制動器試驗臺的控制方法分析數(shù)學模型

1、2009高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學生數(shù)學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： A 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置

2、報名號的話）： 0801 所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜?哈爾濱工程大學 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 黃玉龍 2. 蔣彰 3. 劉召軍 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負責人 (打印并簽名)： 日期： 2009 年 9 月15 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2009高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）： 制動器試驗臺的控制方法分析數(shù)學模型 【摘要】 本論文先通過對制動器控制方法的分析，然后建立一

3、個較為完整而又簡單的數(shù)學模型，結(jié)合這個模型對某種試驗臺控制方法分析，從中得到獲得一些設(shè)計電流的經(jīng)驗，最后自己設(shè)計一個試驗臺控制方法并對它進行評價、優(yōu)化。 在處理第3份時，建立了一個可觀測數(shù)學模型：電動機的輸出電流i=1.5*（等效轉(zhuǎn)動慣量J-機械轉(zhuǎn)動慣量j）*主軸的扭矩T/基礎(chǔ)慣量j 針對問題一，我們從物理的角度度對試驗臺進行分析，從等效轉(zhuǎn)動慣量的定義算出等效轉(zhuǎn)動慣量J=51.9989kg.m2 針對問題二，使用補償法求出空心圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量，總共有8種飛輪和主軸的組合，但符合要求的只有兩個，求出符合要求的兩個補償轉(zhuǎn)動慣量，通過計算得到符合要求的補償轉(zhuǎn)動慣量為：-11.9906 kg.m2或1

4、8.0177 kg.m2。 針對問題三，通過建立的模型求出電流值，由于電動機可以取兩個補償轉(zhuǎn)動慣量，所以對應(yīng)有兩個電流值。其值為：i=262.496A或i=-174.688A 其中負的電流表示電動機的扭矩將使主軸減速。 針對問題四，就是看能量誤差的大小，對于此數(shù)據(jù)表得到的數(shù)據(jù)可知此方法不行，因其產(chǎn)生太大的能量誤差。針對問題五，運用了前面的模型，然后在誤差允許的范圍內(nèi)，做了一個初略的假設(shè)，并說明了這個假設(shè)可行。針對問題六，根據(jù)問題五得到的模型進行更進一步的優(yōu)化，再假設(shè)的基礎(chǔ)上證明公式的正確性。關(guān)鍵字：路試，等效轉(zhuǎn)動慣量，機械轉(zhuǎn)動慣量，基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動慣量，驅(qū)動電流，扭矩，可測數(shù)學模型。 問題重述 本次需

5、要解決的這個問題，涉及到汽車的制動過程，在現(xiàn)實生活中汽車制動主要是通過汽車駕駛員踩剎車實現(xiàn)的。由于在生產(chǎn)汽車前沒有汽車可以試驗所以必須通過模擬試驗來實現(xiàn)，由于模擬試驗中不可能和現(xiàn)實生活中一摸一樣，只能是很相近，所以我們建模時緊緊抓住這一點。事實上我們生產(chǎn)的飛輪不可能一定正好符合要求，所以就出現(xiàn)了用電動機來補償。但是馬上來了一個實際問題就是我們?nèi)绾慰刂齐妱訖C的驅(qū)動電流，而且對電動機的驅(qū)動電流的控制也變成解決此問題的關(guān)鍵。要想很好的模擬此制動過程我們必須很好的控制此電動機，因為電動機補償主軸的轉(zhuǎn)動慣量主要是通過輸出扭矩來實現(xiàn)。而扭矩又與電流成正比，控制電流就等于控制了扭矩，也就等同于對補償轉(zhuǎn)動慣量

6、的控制。 在此問題中還有一個重要一步，就是對電流控制方案的評價。評價的表準就是路試中消耗的能量與實驗中消耗的能量的差值，即能量誤差的大小。如果能量誤差大，說明電流的控制方案不好，經(jīng)過電動機的補償，試驗的和路試的相差太大，與要求不符。如果能量誤差很小說明符合要求，路試和實驗符合的比較好。 對所要解決的問題的思路解釋：1）對于問題一我們已知前輪半徑和載荷的重力，要求等效轉(zhuǎn)動慣量。事實上主軸的角加速度和飛輪的角加速度以及前輪的角加速度是相同的，我們就是跟據(jù)這個事實來計算第一題。2）對于問題2是要我們求電動機的補償轉(zhuǎn)動慣量，但是只要我們仔細分析一下就知道實質(zhì)上是要我們求掏去中心那部分圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量，

7、對于這類問題最常用的方法是使用補償法，對此題使用補償法求出飛輪的轉(zhuǎn)動慣量，然后進行組合，求出符合要求的補償轉(zhuǎn)動慣量。3）對于第3問是最關(guān)鍵的，在此題中需要建立一個數(shù)學模型。通過這個模型算出電流值，由于有不同的符合要求的飛輪組合，所以有多個電流值。4)第4問主要是對已給的電流控制方案進行的評價，可以通過推出路試的耗能和試驗耗能表達式，然后通過已給的數(shù)據(jù)表格進行理論的分析，最后得出結(jié)論。5）設(shè)計一個電流控制方案，設(shè)計的原則是盡可能減小能量誤差問題分析 路試制動過程和試驗制動過程是本次討論的兩個制動過程，其中如何使實驗中的制動過程和現(xiàn)實一樣是關(guān)鍵，由于現(xiàn)實生活中的轉(zhuǎn)動慣量由現(xiàn)實的器材的轉(zhuǎn)動慣量不能提

8、供，所以必須給予一定的補償，本題中提供的電動機輸出扭矩就是為了實現(xiàn)這個目的。但是如何輸出這個電流就是本問題的一個新問題。 設(shè)計一個電流輸出方案，是我們達到要求的方法，此設(shè)計方法不是憑空亂定的而是通過前一時刻測出的瞬時扭矩，來設(shè)計的。 我們通過路試時的車輪的角加速度和試驗時的角加速度相等，建立一個數(shù)學模型： 電動機的輸出電流i=1.5*（等效轉(zhuǎn)動慣量J-機械轉(zhuǎn)動慣量j）*主軸的扭矩T/基礎(chǔ)慣量j從此表達式中可以看出只要電動機電流一給定就能得到其輸出扭矩T，反過來一給定主軸的瞬時扭矩就能得到電動機的驅(qū)動電流。我們通過做多次試驗?zāi)M出電流的輸出表達式，然后在使用這個驅(qū)動電流做模擬試驗，測出主軸在不同

9、小時間段內(nèi)的扭矩和起始轉(zhuǎn)速和結(jié)束轉(zhuǎn)速，然后再利用能量誤差來評價這個設(shè)計方案。 模型的假設(shè)1） 主軸與車輪之間始終有相同角速度。2） 重力加速度近似去9.8kg.m2。3） 問題2中的飛輪是均勻等厚的。4） 處理問題2時使用補償法計算飛輪的轉(zhuǎn)動慣量，填充的是和原來等密度的鋼才。5） 圓周率近似取3.146） 路試與模擬試驗近似相同。7） 在測試的10ms過程假設(shè)電動機功率恒定。8） 在第4問中計算功率時使用的轉(zhuǎn)速，假設(shè)是每10ms觀測過程中的起始轉(zhuǎn)速。9） 路試制動時消耗的能量只有摩擦消耗，試驗時制動消耗的能量只有摩擦消耗和電能。模型分析與求解問題（1）：1）變量假設(shè)：m: 制動時單個前輪承受載

10、荷的質(zhì)量。g：重力加速度。G：前輪承受的載荷的力。V1：載荷的運動速度。V2：前輪的運動速度。W1：前輪的運動的角速度。W2：主軸轉(zhuǎn)速度。 J：主軸和飛輪的等效轉(zhuǎn)動慣量。 r：前輪半徑。 2）問題解決：主軸在電動機帶動下開始轉(zhuǎn)動，跟據(jù)題目假設(shè)主軸的角速度與前輪的角速度始終保持相等可得到以下等式： W1=W2 (1)由于載荷與車輪無滑動，所以載荷的運動速度與車輪的運動速度相等： V 1 =V2 (2) 根據(jù)線速度角速度的關(guān)系可知： V2=r*W1 (3)等效轉(zhuǎn)動慣量的定義，把載荷在車輛平動時具有的能量（忽略車輪自身轉(zhuǎn)動具有的能量）等效地轉(zhuǎn)化為試驗臺上飛輪和主軸等機構(gòu)轉(zhuǎn)動時具有的能量，與此能量相應(yīng)

11、的轉(zhuǎn)動慣量(以下轉(zhuǎn)動慣量簡稱為慣量)稱為等效轉(zhuǎn)動慣量。根據(jù)定義可知： (1/2)*(G/g)*V12=(1/2)*J*W22 (4)根據(jù)重力與質(zhì)量之間的關(guān)系可知： G=m*g (5)聯(lián)合（1）到（5）5個方程得到以下等式： J=G*r2/g 已經(jīng)知道以下條件，G=6230N，g =9.8m/s2，r=0.286m。代入數(shù)據(jù)經(jīng)計算等到等效轉(zhuǎn)動慣量J為： J=51.9989kg.m2 3）結(jié)論： 所以等效轉(zhuǎn)動慣量J=51.9989kg.m2問題（2）： 1） 變量假設(shè)：D：飛輪的外直徑。d：飛輪的類內(nèi)直徑。e,f,g：分別代表飛輪組的3個厚度。j：飛輪組的轉(zhuǎn)動慣量p：填充后飛輪的總轉(zhuǎn)動慣量。q：填

12、充部分的轉(zhuǎn)動慣量。j1，j2，j3：分別代表3個飛輪的轉(zhuǎn)動慣量。J1到J8：分別代表8個不同的機械慣量。jj：主軸的基礎(chǔ)慣量。jjj：電動機的補償轉(zhuǎn)動慣量。P：鋼材的密度。M：填充后飛輪的質(zhì)量。m：填充部分的質(zhì)量。 2）問題解決的方法： 對于此問題使用補償法球飛輪的轉(zhuǎn)動慣量，飛輪的轉(zhuǎn)動慣量可以看做是先把空心部分填充，再有補充后圓柱體轉(zhuǎn)動慣量減去填充的小圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量得到的慣量。因此可得以下等式： j=p-q. （6） 根據(jù)圓柱體轉(zhuǎn)動慣量與直徑之間的關(guān)系可得：p=(1/2)*M*(D/2)2 （7） q=(1/2)*m*(d/2)2 (8) 又由于質(zhì)量與密度之間的關(guān)系： M=(1/32)*P*

13、3.14*e*D2 （9） m=(1/32)*P*3.14*e*d2 （10） j1=j. (11)D=1m, d=0.2m,e=0.0392,P=7810kg/m3, 聯(lián)合（6）到（11）的方程解得 j1=30.0083kg.m2 同理只要將e換成f或g就能算出j2和j3 j2=60.0166kg.m2 , j3=120.033kg.m2一個機械慣量可以包含0，1，2，3個飛輪所以組成的是一個3維向量，如果記去取飛輪為1，不取記為0，列舉如下：0 , 0 ,0 0 ,1 ,0 0 ,1 ,1 0 ,0 ,1 1 ,0 ,0 1 ,0 ,1 1 ,1 ,0 1 ,1 ,1 則j1=jj+0+0

14、+0=10kg.m2 同理求其它7種情況：j2=70.0166kg.m2，j3=190.05 kg.m2，j4=130.33 kg.m2 j5=40.0083 kg.m2，j6=160.041 kg.m2，j7=100.025 kg.m2，j8=220.058 kg.m2由于電動機的補償慣量在-30,30所以飛輪組只能?。? ,0 ,0和0 ,1 ,0 jjj=40.0083-51.9989=-11.9906 kg.m2或 jjj=70.0166-51.9989=18.0177 kg.m2 3）結(jié)論：所以電動機可以提供兩種補償慣量：-11.9906 kg.m2或18.0177 kg.m2 問題

15、（3）： 1）符號說明：c：電動機驅(qū)動電流與扭矩的比值。M：路試過程中的扭矩。m：電動機的輸出扭矩。J：等效轉(zhuǎn)動慣量。j：機械慣量。jj：基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動慣量。T：可測量的主軸瞬時扭矩。b：主軸路試時的角加速度。d：主軸的實驗時的角加速度。i(t)：電動機隨時間變化的驅(qū)動電流。a：車輪的加速度。R：車輪的半徑。2）建立可觀測數(shù)學模型：使模擬試驗盡可能與路試相同是我們建立這個模型的原則之一。因此可知試驗過程中的一些量應(yīng)該與路試中的相同，可得 b=d (1)由于試驗時車輪是以恒定的加速度減速的，所以車輪的角加速度也一定是恒定的，又由于車輪的角加速度與主軸的角加速度一樣，所以主軸也以一定角加速度減速。則對主

16、軸使用全過程的轉(zhuǎn)動定侓： 路試過程 M=J*b (2)在試驗過程中，每一瞬間主軸的瞬時扭矩都是可以測量出來的，主軸有它的基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動慣量，因此它的角加速度與其轉(zhuǎn)動量有以下關(guān)系：T=jj*d (3)以飛輪和主軸為考察對象那么其轉(zhuǎn)動慣量應(yīng)為：M-m則對他們使用轉(zhuǎn)動定侓有以下關(guān)系： Mj*d (4)T是可以通過一些裝置測出來，屬于可觀測量。聯(lián)立上述4個方程得到以下表達式： m=(J-j)*T/jj (5)根據(jù)電動機的輸出扭矩和輸出電流之間的關(guān)系得出驅(qū)動電流表達式為： i(t)=c*m=c*(J-j)*T/jj (6)到此我們建立了一個簡單的數(shù)學模型。3）在問題3特定的條件下的求解：對于問題3我們已知車輪

17、運行的加速度a，而它的值為： a=(0-50/3.6)/5=-2.77778m/s2所以其大小為2.77778.而其角加速度與主軸的角加速度大小相同都為d，根據(jù)先線加速度與角加速度之間的關(guān)系可得到： a=R*d (7) 有前面的方程可知i=c*(J-j)*d. (8) 已知R=0.286m，c=1.5A/N.m，jj=51.9989 kg.m2,j=40.0083或70.0166 kg.m2將其都代入到（7）和（8）中得到電流的值為： i=262.496A或i=-174.688A 由于第二題中飛輪有兩種組合所以可已得到兩個電流值，當電流的值為正數(shù)時，表示電動機提供的電流是用來增加主軸的轉(zhuǎn)動慣量

18、；當提供的電流為負值時，表示提供的電流主要用來減少主軸的轉(zhuǎn)動慣量。 4）結(jié)論： 因此可以提供兩種大小的電流一種是262.496A，另外一種是174.688A。問題（4）： 1）變量假設(shè)： i(t)：某時刻電動機的驅(qū)動電流。 J：等效轉(zhuǎn)動慣量。 JJ ：機械轉(zhuǎn)動慣量。 j：基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動慣量。 P ：電動機的消耗功率。 M ：電動機的輸出扭矩。 T：主軸的轉(zhuǎn)動慣量。 W1：路試消耗的能量。 W2：試驗消耗的能量。 N1：電動機在觀測時間內(nèi)的轉(zhuǎn)動初始轉(zhuǎn)速。 N2：電動機在觀測時間內(nèi)的轉(zhuǎn)動末始轉(zhuǎn)速。 E1：試驗過程中電動消耗的能量。 E2：實驗過程中減小的轉(zhuǎn)動動能。 t：短暫觀測的總時間。（如10ms）

19、2）問題解決：對于路試過程中消耗的能量，從能量守恒的角度來考慮可知路試制動過程中消耗的能量應(yīng)等于系統(tǒng)減小的轉(zhuǎn)動動能，所以可得到以下等式： W1=(1/2)*J*(2*3.14*N1)2-(2*3.14*N2)2 (1) （*） 對于試驗過程中消耗的能量從能量守恒的角度考慮，其消耗的能量等于兩部分之和，一部分是電動機消耗的能量，另一部分消耗的能量則是減小的轉(zhuǎn)動動能。由此可以得到以下等式： W2=E1+E2 (2) 而對于試驗時減少的轉(zhuǎn)動動能應(yīng)為： E2=(1/2)*JJ*(2*3.14*N1)2-(2*3.14*N2)2/3600 由于電動機的輸出扭矩與其功率滿足以下關(guān)系： P=N*M/9950

20、 (3) (P的單位為kw，N的單位為r/min) 又由于M=i(t)/1.5，根據(jù)第三問我們建立的模型可知： i(t)=1.5*(J-JJ)*T/j (4) 又由于i(t)=1.5*M (5) 由（3），（4），（5）得到： P=（J-JJ）*T*N/9950 現(xiàn)在我們觀測的是一個小段時間內(nèi)的情況所以我們可以近似認為在這段時間內(nèi)電動機的功率恒定所以有以下等式： E1=P*t=（J-JJ）*T*N*t/9950 所以實驗過程中消耗的能量為： W2=1000*（J-JJ）*T*N*t/(9950)+(1/2)*JJ*(2*3.14*N1)2-(2*3.14*N2)2 /3600 （*） 現(xiàn)在根據(jù)

21、（*）和（*）兩個等式計算兩個能量：首先我們從那個數(shù)據(jù)記錄表中看到在一小段時間內(nèi)，也就是10ms內(nèi)出現(xiàn)開始和結(jié)束時的轉(zhuǎn)速一樣，則根據(jù)（*）可知路試時消耗的能量為0，但是在現(xiàn)實生活中不可能發(fā)生那種事情，因此這是我發(fā)現(xiàn)的第一個問題。 再者從根本上來說，決定此方案好壞的還是路試的消耗能量和實驗時消耗的能量之差，也就是能量誤差。其誤差與轉(zhuǎn)速和主軸的扭矩有關(guān)，從表中可以看出轉(zhuǎn)速變化的比較慢，也就是說算出來路試的消耗的能量比較小，雖然試驗時消耗的能量也與轉(zhuǎn)速有關(guān)但是它還與扭矩有關(guān)，而且扭矩變化的特別快，導(dǎo)致能量誤差比較大，而且是能量誤差越來越大。上述文字用數(shù)學語言表示如下：能量誤差=W2- W1=1000

22、*（J-JJ）*T*N*t/(9950)+(1/2)*JJ*(2*3.14*N1)2-(2*3.14*N2)2 /3600 -(1/2)*J*(2*3.14*N1)2-(2*3.14*N2)2 從上述表達式可以看出轉(zhuǎn)速的變化能量誤差變小，同時主軸的扭矩的變大使能量誤差變大，從表中可以看到在10ms內(nèi)前后轉(zhuǎn)速平方差很小可以近似看為趨于0，但T的急劇變化使能量誤差出現(xiàn)了很大的誤差，因此我認為此電流的控制方法有問題。最后我對此方案做進一部的分析，討論它為什么會出現(xiàn)這種問題。在第3問中我們建立了一個模型： i(t)=1.5*(J-JJ)*T/j (*) 從這個等式可以看出當T變化很劇烈時，i(t)也變

23、化得很劇烈，由于變化劇烈的電流將很難控制，也就導(dǎo)致了很大的電動機的耗能的誤差，而兩者轉(zhuǎn)動動能始終變化一致，所以也就導(dǎo)致了很大的能量誤差。3）結(jié)論： 此方案不行，提供很大的電流，但是收獲很少，也就是說白白浪費了電能，卻對制動沒什么貢獻，所以產(chǎn)生很大的能量誤差。問題（5）：符號說明：C0：電流與扭矩的比例常數(shù)。m測：瞬時扭矩。J實：等效轉(zhuǎn)動慣量。J0：機械慣量。F(Mn)：制動器的扭矩。f（Mn）：電動機產(chǎn)生的驅(qū)動電流在理想的情況下產(chǎn)生的扭矩。f(mn)：實際驅(qū)動電流產(chǎn)生的扭矩。由第（3）問可以知道，動機驅(qū)動電流依賴于可觀測量的數(shù)學模型：電流與扭矩的關(guān)系：I(t)=C0*m測（J實J0）/J0;由

24、于所取的時間段非常小，故在0.01s內(nèi)可近似看成這段時間相同。又由于制動器產(chǎn)生的扭矩在變化且制動器產(chǎn)生的扭矩占m測的大部分，因此電流有少許誤差不會對試驗產(chǎn)生的誤差，因此這樣可行，但是這個電流不精確且總存在誤差。制動器的扭矩曲線方程： Y=F(Mn)； 電動機產(chǎn)生的驅(qū)動電流在理想的情況下產(chǎn)生的扭矩的曲線方程： Y=f（Mn）； 實際驅(qū)動電流產(chǎn)生的扭矩的曲線方程： Y=f(mn); 它們的曲線圖像如下：由電流與扭矩的關(guān)系式可知：f（mn）=f（Mn-1）；M差n= f（Mn）- f（mn） = f（Mn）- f（Mn-1）E=M差*w*dt =【f（Mn）- f（Mn-1）】*w*dt；從能量方面考慮，當時間取得越少時，得到的結(jié)果也越精確。對該方法的評價：測量的間斷時間不可能很小，因此在這個間斷時間內(nèi)兩者的能量之差會比較大，因此它不能準確的評價。評價一個制