X2）E2 （X）.18.【答案】【解析】因為隨機變量X服從參數(shù)1的指數(shù)分布，則，則故填寫.【提示】連續(xù)型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望：設(shè)X為連續(xù)性隨機變量，其概率密度為，又隨機變量，則當(dāng)收斂時，有19.【答案】【解析】由已知得，所

12、以.【提示】切比雪夫不等式：隨機變量具有有限期望和，則對任意給定的，總有或.故填寫.20.【答案】1【解析】根據(jù)x2定義得C=1，故填寫1.【提示】1.應(yīng)用于“小樣本”的三種分布：x2分布：設(shè)隨機變量X1，X2，Xn相互獨立，且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則服從自由度為n的x2分布，記為x2x2 （n）.F分布：設(shè)X，Y相互獨立，分別服從自由度為m和n的x2分布，則服從自由度為m與n的F分布，記為FF （m，n），其中稱m為分子自由度，n為分母自由度.t分布：設(shè)XN （0，1），Yx2 （n），且X，Y相互獨立，則服從自由度為n的t分布，記為tt （n）.2.對于“大樣本”，課本p134,定理6-1：

13、設(shè)x1，x2，xn為來自總體X的樣本，為樣本均值，（1）若總體分布為，則的精確分布為；（2）若總體X的分布未知或非正態(tài)分布，但，則的漸近分布為.21.【答案】【解析】課本P153，例7-14給出結(jié)論：，而，所以，故填寫.【說明】本題是根據(jù)例7-14改編.因為的證明過程比較復(fù)雜，在2006年課本改版時將證明過程刪掉，即本次串講所用課本（也是學(xué)員朋友們使用的課本）中沒有這個結(jié)論的證明過程，只給出了結(jié)果.感興趣的學(xué)員可查閱舊版課本高等數(shù)學(xué) （二）第二分冊概率統(tǒng)計P164,例5.8.22.【答案】【解析】由矩估計方法，根據(jù)：在參數(shù)為的泊松分布中，且的無偏估計為樣本均值，所以填寫.【提示】點估計的兩種方

14、法（1）矩法 （數(shù)字特征法）估計：A.基本思想：用樣本矩作為總體矩的估計值；用樣本矩的函數(shù)作為總體矩的函數(shù)的估計值.B.估計方法：同A.（2）極大似然估計法A.基本思想：把一次試驗所出現(xiàn)的結(jié)果視為所有可能結(jié)果中概率最大的結(jié)果，用它來求出參數(shù)的最大值作為估計值.B.定義：設(shè)總體的概率函數(shù)為，其中為未知參數(shù)或未知參數(shù)向量，為可能取值的空間，x1，x2，xn是來自該總體的一個樣本，函數(shù)稱為樣本的似然函數(shù)；若某統(tǒng)計量滿足，則稱為的極大似然估計.C.估計方法利用偏導(dǎo)數(shù)求極大值i）對似然函數(shù)求對數(shù)ii）對求偏導(dǎo)數(shù)并令其等于零，得似然方程或方程組iii）解方程或方程組得即為的極大似然估計.對于似然方程 （組

15、）無解時，利用定義：見教材p150例710；（3）間接估計：理論根據(jù)：若是的極大似然估計，則即為的極大似然估計；方法：用矩法或極大似然估計方法得到的估計，從而求出的估計值.23.【答案】【解析】已知總體服從參數(shù)為的指數(shù)分布，所以，從而，=，故填寫.24.【答案】【解析】課本p176，8.3.1.25.【答案】【解析】由一元線性回歸模型中，其中，1，2，且，相互獨立，得一元線性回歸方程，所以，則由20題【提示】（3）得，故填寫.【說明】課本p186，三、計算題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）26.（1）設(shè)甲取到黑球的概率為p，則.（2）設(shè)乙取到的都是黑球的概率為p，則.27.（附：）【分

16、析】本題考察假設(shè)檢驗的操作過程，屬于“單正態(tài)總體，方差未知，對均值的檢驗”類型.【解析】設(shè)欲檢驗假設(shè)H0：，H1：，選擇檢驗統(tǒng)計量，根據(jù)顯著水平=0.05及n=16，查t分布表，得臨界值t0.025（15）=2.1315，從而得到拒絕域，根據(jù)已知數(shù)據(jù)得統(tǒng)計量的觀察值因為，拒絕，可以認(rèn)為用新工藝生產(chǎn)的零件平均直徑與以往有顯著差異.【提示】1.假設(shè)檢驗的基本步驟：（1）提出統(tǒng)計假設(shè)：根據(jù)理論或經(jīng)驗對所要檢驗的量作出原假設(shè)（零假設(shè)）H0和備擇假設(shè)H1，要求只有其一為真.如對總體均值檢驗，原假設(shè)為H0：，備擇假設(shè)為下列三種情況之一：，其中i）為雙側(cè)檢驗，ii），iii）為單側(cè)檢驗.（2）選擇適當(dāng)?shù)臋z驗

17、統(tǒng)計量，滿足： 必須與假設(shè)檢驗中待檢驗的“量”有關(guān)； 在原假設(shè)成立的條件下，統(tǒng)計量的分布或漸近分布已知.（3）求拒絕域：按問題的要求，根據(jù)給定顯著水平查表確定對應(yīng)于的臨界值，從而得到對原假設(shè)H0的拒絕域W.（4）求統(tǒng)計量的樣本值觀察值并決策：根據(jù)樣本值計算統(tǒng)計量的值，若該值落入拒絕域W內(nèi)，則拒絕H0，接受H1，否則，接受H0.2.關(guān)于課本p181，表8-4的記憶的建議：與區(qū)間估計對照分類記憶.四、綜合題（本大題共2小題，每小題12分，共24分）28.【分析】本題考察二維連續(xù)型隨機變量及隨機變量函數(shù)的概率密度.【解析】（1）由已知條件及邊緣密度的定義得=，（）所以；同理可得.（2）使用“直接變換法”求Z=2X+1的概率密度.記隨機變量X、Z的分布函數(shù)為Fx（x）、Fz（Z），則，由分布函數(shù)Fz（Z）與概率密度的關(guān)系有由（1）知，所以=.【提示】求隨機變量函數(shù)的概率密度的“直接變換法”基本步驟：問題：已知隨機變量X的概率密度為，求Y=g（X）的概率密度解題步驟：1.；2.29.設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，XN（0,3），YN（1,4）.記Z=2X+Y，求（1）E（Z），D（Z）；（2）E（XZ）；（3）PXZ.【分析】本題考察隨機