《線性代數(shù)I》常見計算題型及常用思路.

1、線性代數(shù)常見計算題型及常用思路僅供參考！ ！ |計算題題型 1 1 解線性方程組（必須掌握）Xi i,Xi i最常用方法：先用高斯消元法化為階梯形，從而得出自由未知量（設為H k），然x = k x = kk k后對自由未知量賦予任意值，即設i11I Itt t，這兒 st為任意常數(shù)。把賦予自由未知量的值帶入方程組，解除方程組的解（是關于k，kt的一些表達式）一個基礎解系）。則可知方程組的解為X= kXktXt，這兒人,，%為任意常數(shù)。（一般解）CramerCramer 法則。注意：CramerCramer 法則只對系數(shù)矩陣可逆的情形適用。題型 2 2.將P三V（F）用1廠rV（F）線性表示（

2、或求坐標）X x P = x+ + x 常用思路：待定系數(shù)法。設1m使得11m m。然后根據(jù)題設條件得到關于X1，Xm的一個方程組。解方程組。方法二：利用課本定理 4.104.10 （如果已知在某一組基下的矩陣）題型 3 3.判斷1廠，m V（F）的線性相關性x x0=x+常用思路：待定系數(shù)法。設公m使得1 1設條件得到關于 人，Xm的一個方程組。解方程組。如果方程組只有零解，則1，廠m V（F）線性相關。反之，線性無關。方法（1 1）設1,的變形：先用高斯消元法化為階梯形,，F(xiàn)t是Ft的一從而得出自由未知量組基（常取自（設為Xi i嗎(xi i1,冷)八 j j, j二12 t分別解得方程組

3、的解:Xi，,Xt（這是亠Xm m。然后根據(jù)題乂x 0=X a +x常用思路：待定系數(shù)法。設m使得1 1m m。然后根據(jù)題設條件得到關于X1，Xm的一個方程組。用高斯消元法化簡方程組，得到自用未知量。題型 4 4.求，廠JV（F）的極大無關組及秩Fn是列向量）不是自用未知量的Xi題型 4 4.求基與維數(shù)常用方法：找到一組有限生成元，轉化為題型 二* 三F門n所對應的i放到一起，就構成了原向量組的一個極大無關組。題型 5.5.將1， ，m廠擴充為F組基a a常用思路：首先確定出11m，尸口的一個極大無關組，設為ot a1丿 t tFnoX，構建線性方程組(Xi i,Xn n)(Xi i,Xn n

4、)然后解除上面方程組的一個基礎解系，設為X1 1, Xn n _t_tFn（想想為什么一a a X 定有n一t個）。則1t 1么線性無關）就是組基（想想為什題型 6 6. SchmidtSchmidt 正交化過程題型 7.7.兩組基的過渡矩陣（轉化為題型 2 2）題型 8.8.線性映射（變換）的矩陣方法一：利用定義，轉化為題型2 2 o方法二：利用課本定理 7.47.4 （如果已知在一組基下的矩陣及過渡矩陣）題型 9.9.求矩陣的秩（可考慮放棄）方法一：基于初等變換不改變矩陣得知，利用初等變換把原矩陣 出秩的矩陣（一般為階梯形）。方法二：利用分塊矩陣。主要基于以下幾個公式：maxr（A）, r

5、（B）蘭（A, B）蘭r（A）化為一個容易看(Ar(A) + r(B) = r方法三：利用 秩的一些 性質，主(En r(B)二r Ir(A) r(B)空ArC B ）r（B）r（C）r(A Bp r(A) r(B)r(AB)乞minr(A),r(B)r(A)二r(AT)二r(ATA)Am m n nB二0= r(A) r(B廠n方法四：利用r(A)二A的行/ /列秩，轉化為題型 4 4 或利用向量組 的秩的一些性質 方法五：利用r(A)-A的行列式秩方法六：利用線性方程組解的結構，主要基于：dim N(Am m n n)二n - r(A)題型 10.10.求可逆矩陣的逆矩陣方法一：基于 A

6、A 可逆=AX二b的唯一解為X = A b，利用線性方程組求解。方法二：基于可逆矩陣可寫成初等矩陣的乘積，利用初等變換求解，主要是兩個公式:前者只能用行變換，后者 只能用列變換。方法三：利用分塊矩陣求 解。主要基于兩個公式：(假設已知可逆)A1A T A1C B * B1注意：主對角線上的子塊必為可逆方陣。方法四：禾 H H 用伴隨矩陣(一定要細心!)題型 11.11.求行列式(小心符號！)方法一：利用初等變換或課本 5.15.1 節(jié)的簡單性質化為三角陣或其他容易求解的行列式方法二：利用公式|AB|=|A|B|（注意必為同型方陣）方法三：利用按行/ / 列展開（A,E廠（E,A）公式，一般得到

7、遞推公式。方法四：前面三者結合。（最為常用）幾個必須知道的結論：（1 1）三角形行列式= =對角線元素乘積（3 3）范德蒙行列式題型 12.12.求特征值與特征向量及矩陣對角化（必須掌握）方法：利用特征多項式求特征值，利用求線性方程組的基礎解求特征向量。最后注意：在寫出P以及原矩陣的相似標準形時要注意特征向量與特征值是相互對 應的。題型 13.13.實對稱矩陣的對角化方法：和題型 1212 一致，但是要加入 SchmidtSchmidt 正交化過程及單位要注意的是：千 萬不要把所有的特征向量放在一起 SchmidtSchmidt 正交化，一定要分別對每個特征值所 對應的特征向量分別正交化，也就是說：如果有 m m 個不同特征值，要進行 m m 次 SchmidtSchmidt 正交化過程！